Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Первое начало: задачи с графиками

Предложенные в этой статье задачи могут встретиться вам в части С ЕГЭ по физике. Многие пасуют перед графическими задачами, я помогу вам справиться с этим страхом и щелкать их, как орешки!

Задача 1. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль идеального одноатомного газа. Начальная температура газа t=27^{\circ}. Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

К задаче 1

Видим, что на рисунке изображена изобара. Кроме того, видим, что газ совершал работу в этом процессе. Определим ее:

    \[A=p_0\cdot 3V_0-p_0V_0=2p_0V_0\]

По закону Гей-Люссака

    \[\frac{V_0}{T_1}=\frac{3V_0}{T_2}\]

Откуда

    \[T_2=3T_1\]

Следовательно, изменение температуры

    \[\Delta T=T_2-T_1=3T_0-T_0=2T_0\]

Изменение внутренней энергии, следовательно,

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R \cdot 2T_0=3\nu R T_0=3p_0V_0\]

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

    \[Q=A+\Delta U=2p_0V_0+3p_0V_0=5p_0V_0=5\nu R T_0=5\cdot1\cdot8,31\cdot300=12450\]

Ответ: 12450 Дж, или 12,45 кДж.

Задача 2. На рисунке изображено изменение состояния 1 моль неона. Начальная температура газа t=0^{\circ}. Какое количество теплоты сообщено газу в этом процессе?

К задаче 2

На рисунке изображена изобара, следовательно, работает закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Или

    \[\frac{T_1}{T_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{5}\]

Следовательно, изменение температуры

    \[\Delta T=T_2-T_1=5T_1-T_1=4T_1\]

Энергия, переданная газу, идет на работу и увеличение внутренней энергии:

    \[Q=A+\Delta U=p(V_2-V_1)+\frac{3}{2}\nu R\Delta T=p\cdot 4V_1+\frac{3}{2}\nu R\cdot4T_1=\]

    \[=4pV_1+6\nu R T_1=4pV_1+6pV_1=10pV_1=10\nu R T_1=10\cdot1\cdot8,31\cdot273=22686\]

Ответ: Q=22686 Дж, или 22,7 кДж.

 

Задача 3. Один моль идеального одноатомного газа сначала нагрели, а затем охладили до первоначальной температуры 300 К, уменьшив давление в 3 раза. Какое количество теплоты сообщено газу на участке 1-2?

К задаче 3

Процесс 1-2 – изобара. Процесс 2-3 – изохора. Тогда для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Или

    \[V_2=\frac{T_2}{T_1}V_1\]

Давления сначала равны: p_1=p_2, а затем давление уменьшается в три раза: p_3=\frac{p_2}{3}.

Для процесса 2-3 запишем закон Шарля:

    \[\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_3}\]

Подставим отношение давлений:

    \[T_3=\frac{T_2p_3}{p_2}=\frac{1}{3}T_2\]

По условию:

    \[T_3=T_1=\frac{1}{3}T_2\]

Таким образом,

    \[T_2=3T_1\]

То есть, если в изобарном процессе температура выросла втрое, то и объем обязан был увеличиться втрое:

    \[V_2=3V_1\]

Откуда работа газа

    \[A=p\Delta V=p_1(3v_1-V_1)=2p_1V_1=2\nu RT_1\]

Внутренняя энергия газа выросла в процессе 1-2:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{3}{2}\nu R(3T_1-T_1)=3\nu RT_1\]

Тогда газу сообщили тепло

    \[Q=A+\Delta U=2\nu RT_1+3\nu RT_1=5\nu RT_1=5\cdot 1 \cdot8,31\cdot 300=12465\]

Ответ: Q=12465 Дж, или 12,5 кДж.

Задача 4. Один моль идеального одноатомного газа переходит из состояния 1 в состояние 3 в соответствии с графиком зависимости его объема V от температуры T (T_0=100 К).  На участке 2-3 к газу подводят 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы газа A_{123} ко всему количеству подведенной к газу теплоты Q_{123}.

