Научиться решать 16-ю задачу профильного ЕГЭ непросто. Для этого нужно много и упорно решать, а также и просматривать готовые решения, беря из них для себя новые приемы.
Задача 1. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный;
б) Известно, что 
. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
Чертеж к задаче
а) Обозначим угол 
. Тогда, так как треугольник BLD равнобедренный, угол 
также равен 
, а угол 
. В треугольнике 
, таким образом, внешний угол равен 
, а так как один из внутренних несмежных с ним – – равен , то и второй – 
– также равен , и треугольник является равнобедренным.
б) Так как , то 
. Но треугольник ABC – равнобедренный, поэтому 
, 
. Тогда 
. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон:
То есть 
.
Треугольники 
и 
подобны по двум углам, запишем для них отношение сторон:
Или, так как по доказанному треугольник является равнобедренным,
Заменим в этом равенстве 
:
Разделим все равенство на 
:
Тогда 
, и 
Ответ: .
Задача 2. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что 
.
б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.
Чертеж к задаче 2
а) Угол MQD обозначим . Он равен углу CBM как накрестлежащий и является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен . Треугольник MOP равнобедренный, поэтому 
. Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда угол DMP равен 
.
б) CM, по сути, радиус окружности, а 
– расстояние от центра окружности до хорды 
. Это позволяет найти длину хорды PQ. В прямоугольном треугольнике OPI, где 
, находим:
Тогда 
, а 
. Следовательно, 
.
В подобных треугольниках 
и 
соотношение сторон:
Или
Ответ: 68
Задача 3. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.
Чертеж к задаче 3
а) Так как обе окружности должны касаться и верхнего, и нижнего оснований, то обязательно их радиусы равны, а диаметры – высота трапеции. По условию 
, 
, а 
. Поэтому также будут равны и отрезки: 
, 
, 
, 
. Кроме того, по свойству касательных равны отрезки: 
, 
, 
, 
. Получается, что 
и 
, следовательно, трапеция равнобедренная.
б) Изобразим окружность с центром в точке 
. Радиус этой окружности будет так же относиться к радиусу окружности с центром в точке О как 
. Рассмотрим треугольник 
. Он прямоугольный, так как образован пересекающимися биссектрисами 
и 
углов трапеции А и В. Треугольники 
и 
также прямоугольные (образованы радиусом, проведенным в точку касания) и подобны треугольнику . Так как 
, а 
, то 
, то есть в треугольнике известны все стороны: 
, 
, 
. Тогда из подобия треугольников и запишем:
Тогда 
, и
Ответ: 
Задача 4. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.
Чертеж к задаче 4
а) Запишем, из каких отрезков складывается периметр:
Обозначим радиус большой окружности с центром в точке В 
. Радиус средней окружности с центром в точке С обозначим 
, а последней, которая касается первых двух, с центром в точке A – 
. Тогда отрезок 
. Отрезок BC – это разность 
, а отрезок AB – это разность 
. Сложим отрезки:
б) Найдем радиус третьей окружности. Это можно сделать из прямоугольного треугольника 
, если предварительно найти длину 
.
Длину EB определим из треугольника 
.
Возведем все в квадрат:
Ответ: 
Задача 5. К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причем отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE – другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами 18, а AC=8.
Чертеж к 5 задаче
а) Периметр CDE равен:
Расстояние между точками А и В равно расстоянию между центрами окружностей 
. По свойству касательных 
, 
, 
, 
, поэтому
б) Чтобы найти DE, определим длины отрезков 
и 
и вычтем их из известного расстояния между точками M и K.
Из подобия треугольников 
и 
запишем:
Одновременно по теореме Пифагора для треугольника ACH:
Получили квадратное уравнение, которое позволит найти OH.
Определим дискриминант:
Отрицательный корень отбрасываем, положительный:
Определим 
:
Определим 
:
Тогда в подобных треугольниках и 
соотношение сходственных сторон:
Аналогично найдем отрезок :
Из подобия треугольников 
и 
запишем:
Одновременно по теореме Пифагора для треугольника CBI:
Получили квадратное уравнение, которое позволит найти 
.
Определим дискриминант:
Отрицательный корень отбрасываем, положительный:
Определим 
:
Определим 
:
Тогда в подобных треугольниках 
и 
соотношение сходственных сторон:
Наконец, найдем 
:
Ответ: 
Комментариев - 4
Задачка5б) решена по идиотски! Из подобия т.OAC и т.OMD сразу получаем MD=r**2\AC=25\8=3 +1\8 ! И не нужно городульки городить с квадратным уравнением!
Спасибо, действительно, так проще!
Первое задание чёткое решение, спасибо)
Благодарю)))