Задача отнюдь не простая, но в целом – решилась же! Значит, не нужно бояться решать подобные задачи, их надо разматывать, как клубок, ища подобие, отыскивая равные углы, используя все приемы, известные вам, а чтобы этих приемов было достаточно в копилке – надо набираться опыта.
Задача. Дан равнобедренный треугольник . В точке
на основании
находится центр вписанной в треугольник полуокружности. Некоторая касательная к полуокружности пересекает боковые стороны
и
треугольника в точках
и
соответственно, а прямая, проходящая через точки касания боковых сторон с полуокружностью, пересекает отрезки
и
в точках
и
соответственно. Чему равна длина отрезка
, если
и
?
Построим треугольник , заметив, что косинус угла при вершине отрицателен, следовательно, угол является тупым. Также заметим, что точка
обязательно является основанием высоты треугольника
, иначе вписать в треугольник полуокружность не получится: треугольники
и
равны по гипотенузе и катету, которым является радиус полуокружности.
Тогда – ромбоид, его диагонали перпендикулярны, следовательно, прямая
параллельна
.

Рисунок
Обозначим углы треугольника : при вершине –
, при основании –
. Тогда
.
Заметим, что отрезки ,
, и что
– биссектриса
, а
– биссектриса
.
Обратим внимание на треугольники и
. Они имеют общий угол. Попробуем доказать их подобие, тогда, определив коэффициент подобия, мы сможем решить задачу.
Треугольник – прямоугольный, следовательно,
, аналогично
. Тогда
как накрестлежащие.
Обозначим углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке. Попробуем определить через эти углы и угол углы
и
.
Углы и
равны, их сумма – внешний угол треугольника
. Тогда
Так как угол 4 – внешний для треугольника , то
Поэтому
Углы и
равны, их сумма – внешний угол треугольника
. Тогда
Так как угол 3 – внешний для треугольника , то
Поэтому
Таким образом, мы доказали, что треугольники и
подобны по двум углам (третий и не обязателен был).
Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и
:
– коэффициент подобия. С таким же коэффициентом будут относиться другие стороны этих треугольников, а также и их высоты:
Высота треугольника
, высота треугольника
–
. Запишем эту высоту через
: в треугольнике
,
Тогда коэффициент подобия равен:
Наконец, найдем :
Синус половинного угла
Искомый отрезок равен:
Ответ:
Задачу 2 хорошо через мгновенную ось вращения...
Картинку необходимо заменить: пуля летит сверху вниз. Тогда решение сомнений не...
Какой же это подгон? ОЧень красивое решение. Теорема о трех непараллельных силах,...
За такое решение ученик получит 1 бал вместо...
Тогда это "подгон" под...