Планиметрическая задача профильного ЕГЭ

Задача отнюдь не простая, но в целом – решилась же! Значит, не нужно бояться решать подобные задачи, их надо разматывать, как клубок, ища подобие, отыскивая равные углы, используя все приемы, известные вам, а чтобы этих приемов было достаточно в копилке – надо набираться опыта.

Задача. Дан равнобедренный треугольник . В точке на основании находится центр вписанной в треугольник полуокружности. Некоторая касательная к полуокружности пересекает боковые стороны и треугольника в точках и соответственно, а прямая, проходящая через точки касания боковых сторон с полуокружностью, пересекает отрезки и в точках и соответственно.  Чему равна длина отрезка , если и ?

Построим треугольник , заметив, что косинус угла при вершине отрицателен, следовательно, угол является тупым. Также заметим, что точка обязательно является основанием высоты треугольника , иначе вписать в треугольник полуокружность не получится: треугольники и равны по гипотенузе и катету, которым является радиус полуокружности.

Тогда – ромбоид, его диагонали перпендикулярны, следовательно,  прямая параллельна .

Рисунок

Обозначим углы треугольника : при вершине – , при основании – . Тогда .

Заметим, что отрезки , , и что – биссектриса , а – биссектриса .

Обратим внимание на треугольники и . Они имеют общий угол. Попробуем доказать их подобие, тогда, определив коэффициент подобия, мы сможем решить задачу.

Треугольник – прямоугольный, следовательно, , аналогично . Тогда как накрестлежащие.

Обозначим углы 1, 2, 3 и 4 на рисунке. Попробуем определить через эти углы и угол углы и .

Углы и равны, их сумма – внешний угол треугольника . Тогда

Так как угол 4 – внешний для треугольника , то

Поэтому

Углы и равны, их сумма – внешний угол треугольника . Тогда

Так как угол 3 – внешний для треугольника , то

Поэтому

Таким образом, мы доказали, что треугольники и подобны по двум углам (третий и не обязателен был).

Запишем отношение сходственных сторон для треугольников и :

– коэффициент подобия. С таким же коэффициентом будут относиться другие стороны этих треугольников, а также и их высоты:

Высота треугольника  , высота треугольника  – . Запишем эту высоту через : в треугольнике  ,

Тогда коэффициент подобия равен:

Наконец, найдем :

Синус половинного угла

Искомый отрезок равен:

Ответ: