Научиться решать 16-ю задачу профильного ЕГЭ непросто. Для этого нужно много и упорно решать, а также и просматривать готовые решения, беря из них для себя новые приемы.
Задача 1. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный;
б) Известно, что . В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Чертеж к задаче
а) Обозначим угол . Тогда, так как треугольник BLD равнобедренный, угол
также равен
, а угол
. В треугольнике
, таким образом, внешний угол равен
, а так как один из внутренних несмежных с ним –
– равен
, то и второй –
– также равен
, и треугольник является равнобедренным.
б) Так как , то
. Но треугольник ABC – равнобедренный, поэтому
,
. Тогда
. По свойству биссектрисы отношение отрезков, на которые она делит сторону треугольника, равно отношению прилежащих сторон:
То есть .
Треугольники и
подобны по двум углам, запишем для них отношение сторон:
Или, так как по доказанному треугольник является равнобедренным,
Заменим в этом равенстве :
Разделим все равенство на :
Тогда , и
Ответ: .
Задача 2. Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причем точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что .
б) Известно, что CM=17 и CD=25. Найдите сторону AD.

Чертеж к задаче 2
а) Угол MQD обозначим . Он равен углу CBM как накрестлежащий и является вписанным углом окружности, поэтому центральный угол, опирающийся на ту же дугу – угол MOP, равен
. Треугольник MOP равнобедренный, поэтому
. Угол OMD – прямой, так как OM – радиус, а CD – касательная. Тогда угол DMP равен
.
б) CM, по сути, радиус окружности, а – расстояние от центра окружности до хорды
. Это позволяет найти длину хорды PQ. В прямоугольном треугольнике OPI, где
, находим:
Тогда , а
. Следовательно,
.
В подобных треугольниках и
соотношение сторон:
Или
Ответ: 68
Задача 3. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD разбивает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 10. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в нее окружности.

Чертеж к задаче 3
а) Так как обе окружности должны касаться и верхнего, и нижнего оснований, то обязательно их радиусы равны, а диаметры – высота трапеции. По условию ,
, а
. Поэтому также будут равны и отрезки:
,
,
,
. Кроме того, по свойству касательных равны отрезки:
,
,
,
. Получается, что
и
, следовательно, трапеция равнобедренная.
б) Изобразим окружность с центром в точке . Радиус этой окружности будет так же относиться к радиусу окружности с центром в точке О как
. Рассмотрим треугольник
. Он прямоугольный, так как образован пересекающимися биссектрисами
и
углов трапеции А и В. Треугольники
и
также прямоугольные (образованы радиусом, проведенным в точку касания) и подобны треугольнику
. Так как
, а
, то
, то есть в треугольнике
известны все стороны:
,
,
. Тогда из подобия треугольников
и
запишем:
Тогда , и
Ответ:
Задача 4. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 4 и 1.

Чертеж к задаче 4
а) Запишем, из каких отрезков складывается периметр:
Обозначим радиус большой окружности с центром в точке В . Радиус средней окружности с центром в точке С обозначим
, а последней, которая касается первых двух, с центром в точке A –
. Тогда отрезок
. Отрезок BC – это разность
, а отрезок AB – это разность
. Сложим отрезки:
б) Найдем радиус третьей окружности. Это можно сделать из прямоугольного треугольника , если предварительно найти длину
.
Длину EB определим из треугольника .
Возведем все в квадрат:
Ответ:
Задача 5. К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке AB, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причем отрезки CA и CD касаются одной окружности, а отрезки CB и CE – другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами 18, а AC=8.

Чертеж к 5 задаче
а) Периметр CDE равен:
Расстояние между точками А и В равно расстоянию между центрами окружностей . По свойству касательных
,
,
,
, поэтому
б) Чтобы найти DE, определим длины отрезков и
и вычтем их из известного расстояния между точками M и K.
Из подобия треугольников и
запишем:
Одновременно по теореме Пифагора для треугольника ACH:
Получили квадратное уравнение, которое позволит найти OH.
Определим дискриминант:
Отрицательный корень отбрасываем, положительный:
Определим :
Определим :
Тогда в подобных треугольниках и
соотношение сходственных сторон:
Аналогично найдем отрезок :
Из подобия треугольников и
запишем:
Одновременно по теореме Пифагора для треугольника CBI:
Получили квадратное уравнение, которое позволит найти .
Определим дискриминант:
Отрицательный корень отбрасываем, положительный:
Определим :
Определим :
Тогда в подобных треугольниках и
соотношение сходственных сторон:
Наконец, найдем :
Ответ:
Комментариев - 4
Задачка5б) решена по идиотски! Из подобия т.OAC и т.OMD сразу получаем MD=r**2\AC=25\8=3 +1\8 ! И не нужно городульки городить с квадратным уравнением!
Спасибо, действительно, так проще!
Первое задание чёткое решение, спасибо)
Благодарю)))