К задаче 4

Процесс 1-2 – изохора, процесс 2-3 – изотерма. В процессе 1-2 выполняется закон Шарля:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Откуда

    \[p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}\]

В процессе 2-3 выполняется закон Бойля-Мариотта:

    \[p_2V_2=p_3V_3\]

Откуда

    \[V_3=\frac{ p_2V_2}{p_3}\]

В процессе 1-2 работа газом не совершалась (V=const), а в процессе 2-3 не изменялась его внутренняя энергия (T=const). Поэтому все тепло, что газу сообщили в процессе 2-3, пошло на работу. И работа тогда и равна 2,5 кДж.

Найдем изменение внутренней энергии на участке 1-2. По рисунку

    \[\Delta T=T_2-T_1=3T_1-T_1=2T_1\]

    \[\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=3\nu RT_1=3\cdot1\cdot 8,31\cdot 100=2493\]

Тогда

    \[\frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=\frac{A}{A+\Delta U }=\frac{2500}{2500+2493}=0,5\]

Ответ: \frac{ A_{123}}{ Q_{123}}=0,5.

 

Задача 5. Один моль идеального одноатомного газа совершает процесс 1-2-3, график которого показан на рисунке в координатах V-T. Известно, что объем газа V в процессе 1-2 увеличился в 2 раза. Какое количество теплоты сообщено газу в процессе 1-2-3, если его температура T в состоянии 1 равна 300 К, а в состоянии 3 равна 900 К?

К задаче 5

Процесс 1-2 –  изобара, процесс 2-3 – изохора, работы газом не совершается.

Изменение внутренней энергии найдем как

    \[\Delta U=\frac{3}{2} \nu R\Delta T=\frac{3}{2} \nu R(T_3-T_1)=1,5\cdot1\cdot 8,31\cdot 600=7479\]

Для процесса 1-2 запишем закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\]

Откуда

    \[\frac{T_2}{T_1}=\frac{V_2}{V_1}=2\]

Следовательно, T_2=600 К.  Тогда работу газа найдем через изменение внутренней энергии:

    \[A=\frac{2}{3}\Delta U=\frac{2}{3}\frac{3}{2}\nu R \Delta T_{12}=\nu R \Delta T_{12}=\nu R (T_2-T_1)=1\cdot 8,31\cdot(600-300)=2493\]

Теперь найдем переданное газу тепло:

    \[Q=A+\Delta U=2493+7479=9972\]

Ответ: Q=9972 Дж, или приблизительно 10 кДж.

Задача 6. Один моль идеального одноатомного газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В результате плотность газа уменьшается в \alpha=2 раза. Газ в ходе процесса совершает работу A=5 кДж. Какова температура газа в состоянии 2?

Пусть p=kV. По условию \frac{\rho_2}{\rho_1}=\alpha=2.

Плотность газа – это отношение

    \[\rho_1=\frac{m}{V_1}\]

    \[\rho_2=\frac{m}{V_2}\]

Следовательно,

    \[\frac{V_2}{V_1}=2\]

Работу газа можно вычислить как площадь под графиком процесса, который можно изобразить прямой:

К задаче 6

Площадь трапеции равна:

    \[A=\frac{(V_2-V_1)(p_1+2p_1)}{2}=\frac{3p_1V_1}{2}\]

Откуда p_1V_1=\frac{10000}{3}.

Согласно объединенному газовому закону

    \[\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\]

И

    \[T_2=\frac{T_1p_2V_2}{p_1V_1}=4T_1\]

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

    \[T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}\]

Следовательно,

    \[T_2=\frac{4p_1V_1}{\nu R}=\frac{40000}{3\cdot8,31}=1604,5\]

Ответ: T_2=1604 К.

Комментариев - 2

  • Евгений
    |

    Задача 6. Константа R имеет три значащие цифры. Почему в ответе вы пишете даже с точностью до десятых? Кажется, можно оставить 3 значащие цифры тоже (Т=1,60 х 10^3 К). Ну, в крайнем случае, написать 1604К.

    Ответить
    • Анна
      |

      Согласна.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *