Планиметрия: задачи с фантазией – 10

К задаче 1

Определим длины отрезков. Так как $HG=20$, то радиус окружности равен 10. $FB=4\sqrt{5}$.

Для прямоугольного треугольника $OLB$ запишем теорему Пифагора:

$$OL^2+LB^2=OB^2$$

$$OB=R+r$$

$$R^2+LB^2=(R+r)^2$$

Раскрываем скобки:

$$ R^2+LB^2=R^2+2Rr+r^2$$

$$LB^2=2Rr+r^2$$

Осталось найти $LB$. «Поиграем» для этого с углами.

$$\operatorname{tg}\frac{\angle VFH }{2}=\sqrt{5}$$

$$\operatorname{tg^2}\frac{\angle VFH }{2}=\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }$$

То есть

$$\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }=5$$

Откуда найдем $\cos\angle VFH$:

$$\cos\angle VFH=-\frac{2}{3}$$

Так как сумма углов $VFH$ и $LON$ равна $180^{\circ}$, то

$$\cos\angle LON=\frac{2}{3}$$

Найдем косинус половинки этого угла:

$$\cos^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1+\cos\angle LON}{2}=\frac{5}{6}$$

$$\sin^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1}{6}$$

Откуда определяем тангенс $\frac{\angle LON}{2}$:

$$\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Тангенс $\frac{\angle LON }{2}$, с другой стороны, равен:

$$\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{LF}{OL}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Отсюда

$$LF= \frac{ OL}{\sqrt{5}}=\frac{ R}{\sqrt{5}}$$

Тогда вернемся к нашей теореме Пифагора:

$$LB^2=2Rr+r^2$$

$$LB=LF+FB=\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5}$$

$$(\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5})^2=20R+100$$

$$\frac{ R^2}{5}+8R+80-20R-100=0$$

$$R^2-60R-100=0$$

Корень

$$R=\frac{60 +\sqrt{4000}}{2}=30+10\sqrt{10}$$

Ответ: $R=30+10\sqrt{10}$.

По теореме о касательных и секущих запишем:

$$DH^2=DM\cdot DJ$$

Откуда

$$DM=\frac{ DH^2}{ DJ }=\frac{1600}{32}=50$$

Теперь понятно, что касание – внешнее, и коснутся окружности в точке $J$. Изобразим это:

К задаче 2

Запишем теорему косинусов для треугольника $DHM$:

$$HM^2=DH^2+DM^2-2\cdotDH\cdotDM\cdot \cos D$$

$$\cos D=\frac{ HM^2-DH^2-DM^2}{-2\cdotDH\cdotDM }=\frac{ 225-1600-2500}{-2\cdot40\cdot50 }=0,96875$$

Запишем теорему косинусов для треугольника $DHJ$:

$$HJ^2=DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D$$

$$HJ=\sqrt{DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D}=\sqrt{40^2+32^2-2\cdot40\cdot32\cdot \cos D}=12$$

Так как касание окружностей происходит в точке $J$, то $DJ$ – диаметр второй окружности. Поэтому угол $DKJ$ – вписанный, опирающийся на диаметр, то есть прямой. Иными словами, $KJ$ – высота треугольника $DHJ$. Так как нам известны его стороны, то можно найти его площадь по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{42(42-40)(42-12)(42-32)}=60\sqrt{7}$$

С другой стороны, площадь этого треугольника равна $$S=\frac{DH\cdotKJ}{2}$$

Откуда

$$KJ=\frac{2S}{DH}=\frac{120\sqrt{7}}{40}=3\sqrt{7}$$

Ответ: $KJ=3\sqrt{7}$.