Первое начало: задачи с графиками

[latexpage]

Предложенные в этой статье задачи могут встретиться вам в части С ЕГЭ по физике. Многие пасуют перед графическими задачами, я помогу вам справиться с этим страхом и щелкать их, как орешки!

Задача 1. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль идеального одноатомного газа. Начальная температура газа $t=27^{\circ}$. Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

Видим, что на рисунке изображена изобара. Кроме того, видим, что газ совершал работу в этом процессе. Определим ее:

$$A=p_0\cdot 3V_0-p_0V_0=2p_0V_0$$

По закону Гей-Люссака

$$\frac{V_0}{T_1}=\frac{3V_0}{T_2}$$

Откуда

$$T_2=3T_1$$

Следовательно, изменение температуры

$$\Delta T=T_2-T_1=3T_0-T_0=2T_0$$

Изменение внутренней энергии, следовательно,

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R \cdot 2T_0=3\nu R T_0=3p_0V_0$$

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

$$Q=A+\Delta U=2p_0V_0+3p_0V_0=5p_0V_0=5\nu R T_0=5\cdot1\cdot8,31\cdot300=12450$$

Ответ: 12450 Дж, или 12,45 кДж.

Задача 2. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль неона. Начальная температура газа $t=0^{\circ}$. Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

На рисунке изображена изобара, следовательно, работает закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$
Или

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{5}$$

Следовательно, изменение температуры

$$\Delta T=T_2-T_1=5T_1-T_1=4T_1$$

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

$$Q=A+\Delta U=p(V_2-V_1)+\frac{3}{2}\nu R\Delta T=p\cdot 4V_1+\frac{3}{2}\nu R\cdot4T_1=$$

$$=4pV_1+6\nu R T_1=4pV_1+6pV_1=10pV_1=10\nu R T_1=10\cdot1\cdot8,31\cdot273=22686$$

Ответ: $Q=22686$ Дж, или 22,7 кДж.

 

Задача 3. Один моль идеального одноатомного газа сначала нагрели, а затем охладили до первоначальной температуры 300 К, уменьшив давление в 3 раза. Какое количество теплоты сообщено газу на участке 1-2?

Процесс 1-2 – изобара. Процесс 2-3 – изохора. Тогда для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$
Или

$$V_2=\frac{T_2}{T_1}V_1$$

Давления сначала равны: $p_1=p_2$, а затем давление уменьшается в три раза: $p_3=\frac{p_2}{3}$.

Для процесса 2-3 запишем закон Шарля:

$$\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_3}$$

Подставим отношение давлений:

$$T_3=\frac{T_2p_3}{p_2}=\frac{1}{3}T_2$$

По условию:

$$T_3=T_1=\frac{1}{3}T_2$$

Таким образом,

$$T_2=3T_1$$

То есть, если в изобарном процессе температура выросла втрое, то и объем обязан был увеличиться втрое:

$$V_2=3V_1$$

Откуда работа газа

$$A=p\Delta V=p_1(3v_1-V_1)=2p_1V_1=2\nu RT_1$$

Внутренняя энергия газа выросла в процессе 1-2:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(3T_1-T_1)=3\nu RT_1$$

Тогда газу сообщили тепло

$$Q=A+\Delta U=2\nu RT_1+3\nu RT_1=5\nu RT_1=5\cdot 1 \cdot8,31\cdot 300=12465$$

Ответ: $Q=12465$ Дж, или 12,5 кДж.

Задача 4. Один моль идеального одноатомного газа переходит из состояния 1 в состояние 3 в соответствии с графиком зависимости его объема $V$ от температуры $T$ ($T_0=100$ К).  На участке 2-3 к газу подводят 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы газа $A_{123}$ ко всему количеству подведенной к газу теплоты $Q_{123}$.

Процесс 1-2 – изохора, процесс 2-3 – изотерма. В процессе 1-2 выполняется закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Откуда

$$p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}$$

В процессе 2-3 выполняется закон Бойля-Мариотта:

$$p_2V_2=p_3V_3$$

Откуда

$$V_3=\frac{ p_2V_2}{p_3}$$

В процессе 1-2 работа газом не совершалась ($V=const$), а в процессе 2-3 не изменялась его внутренняя энергия ($T=const$). Поэтому все тепло, что газу сообщили в процессе 2-3, пошло на работу. И работа тогда и равна 2,5 кДж.

Найдем изменение внутренней энергии на участке 1-2. По рисунку

$$\Delta T=T_2-T_1=3T_1-T_1=2T_1$$

$$\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=3\nu RT_1=3\cdot1\cdot 8,31\cdot 100=2493$$

Тогда

$$\frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=\frac{A}{A+\Delta U }=\frac{2500}{2500+2493}=0,5$$

Ответ: $\frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=0,5$.

 

Задача 5. Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс 1-2-3, график которого показан на рисунке в координатах $V-T$. Известно, что объем газа $V$ в процессе 1-2 увеличился в 2 раза. Какое количество теплоты сообщено газу в процессе 1-2-3, если его температура $T$ в состоянии 1 равна 300 К, а в состоянии 3 равна 900 К?

Процесс 1-2 –  изобара, процесс 2-3 – изохора, работы газом не совершается.

Изменение внутренней энергии найдем как

$$\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=\frac{3}{2} \nu R(T_3-T_1)=1,5\cdot1\cdot 8,31\cdot 600=7479$$

Для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Откуда

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}=2$$

Следовательно, $T_2=600$ К.  Тогда работу газа найдем через изменение внутренней энергии:

$$A=\frac{2}{3}\Delta U=\frac{2}{3}\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{12}=\nu R \Delta T_{12}=\nu R (T_2-T_1)=1\cdot 8,31\cdot(600-300)=2493$$

Теперь найдем переданное газу тепло:

$$Q=A+\Delta U=2493+7479=9972$$

Ответ: $Q=9972$ Дж, или приблизительно 10 кДж.

Задача 6. Один моль идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В результате плотность газа уменьшается в $\alpha=2$ раза. Газ в ходе процесса совершает работу $A=5$ кДж. Какова температура газа в состоянии 2?

Пусть $p=kV$. По условию $\frac{\rho_2}{\rho_1}=\alpha=2$.

Плотность газа – это отношение

$$\rho_1=\frac{m}{V_1}$$

$$\rho_2=\frac{m}{V_2}$$

Следовательно,

$$\frac{V_2}{V_1}=2$$

Работу газа можно вычислить как площадь под графиком процесса, который можно изобразить прямой:

Площадь трапеции равна:

$$A=\frac{(V_2-V_1)(p_1+2p_1)}{2}=\frac{3p_1V_1}{2}$$

Откуда $p_1V_1=\frac{10000}{3}$.

Согласно объединенному газовому закону

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

И

$$T_2=\frac{T_1p_2V_2}{p_1V_1}=4T_1$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}$$

Следовательно,

$$T_2=\frac{4p_1V_1}{\nu R}=\frac{40000}{3\cdot8,31}=1604,5$$

Ответ: $T_2=1604$ К.