Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (14 (С2))

Пирамида

В этой статье решим несколько стереометрических задач.

Задача 1. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4\sqrt{6} см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

Решение. Очевидно, что все боковые стороны пирамиды – равнобедренные треугольники. В том числе и те, которые имеют своим основанием основания трапеции.

К задаче 1

Найдем высоты этих двух треугольников – SG и SF.

    \[SG=\sqrt{SC^2-GC^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{160}\]

    \[SF=\sqrt{SD^2-FD^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{145}\]

Так как SG\perp BC и SF\perp AD (SG и SF – высоты соответствующих треугольников), то GF – высота трапеции, которая по данным задачи равна 5. Таким образом, треугольник GSF – «осевое» сечение пирамиды и его высота и будет высотой пирамиды. Осталось ее найти. Для этого определим площадь этого треугольника и затем, зная его основание, определим высоту.

Рассчитаем треугольник GSF  по теореме косинусов, чтобы узнать  угол при его вершине S.

    \[GF^2=SG^2+SF^2-2\cdot SG\cdot SF\cos(GSF)\]

    \[5^2=160+145-2\cdot \sqrt{160}\cdot \sqrt{145}\cos(GSF)\]

    \[\cos(GSF)=\frac{140}{\sqrt{160}\cdot \sqrt{145}}=\frac{7}{\sqrt{58}}\]

Тогда через основное тригонометрическое тождество

    \[\sin(GSF)=\frac{3}{\sqrt{58}}\]

Удвоенная площадь треугольника GSF равна

    \[2S= SG\cdot SF\sin(GSF)=GF\cdot H\]

Откуда

    \[H=\frac{ SG\cdot SF\sin(GSF)}{ GF }=\frac{\sqrt{160}\cdot \sqrt{145}\cdot 3}{\sqrt{58}\cdot5}=12\]

Ответ: высота пирамиды 12.

 

Задача 2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60^{\circ} с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

К задаче 2

Решение. Если с плоскостью основания боковое ребро образует угол в 60^{\circ}, значит, с высотой – угол в 30^{\circ}. А против угла в 60^{\circ} лежит катет, равный половине гипотенузы – значит, половина диагонали основания пирамиды – 6. А вся диагональ – 12. Площадь основания найдем по формуле для ромба:

    \[S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 144=72\]

Если диагональ основания равна 12, то сторона основания – в \sqrt{2} раз меньше и равна 6\sqrt{2}. Следовательно, апофема пирамиды –

    \[h=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{4}}\]

Где h – апофема, l – боковое ребро, a – сторона основания.

    \[h=\sqrt{12^2-18}=\sqrt{144-18}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}\]

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна

    \[S_{bok}=4\cdot\frac{ah}{2}=2ah=2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{14}=72\sqrt{7}\]

Полная площадь поверхности равна

    \[S_p=S+ S_{bok}=72+72\sqrt{7}\]

Ответ: S_p=72(1+\sqrt{7}).

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60^{\circ}. Найдите боковое ребро пирамиды.

К задаче 3

Решение. Если угол наклона грани к плоскости основания равен 60^{\circ}, то треугольник, выделенный рыжим, не только равнобедренный, но и правильный. Поэтому апофема пирамиды равна 6. А боковое ребро, следовательно, \sqrt{45}.

Ответ: 3\sqrt{5}.

Задача 4. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

К задаче 4

Решение. Так как меньшая диагональ параллелограмма равна 3, то стороны параллелограмма и его диагональ образуют египетский треугольник, площадь которого 6, а площадь параллелограмма, таким образом, 12.

Зная площадь параллелограмма, найдем его высоты: h_1=3, h_2=2,4. Если провести обе высоты через точку пересечения диагоналей, то высоты боковых граней обязательно «придут» в точки пересечения высот со сторонами (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому, зная высоту пирамиды и длины половинок высот основания, можно определить длины апофем боковых граней.

Например,   OF и OH равны

    \[OF=OH=1,5\]

Высоты граней DAS и CBS

    \[SF=SH=\sqrt{2^2+1,5^2}=2,5\]

Площади этих граней будут равны 5.

Отрезки GO и OK

    \[GO=OK=1,2\]

Высоты граней DSC и ABS

    \[SK=SG=\sqrt{2^2+1,2^2}=\frac{2\sqrt{34}}{5}\]

Площади этих граней будут равны

    \[S_{DCS}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{2\sqrt{34}}{5}=\sqrt{34}\]

Определяем полную площадь поверхности пирамиды:

    \[S_{poln}=12+5+5+2\sqrt{34}=22+2\sqrt{34}\]

Ответ: S_{poln}=22+2\sqrt{34}

Задача 5. Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45^{\circ}. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

К задаче 5

Решение. ED – это диагональ параллелепипеда, из которого «вырезана» данная пирамида. Угол EAB равен 45^{\circ}, следовательно, AB=BC=BE, то есть ED=12 – диагональ куба. Сторона этого куба, следовательно, равна 4\sqrt{3}. Площадь боковой поверхности будет складываться из площадей четырех прямоугольных треугольников. Два из них – ABE и BEC – имеют площади по \frac{1}{2}\cdot (4\sqrt{3})^2=24, а другие 2 – AED и CED – имеют один катет 4\sqrt{3}, а второй 4\sqrt{6}, и площадь, соответственно, 24\sqrt{2}. Полная площадь боковой поверхности этой пирамиды будет равна 48\sqrt{2}+48.

Ответ: S=48\sqrt{2}+48.

Задача 6. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC, у которого AB =AC =13 см, BC= 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

К задаче 6

Решение. Треугольники ABD и ADC прямоугольные. Их площади равны

    \[S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=58,5\]

Треугольник BDC – равнобедренный, с основанием 10 и боковой стороной, равной \sqrt{250}. Его высота DF может быть найдена по теореме Пифагора:

    \[DF=\sqrt{DC^2-FC^2}=\sqrt{250-25}=15\]

Его площадь равна

    \[S=FC\cdotDF=5\cdot15=75\]

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 58,5\cdot 2+75=192.

Ответ: 192.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *