Первое начало: задачи с графиками

Предложенные в этой статье задачи могут встретиться вам в части С ЕГЭ по физике. Многие пасуют перед графическими задачами, я помогу вам справиться с этим страхом и щелкать их, как орешки!

Задача 1. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль идеального одноатомного газа. Начальная температура газа $t=27^{\circ}$ . Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

К задаче 1

Видим, что на рисунке изображена изобара. Кроме того, видим, что газ совершал работу в этом процессе. Определим ее:

$A=p_0\cdot 3V_0-p_0V_0=2p_0V_0$

По закону Гей-Люссака

$\frac{V_0}{T_1}=\frac{3V_0}{T_2}$

Откуда

$T_2=3T_1$

Следовательно, изменение температуры

$\Delta T=T_2-T_1=3T_0-T_0=2T_0$

Изменение внутренней энергии, следовательно,

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R \cdot 2T_0=3\nu R T_0=3p_0V_0$

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

$Q=A+\Delta U=2p_0V_0+3p_0V_0=5p_0V_0=5\nu R T_0=5\cdot1\cdot8,31\cdot300=12450$

Ответ: 12450 Дж, или 12,45 кДж.

Задача 2. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль неона. Начальная температура газа $t=0^{\circ}$ . Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

К задаче 2

На рисунке изображена изобара, следовательно, работает закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Или

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{5}$

Следовательно, изменение температуры

$\Delta T=T_2-T_1=5T_1-T_1=4T_1$

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

$Q=A+\Delta U=p(V_2-V_1)+\frac{3}{2}\nu R\Delta T=p\cdot 4V_1+\frac{3}{2}\nu R\cdot4T_1=$

$=4pV_1+6\nu R T_1=4pV_1+6pV_1=10pV_1=10\nu R T_1=10\cdot1\cdot8,31\cdot273=22686$

Ответ: $Q=22686$ Дж, или 22,7 кДж.

Задача 3. Один моль идеального одноатомного газа сначала нагрели, а затем охладили до первоначальной температуры 300 К, уменьшив давление в 3 раза. Какое количество теплоты сообщено газу на участке 1-2?

К задаче 3

Процесс 1-2 – изобара. Процесс 2-3 – изохора. Тогда для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Или

$V_2=\frac{T_2}{T_1}V_1$

Давления сначала равны: $p_1=p_2$ , а затем давление уменьшается в три раза: $p_3=\frac{p_2}{3}$ .

Для процесса 2-3 запишем закон Шарля:

$\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_3}$

Подставим отношение давлений:

$T_3=\frac{T_2p_3}{p_2}=\frac{1}{3}T_2$

По условию:

$T_3=T_1=\frac{1}{3}T_2$

Таким образом,

$T_2=3T_1$

То есть, если в изобарном процессе температура выросла втрое, то и объем обязан был увеличиться втрое:

$V_2=3V_1$

Откуда работа газа

$A=p\Delta V=p_1(3v_1-V_1)=2p_1V_1=2\nu RT_1$

Внутренняя энергия газа выросла в процессе 1-2:

$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(3T_1-T_1)=3\nu RT_1$

Тогда газу сообщили тепло

$Q=A+\Delta U=2\nu RT_1+3\nu RT_1=5\nu RT_1=5\cdot 1 \cdot8,31\cdot 300=12465$

Ответ: $Q=12465$ Дж, или 12,5 кДж.

Задача 4. Один моль идеального одноатомного газа переходит из состояния 1 в состояние 3 в соответствии с графиком зависимости его объема $V$ от температуры $T$ ( $T_0=100$ К). На участке 2-3 к газу подводят 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы газа $A_{123}$ ко всему количеству подведенной к газу теплоты $Q_{123}$ .

К задаче 4

Процесс 1-2 – изохора, процесс 2-3 – изотерма. В процессе 1-2 выполняется закон Шарля:

$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$

Откуда

$p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}$

В процессе 2-3 выполняется закон Бойля-Мариотта:

$p_2V_2=p_3V_3$

Откуда

$V_3=\frac{ p_2V_2}{p_3}$

В процессе 1-2 работа газом не совершалась ( $V=const$ ), а в процессе 2-3 не изменялась его внутренняя энергия ( $T=const$ ). Поэтому все тепло, что газу сообщили в процессе 2-3, пошло на работу. И работа тогда и равна 2,5 кДж.

Найдем изменение внутренней энергии на участке 1-2. По рисунку

$\Delta T=T_2-T_1=3T_1-T_1=2T_1$

$\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=3\nu RT_1=3\cdot1\cdot 8,31\cdot 100=2493$

Тогда

$\frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=\frac{A}{A+\Delta U }=\frac{2500}{2500+2493}=0,5$

Ответ: $\frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=0,5$ .

Задача 5. Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс 1-2-3, график которого показан на рисунке в координатах $V-T$ . Известно, что объем газа $V$ в процессе 1-2 увеличился в 2 раза. Какое количество теплоты сообщено газу в процессе 1-2-3, если его температура $T$ в состоянии 1 равна 300 К, а в состоянии 3 равна 900 К?

К задаче 5

Процесс 1-2 – изобара, процесс 2-3 – изохора, работы газом не совершается.

Изменение внутренней энергии найдем как

$\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=\frac{3}{2} \nu R(T_3-T_1)=1,5\cdot1\cdot 8,31\cdot 600=7479$

Для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$

Откуда

$\frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}=2$

Следовательно, $T_2=600$ К. Тогда работу газа найдем через изменение внутренней энергии:

$A=\frac{2}{3}\Delta U=\frac{2}{3}\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{12}=\nu R \Delta T_{12}=\nu R (T_2-T_1)=1\cdot 8,31\cdot(600-300)=2493$

Теперь найдем переданное газу тепло:

$Q=A+\Delta U=2493+7479=9972$

Ответ: $Q=9972$ Дж, или приблизительно 10 кДж.

Задача 6. Один моль идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В результате плотность газа уменьшается в $\alpha=2$ раза. Газ в ходе процесса совершает работу $A=5$ кДж. Какова температура газа в состоянии 2?