Планиметрическая задача профильного ЕГЭ

Задача отнюдь не простая, но в целом – решилась же! Значит, не нужно бояться решать подобные задачи, их надо разматывать, как клубок, ища подобие, отыскивая равные углы, используя все приемы, известные вам, а чтобы этих приемов было достаточно в копилке – надо набираться опыта.

Задача. Дан равнобедренный треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . В точке $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ на основании $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ находится центр вписанной в треугольник полуокружности. Некоторая касательная к полуокружности пересекает боковые стороны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ треугольника в точках $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ соответственно, а прямая, проходящая через точки касания боковых сторон с полуокружностью, пересекает отрезки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ в точках $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ соответственно. Чему равна длина отрезка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ?

Построим треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , заметив, что косинус угла при вершине отрицателен, следовательно, угол является тупым. Также заметим, что точка $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ обязательно является основанием высоты треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , иначе вписать в треугольник полуокружность не получится: треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равны по гипотенузе и катету, которым является радиус полуокружности.

Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – ромбоид, его диагонали перпендикулярны, следовательно, прямая $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ параллельна $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Рисунок

Обозначим углы треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ : при вершине – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , при основании – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Заметим, что отрезки $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , и что $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – биссектриса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , а $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – биссектриса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Обратим внимание на треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Они имеют общий угол. Попробуем доказать их подобие, тогда, определив коэффициент подобия, мы сможем решить задачу.

Треугольник $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – прямоугольный, следовательно, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , аналогично $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ как накрестлежащие.

Обозначим углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке. Попробуем определить через эти углы и угол $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Углы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ равны, их сумма – внешний угол треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Тогда

Так как угол 4 – внешний для треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то

Поэтому

Так как угол 3 – внешний для треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то

Поэтому

Таким образом, мы доказали, что треугольники $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ подобны по двум углам (третий и не обязателен был).

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

$Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – коэффициент подобия. С таким же коэффициентом будут относиться другие стороны этих треугольников, а также и их высоты:

Высота треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , высота треугольника $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Запишем эту высоту через $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ : в треугольнике $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ,