Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Планиметрия (16 (C4))

Планиметрическая задача профильного ЕГЭ

Задача отнюдь не простая, но в целом – решилась же! Значит, не нужно бояться решать подобные задачи, их надо разматывать, как клубок, ища подобие, отыскивая равные углы, используя все приемы, известные вам, а чтобы этих приемов было достаточно в копилке – надо набираться опыта.

Задача. Дан равнобедренный треугольник AJM. В точке N на основании AM находится центр вписанной в треугольник полуокружности. Некоторая касательная к полуокружности пересекает боковые стороны AJ и MJ треугольника в точках E и C соответственно, а прямая, проходящая через точки касания боковых сторон с полуокружностью, пересекает отрезки NE и NC в точках Y и K соответственно.  Чему равна длина отрезка YK, если EC=10 и \cos{\angle MJA}=-\frac{7}{8}?

Построим треугольник AJM, заметив, что косинус угла при вершине отрицателен, следовательно, угол является тупым. Также заметим, что точка N обязательно является основанием высоты треугольника AJM, иначе вписать в треугольник полуокружность не получится: треугольники NPJ и JQN равны по гипотенузе и катету, которым является радиус полуокружности.

Тогда PJQN – ромбоид, его диагонали перпендикулярны, следовательно,  прямая PQ параллельна AM.

Рисунок

Обозначим углы треугольника AJM: при вершине – \alpha, при основании – \beta. Тогда \angle{AJN}=\angle{MJN}=\frac{\alpha}{2}.

Заметим, что отрезки PE=ET, TC=CQ, и что NE – биссектриса \angle PNT, а NC – биссектриса \angle TNQ.

Обратим внимание на треугольники ENC и YNK. Они имеют общий угол. Попробуем доказать их подобие, тогда, определив коэффициент подобия, мы сможем решить задачу.

Треугольник APN – прямоугольный, следовательно, \angle PNA=\frac{\alpha}{2}, аналогично \angle QNM=\frac{\alpha}{2}. Тогда \angle YQN=\angle YPN =\frac{\alpha}{2} как накрестлежащие.

Обозначим углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке. Попробуем определить через эти углы и угол \frac{\alpha}{2} углы CEN и ECN.

Углы AEN и NET равны, их сумма – внешний угол треугольника EJC. Тогда

    \[2 \angle NEC=\alpha+\angle 2\]

    \[\angle NEC=\frac{\alpha}{2}+\frac{\angle 2}{2}\]

Так как угол 4 – внешний для треугольника KQN, то

    \[\angle 4=\frac{\alpha}{2}+\frac{\angle 2}{2}\]

Поэтому

    \[\angle NEC=\angle 4\]

Углы TCN и NCS равны, их сумма – внешний угол треугольника EJC. Тогда

    \[2 \angle TCN=\alpha+\angle 1\]

    \[\angle TCN=\frac{\alpha}{2}+\frac{\angle 1}{2}\]

Так как угол 3 – внешний для треугольника PYN, то

    \[\angle 3=\frac{\alpha}{2}+\frac{\angle 1}{2}\]

Поэтому

    \[\angle TCN=\angle 3\]

Таким образом, мы доказали, что треугольники ENC и YNK подобны по двум углам (третий и не обязателен был).

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников ENC и YNK:

    \[\frac{EC}{YK}=k\]

k – коэффициент подобия. С таким же коэффициентом будут относиться другие стороны этих треугольников, а также и их высоты:

    \[\frac{TN}{ON}=k\]

Высота треугольника ECN  TN=R, высота треугольника YKN  – ON. Запишем эту высоту через R: в треугольнике  NOQ NQ=R,

    \[\frac{ON}{R}=\sin{\frac{\alpha}{2}}\]

    \[ON=R\sin{\frac{\alpha}{2}}\]

Тогда коэффициент подобия равен:

    \[k=\frac{TN}{ON}=\frac{R}{R\sin{\frac{\alpha}{2}}}=\frac{1}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}\]

Наконец, найдем YK:

    \[YK=\frac{EC}{k}= EC \sin{\frac{\alpha}{2}}\]

    \[\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}=\frac{1+\frac{7}{8}}{2}=\frac{15}{16}\]

Синус половинного угла

    \[\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{4}\]

Искомый отрезок равен:

    \[YK= EC \sin{\frac{\alpha}{2}}=10 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=2,5\sqrt{15}\]

Ответ: 2,5\sqrt{15}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *