Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 16 (C4)

Планиметрические задачи профильного ЕГЭ


Задача № 1: Окружности  S1 и S2 радиусов 4 и 2 соответственно касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S1 проведена прямая, касающаяся окружности S2  в точке М. Найдите ВМ, если известно, что АВ=2.

Сразу же отметим возможность внешнего и внутреннего касания окружностей. В этих двух случаях решения мы получим разные, поэтому надо рассмотреть их оба.

Первый случай – внешнее касание.

Касающиеся внешним образом окружности

Треугольник   является прямоугольным, так как его катеты – это касательная и радиус, проведенный в точку касания. Из этого треугольника нам будет легко определить , если мы найдем его гипотенузу .  Найти эту сторону можно из треугольника , в котором нам известны стороны: – сумма радиусов окружностей, – радиус окружности . Чтобы воспользоваться теоремой косинусов и найти не хватает сущего пустяка: косинуса угла . Если посмотреть на картинку, то можно увидеть, что найти этот угол (вернее, его косинус) можно из треугольника  , в котором нам известны все стороны.  Тогда:

   

   

   

Теперь, зная косинус нужного нам угла, составим теорему косинусов для треугольника  :

   

   

   

   

И наконец, находим нужное нам расстояние из треугольника по теореме Пифагора:

   

   

   

Теперь рассмотрим случай внутреннего касания окружностей.

Внутреннее касание

Треугольник   опять является прямоугольным, и если удастся  определить расстояние , то дальше останется лишь применить теорему Пифагора. Определяем косинус угла  из треугольника  , в котором нам известны все стороны. Кстати, здесь для этого треугольника ничего не изменилось, и косинус мы получим точно такой же:

   

Однако здесь нам нужен косинус угла в этом же треугольнике. Поэтому нужно либо воспользоваться функциями половинных углов (разбить треугольник   на два высотой, которая будет являться и биссектрисой, и разделит нам угол пополам), но лучше найдем синус угла через основное тригонометрическое тождество:

   

   

   

   

Теперь, чтобы найти  , воспользуемся теоремой синусов для треугольника  :

   

Откуда получаем:

   

А косинус определим снова через основное тригонометрическое тождество:

   

   

   

Наконец, можем определить расстояние из треугольника по теореме косинусов:

   

   

   

   

Искомое расстояние определим по теореме Пифагора:

   

   

   

Ответ: при внешнем касании окружностей  , при внутреннем касании .

 

Задача 2. Дан треугольник со сторонами 26,26,20 . Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника .Найдите радиусы окружностей.

Окружности могут быть так расположены, что «вписаны» в углы при основании треугольника, а могут быть «вписаны» в углы при боковой стороне. Рассмотрим первый случай, а потом второй.

Две вписанные окружности при основании

Окружности имеют по условию равные радиусы, поэтому . Если бы удалось определить длину отрезка , то ключик был бы у нас в кармане. Определить величины этих отрезков могут помочь углы, например, неплохо бы узнать величину угла . Он является половиной угла , так как центр окружности лежит на биссектрисе того угла, в который она вписана. Нам необходимо знать тангенс этого угла, чтобы выразить длину отрезка через искомый радиус . Для этого найдем сначала угол  . Угол  легко определить (говоря так, имею в виду его синус-косинус-тангенс) из треугольника  :

   

Синус его половины, или угла , равен:

   

   

Тогда косинус угла найдем из основного тригонометрического тождества:

   

   

Тангенс этого угла:

   

   

Теперь можем записать, что  и  

Теперь основание треугольника складывается из:

   

   

 

Теперь рассмотрим случай, когда обе окружности касаются боковой стороны треугольника.

Две вписанные окружности при боковой стороне

Так как наши окружности имеют равные радиусы, то центры их лежат на одной прямой, параллельной  .  Тогда можно записать, что сторона   будет складываться из отрезков:

   

То есть наша задача – определить длину отрезка , так как длину отрезка мы уже находили в предыдущем расчете:

 и 

   

 

   

  и 

Тогда

   

   

   

   

 

Задача  3:  Точка В – середина отрезка АС, причем АС=10. Проведем 3 окружности  радиуса 6 с центрами А,В,С. Существует ровно 6 окружностей, касающихся всех трех данных – найдите радиусы всех таких окружностей.

Попробуем сначала изобразить данные окружности и прикинуть, где могут располагаться те, радиусы которых нам требуется определить. Оказывается, у нас не так много вариантов и искомые окружности легко можно показать:

Шесть окружностей

То есть перед нами две задачи: найти радиус малой (рыжей) окружности, и радиус окружности побольше, изображенной синим цветом.  Решим сначала первую задачу.

Определение радиуса малой окружности

Обозначим радиус малой окружности и составим теорему Пифагора для треугольника . В этом треугольнике , где – радиус данной, центральной, окружности. , так как окружности касаются, то оба их радиуса принадлежат одной прямой. А расстояние нам известно и равно половине длины отрезка , то есть пяти.

