Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Второй закон Кеплера

В этой статье решаем задачи на первый закон Кеплера. Задачи взяты с сайта «myastronomy.ru».

Задача 1. Известно, что орбиты шаровых скоплений имеют большой эксцентриситет и наклонение к плоскости Галактики. Объясните, почему в гало галактик наблюдается больше шаровых скоплений, чем вблизи ядер галактик.

Решение. Шаровое скопление вращается вокруг центра Галактики по орбите, представляющей собой эллипс, в одном из фокусов которого находится центр Галактики. Скорость движения небесного тела вблизи самой удаленной от центра притяжения точки орбиты намного  меньше, чем вблизи точки, наиболее близкой к центру обращения. Поэтому шаровые скопления проводят большую часть времени вдалеке от центра галактики.  А так как их орбиты наклонены к плоскости галактики на большие углы, то они при этом покидают диск и оказываются в гало вдали от плоскости Млечного Пути.

 

Задача 2. Земля проходит перигелий своей орбиты в начале января, а афелий – в начале июля. Объясните, как это сказывается на климате планеты.

Решение. Наибольшим образом на климате планеты сказывается наклон ее оси, а не расстояние от планеты до светила.

Земля на орбите

Именно наклон оси «ответственен» за смену времен года на планете.

Но, если бы ось планеты была бы наклонена так, как показано на рисунке, то мы, несомненно, ощутили бы перемену климата: лето в северном полушарии было бы жарче, а зима – холоднее.

В перигелии в Северном полушарии наступало бы лето, а в афелии – зима. В Южном полушарии лето наступало бы в афелии, то есть было бы прохладнее, и зима – в перигелии, значит, она стала бы теплее.   То есть в южном полушарии климат смягчился бы, а в северном стал бы резче.

Задача 3. Скорость некоторого астероида в точке афелия его орбиты втрое меньше, чем в точке перигелия. Найдите эксцентриситет орбиты этого астероида.

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, например, для Земли – апогей и перигей, для Луны – апоселений и периселений.

В перицентре, при r= q = a(1—\varepsilon), тело-спутник обладает наибольшей скоростью

    \[\upsilon_q=\upsilon_a\sqrt{\frac{Q}{q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}\]

а в апоцентре, при r = Q = a (1 + \varepsilon), — наименьшей   скоростью

    \[\upsilon_Q=\upsilon_a\sqrt{\frac{q}{Q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}\]

Если

    \[\frac{\upsilon_Q }{\upsilon_q}=\frac{1}{3}\]

То

    \[\frac{\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}}{\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}}=\frac{(1-\varepsilon)^2 }{(1+\varepsilon)^2}=\frac{1}{3}\]

Или

    \[\frac{1-\varepsilon }{1+\varepsilon }=\frac{1}{\sqrt{3}}\]

    \[\sqrt{3}(1-\varepsilon)= 1+\varepsilon\]

    \[\varepsilon=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{0,73}{2.73}=0,267\]

Ответ: 0,267

Можно было и так рассуждать: отношение скоростей в апоцентре и перицентре равно отношению длин радиус векторов в перицентре и апоцентре соответственно:

    \[\upsilon_A\cdot Q=\upsilon_P\cdot q\]

    \[\frac{\upsilon_A }{\upsilon_P}=\frac{q}{Q}\]

Зная это отношение, легко определить эксцентриситет.

Задача 4. Эллиптическую орбиту кометы разделили на две части прямой линией, проходящей через Солнце. Докажите, что комета получает равное количество энергии от Солнца за время движения по каждой из этих двух частей траектории.

Так как энергия светила рассеивается во все стороны равномерно, то на единицу поверхности сферы радиусом R приходится одно и то же количество энергии. Можно его записать как

    \[E=\frac{L}{4\pi R^2}\]

Здесь L – светимость (количество энергии, выбрасываемой в секунду), а 4\pi R^2  – площадь сферы.

По второму закону Кеплера за одно и то же время радиус-вектор кометы заметает равные площади. Площадь сектора круга может быть записана как

    \[S=\frac{\pi R^2 \alpha}{360}\]

Площадь сектора, заметаемого радиус-вектором кометы, пропорциональна квадрату радиуса и углу сектора:

    \[S_c\propto  R^2 \alpha\]

Получается, время заметания пропорционально площади сектора.

    \[\Delta t \propto R^2 \alpha\]

Поэтому количество тепла, полученного кометой за единицу времени, равно

    \[E\Delta t=\frac{L}{4\pi R^2}\cdot R^2 \alpha=\frac{L\alpha }{4\pi}\]

Таким образом, получается, что количество тепла пропорционально углу. А так как орбиту рассекли прямой линией, то на обоих участках заметаемый угол равен 180 градусам, а значит, и количества тепла на обеих дугах равны.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *