Продолжаю серию статей «Планиметрия. Задачи с фантазией». Это 10 статья этой серии, в ней всего две задачи. Попробуйте решить их самостоятельно. Для этого, действительно, понадобится фантазия, но совсем немного.
Задача 1. Четырехугольник
вписан в окружность с центром
, причем
– ее диаметр. Диагонали
и
пересекаются в точке
. Известно, что угол
равен
,
,
. Чему равен радиус окружности, которая касается извне данной окружности, а также касается обоих лучей
?
Решение. Показать

К задаче 1
Определим длины отрезков. Так как
, то радиус окружности равен 10.
.
Для прямоугольного треугольника
запишем теорему Пифагора:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[OL^2+LB^2=OB^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-226811323fc3e8b86b76d92ae734b0a4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[OB=R+r\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90bc8335e11882eadb2dc4581d9ff071_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R^2+LB^2=(R+r)^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c3c60c2afd138ba17d649627b700e2b4_l3.png)
Раскрываем скобки:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R^2+LB^2=R^2+2Rr+r^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f5ca49c7dc70b9ec3e33b16013fe032_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[LB^2=2Rr+r^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cbf21a7ba9b06af0186456bee1d237c_l3.png)
Осталось найти
. «Поиграем» для этого с углами.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\operatorname{tg}\frac{\angle VFH }{2}=\sqrt{5}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b600e845ef942c5f48e380448f1d0892_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\operatorname{tg^2}\frac{\angle VFH }{2}=\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-671990d5bbbd56c1f93300cae5c5cd90_l3.png)
То есть
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }=5\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37f228ea5f080bd76ec530ae72b57b65_l3.png)
Откуда найдем
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos\angle VFH=-\frac{2}{3}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-894fe410bdaa8c7b71c26ff4623d66f4_l3.png)
Так как сумма углов
и
равна
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos\angle LON=\frac{2}{3}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e0f7c3c4fa19a32bd7744090145c5c6_l3.png)
Найдем косинус половинки этого угла:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1+\cos\angle LON}{2}=\frac{5}{6}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d404c701b3f225757df909a5fc7d440_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sin^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1}{6}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a7e35cf714282c3d4c2e0bfcfd6bd0b_l3.png)
Откуда определяем тангенс
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cca613265228c21a45c9fcf98bf884a3_l3.png)
Тангенс
, с другой стороны, равен:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{LF}{OL}=\frac{1}{\sqrt{5}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-792b2b187658531315b092bd4e9e9908_l3.png)
Отсюда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[LF= \frac{ OL}{\sqrt{5}}=\frac{ R}{\sqrt{5}}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd7addf8f48226d0821b8ba11e0e034b_l3.png)
Тогда вернемся к нашей теореме Пифагора:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[LB^2=2Rr+r^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cbf21a7ba9b06af0186456bee1d237c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[LB=LF+FB=\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1861e16dc8fc473d225f121c1878ecbc_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5})^2=20R+100\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61dbaeedecb78442197cdf2237f3eeea_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\frac{ R^2}{5}+8R+80-20R-100=0\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1545d74c15107ec048450bb88b42ce1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R^2-60R-100=0\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e7ddaf5fd914d2da9f5f4677b3b279b_l3.png)
Корень
![Rendered by QuickLaTeX.com \[R=\frac{60 +\sqrt{4000}}{2}=30+10\sqrt{10}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d706a76eba757d4d62e6d624cb1908ee_l3.png)
Ответ:
.
Задача 2. Треугольник
вписан в окружность
. Касательная к этой окружности в точке
и прямая
пересекаются в точке
. Через точки
и
проведена окружность, которая касается окружности
и пересекает прямую
в точке
. Чему равна длина
, если
,
, а
?
Решение. Показать
По теореме о касательных и секущих запишем:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[DH^2=DM\cdot DJ\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09d5744da0e12d6dd104cb993a69e3ab_l3.png)
Откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[DM=\frac{ DH^2}{ DJ }=\frac{1600}{32}=50\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ff05f4e77e46596255bff7bd66b608a_l3.png)
Теперь понятно, что касание – внешнее, и коснутся окружности в точке
. Изобразим это:

К задаче 2
Запишем теорему косинусов для треугольника
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[HM^2=DH^2+DM^2-2\cdotDH\cdotDM\cdot \cos D\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-959758e80daf62a0605595412ebdd8a7_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos D=\frac{ HM^2-DH^2-DM^2}{-2\cdotDH\cdotDM }=\frac{ 225-1600-2500}{-2\cdot40\cdot50 }=0,96875\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-050435a9eb590b45cd289a12c4cb5ed1_l3.png)
Запишем теорему косинусов для треугольника
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[HJ^2=DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ba6328f9863acbe98f654bebc3239fa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[HJ=\sqrt{DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D}=\sqrt{40^2+32^2-2\cdot40\cdot32\cdot \cos D}=12\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c798f1c5c5325d7f5c06e15a51afb8a0_l3.png)
Так как касание окружностей происходит в точке
, то
– диаметр второй окружности. Поэтому угол
– вписанный, опирающийся на диаметр, то есть прямой. Иными словами,
– высота треугольника
. Так как нам известны его стороны, то можно найти его площадь по формуле Герона:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{42(42-40)(42-12)(42-32)}=60\sqrt{7}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b166eb23c1ac8576adc841db572bdccc_l3.png)
С другой стороны, площадь этого треугольника равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[S=\frac{DH\cdotKJ}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3bdd52f9de49a97757a56c1c836e6901_l3.png)
Откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[KJ=\frac{2S}{DH}=\frac{120\sqrt{7}}{40}=3\sqrt{7}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e50da26fb494f40c32c0ad5c86d3250e_l3.png)
Ответ:
.
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...