Тогда:

   

   

   

Раскрываем скобки:

   

   

   

   

Теперь определим радиус большей окружности.

Определение радиуса большей окружности

Рассмотрим треугольник  . Он равнобедренный, так как в нем  . Проведем высоту . Так как треугольник равнобедренный, то высота также будет и биссектрисой, и медианой. Поэтому . Треугольник  – прямоугольный. Составим для него теорему Пифагора:

   

Треугольник  – прямоугольный. Составим для него также теорему Пифагора:

   

Так как в обоих уравнениях присутствует неизвестная нам по длине величина , то выразим ее из обоих уравнений и затем полученные выражения приравняем:

   

   

   

Подставим в полученное равенство: , , , .

   

Раскроем скобки:

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: радиус малых окружностей , радиус больших .

 

Задача № 4: Боковые стороны КL и МN трапеции KLMN  равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен  7,5. Средняя линия =17,5. Прямые КL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности,  вписанной в треугольник АLM.

Как и многие задачи планиметрии, эта также может иметь два решения – сразу это отметим. Разные решения получаются из вида трапеции – так как мы не знаем пока, какое из оснований трапеции – большее. Сначала изобразим трапецию так, что большим является нижнее основание. Тогда обозначим верхнее основание , а нижнее – . Знаем мы пока только то, что . Также нам известно, что .

Трапеция, ее диагонали

Рассмотрим треугольник . Его средняя линия  ‍. Средняя линия треугольника   , а отрезок .

Теперь, зная полусумму и полуразность оснований, составляем систему и решаем ее, определяя основания трапеции:

   

Складываем уравнения системы и находим : . Тогда .

Когда мы узнали основания, воспользуемся подобием треугольников и :

   

   

   

   

   

Тогда ,

Зная стороны треугольника ALM, можно определить его площадь по формуле Герона, а там и радиус вписанной окружности:

   

   

   

   

Определим радиус вписанной окружности:

   

Мы решили задачу для случая, когда нижнее основание трапеции больше верхнего. Теперь нарисуем трапецию с меньшим нижним основанием.

Перевернем трапецию

Тогда

   

   

   

   

 

   

   

   

 

   

   

   

   

Определим радиус вписанной окружности:

   

Ответ: 2 или 5.

 

Задача  5: На боковой стороне АВ равнобедренного треугольника, как на диаметре, построена окружность. Окружность пересекает основание АС в точке М и боковую сторону СВ в точке N .Найдите периметр треугольника МNС, если АВ=10, АС=8.

Окружность на боковой стороне

Проведем . Треугольник , полученный нами, является прямоугольным, так как вписанный угол опирается на диаметр окружности. Поэтому в треугольнике будет являться высотой, но также и медианой, и биссектрисой. Для нас важно, что разделит основание пополам: .

Проведем . Треугольник , полученный нами, является прямоугольным, так как вписанный угол опирается на диаметр окружности  и является смежным с углом . Поэтому , являющаяся медианой треугольника , равна половине его гипотенузы, то есть

Треугольники  и подобны, коэффициент подобия будет равен , поэтому и периметры треугольников также будут относиться друг к другу с данным коэффициентом. Тогда

   

   

   

Ответ: 11.2

 

Задача 6. Точка лежит на отрезке . Прямая, проходящая через точку , касается окружности с диаметром в точке , и второй раз пересекает окружность с диаметром в точке . Продолжение отрезка пересекает окружность с диаметром в точке .

а) Докажите, что прямые и параллельны.

б) Найдите площадь треугольника , если , .

Выполним чертеж.

Задача о двух окружностях и пересекающей их прямой

Рассмотрим треугольники и . Оба они – прямоугольные, так как вписанные углы и опираются на диаметры окружностей. Отрезки и принадлежат одной прямой, которая перпендикулярна как прямой , так и прямой , следовательно, – пункт а) доказан.

Переходим к пункту б). Проведем отрезок и отрезок , являющийся радиусом большей окружности – окружности с диаметром .

Ход решения

Так как радиус проведен в точку касания, то . Так как вписанный угол опирается на диаметр , то , а значит, треугольники и подобны.

Запишем для них отношение сторон:

   

– сумма диаметра малой окружности и радиуса большой, .

– диаметр малой, .

   

Из этой пропорции находим легко, что .

Треугольники    и также подобны (по двум углам), и для них отношение сторон:

   

Искомая площадь:

   

То есть треугольники и – равновеликие, их площади равны и мы можем найти площадь треугольника . Чтобы определить его площадь, нужно знать радиус малой окружности и высоту .

Теперь применим свойства касательных и секущих к большей окружности.

Продолжение решения

   

   

   

   

   

   

   

В подобных треугольниках и общим является угол . Его тангенс равен:

 

 

   

   

Запишем теорему Пифагора для треугольника :

   

   

   

   

   

   

И, наконец, площадь треугольника :

   

Ответ: 30.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *