Планиметрическая задача номер 16 профильного ЕГЭ

Научиться решать 16-ю задачу профильного ЕГЭ непросто. Для этого нужно много и упорно решать, а также и просматривать готовые решения, беря из них для себя новые приемы.

Задача 1. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный;

б) Известно, что .  В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

а) Обозначим угол . Тогда, так как треугольник BLD равнобедренный, угол также равен , а угол . В треугольнике , таким образом, внешний угол равен , а так как один из внутренних несмежных с ним – – равен , то и второй – – также равен , и треугольник является равнобедренным.

б) Так как , то . Но треугольник ABC – равнобедренный, поэтому , . Тогда . По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон:

   

То есть .

Треугольники и подобны по двум углам, запишем для них отношение сторон:

   

Или, так как по доказанному треугольник является равнобедренным,

   

   

Заменим в этом равенстве :

   

Разделим все равенство на :

   

Тогда , и

Ответ: .

 

Задача 2. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что .

б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.

а) Угол MQD обозначим . Он равен углу CBM как накрестлежащий и  является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен .  Треугольник MOP равнобедренный, поэтому . Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда угол DMP равен .

б) CM, по сути, радиус окружности, а – расстояние от центра окружности до хорды . Это позволяет найти длину хорды PQ. В прямоугольном треугольнике OPI, где , находим:

   

   

Тогда , а . Следовательно, .

В подобных треугольниках и соотношение сторон:

   

Или

   

   

   

   

Ответ: 68

 

Задача 3. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.

б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

а) Так как обе окружности должны касаться и верхнего, и нижнего оснований, то обязательно их радиусы равны, а диаметры – высота трапеции. По условию , , а . Поэтому также будут равны и отрезки: , , , . Кроме того, по свойству касательных равны отрезки: , , , . Получается, что и , следовательно, трапеция равнобедренная.

б) Изобразим окружность с центром в точке . Радиус этой окружности будет так же относиться к радиусу окружности с центром в точке О как . Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, так как образован пересекающимися биссектрисами и углов трапеции А и В. Треугольники и также прямоугольные (образованы радиусом, проведенным в точку касания) и подобны треугольнику . Так как , а , то , то есть в треугольнике известны все стороны: , , . Тогда из подобия треугольников и запишем:

   

   

Тогда , и

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

Ответ:

 

Задача 4. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

а) Запишем, из каких отрезков складывается периметр:

   

Обозначим радиус большой окружности с центром в точке В . Радиус средней окружности с центром в точке С обозначим , а последней, которая касается первых двух, с центром в точке A – . Тогда отрезок . Отрезок BC – это разность , а отрезок AB – это разность . Сложим отрезки:

   

б) Найдем радиус третьей окружности. Это можно сделать из прямоугольного треугольника , если предварительно найти длину .

   

   

Длину EB определим из треугольника .

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Возведем все в квадрат:

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

 

Задача 5. К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причем отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE – другой.

а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.

б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами 18, а AC=8.

а) Периметр CDE равен:

   

   

Расстояние между точками А и В равно расстоянию между центрами окружностей . По свойству касательных , , , , поэтому

   

б) Чтобы найти DE, определим длины отрезков и и вычтем их из известного расстояния между точками M и K.

Из подобия треугольников и запишем:

   

   

   

Одновременно по теореме Пифагора для треугольника ACH:

   

   

   

   

Получили квадратное уравнение, которое позволит найти OH.

   

Определим дискриминант:

   

Отрицательный корень отбрасываем, положительный:

   

Определим :

   

Определим :

   

Тогда в подобных треугольниках и соотношение сходственных сторон:

   

   

   

Аналогично найдем отрезок :

Из подобия треугольников и запишем:

   

   

   

Одновременно по теореме Пифагора для треугольника CBI:

   

   

   

Получили квадратное уравнение, которое позволит найти .

   

Определим дискриминант:

   

Отрицательный корень отбрасываем, положительный:

   

Определим :

   

Определим :

   

Тогда в подобных треугольниках и соотношение сходственных сторон:

   

   

Наконец, найдем :

   

Ответ: