Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Первое начало: задачи посложнее

Согласно первому началу термодинамики, тепло, подводимое к газу, идет на выполнение им работы и на увеличение его внутренней энергии. Работу можно найти как площадь под графиком процесса в осях pV.

Задача 1. При изобарном нагревании одноатомного газа, взятого в количестве \nu = 800 молей, ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и изменение его внутренней энергии.

Давление газа остается постоянным, поэтому запишем закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{ T_2}\]

    \[T_2=\frac{ V_2T_1}{ V_1 }\]

Подведенное тепло пойдет на работу и увеличение внутренней энергии:

    \[Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R \Delta T+p\Delta V\]

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+p\Delta V\]

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R(\frac{ V_2T_1}{ V_1 }-T_1)+p\Delta V\]

    \[Q=\frac{3}{2}\nu R T_1(\frac{ V_2}{ V_1 }-1)+p\Delta V\]

    \[Q=\frac{3}{2V_1}\nu R T_1(V_2- V_1)+p\Delta V\]

    \[Q=(\frac{3}{2V_1}\nu R T_1+p) \Delta V=(\frac{3}{2}p+p) \Delta V=\frac{5}{2}p \Delta V\]

Тогда работа

    \[A= p \Delta V=\frac{2Q}{5}=3,76\cdot10^6\]

А внутренняя энергия

    \[\Delta U=Q-A=\frac{3Q}{5}=5,64\cdot10^6\]

Ответ: A=3,76 МДж, \Delta U=5,64 МДж.

 

Задача 2. Гелий объемом V_0= 1 м^3 при  0^{\circ}С находится в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху скользящим поршнем массой m = 1 т и площадью сечения S = 0,5 м^2. Атмосферное давление p_0 = 973 гПа. Какое количество теплоты потребуется для нагревания гелия до температуры T=300^{\circ} С? Каково изменение его внутренней энергии? Трение не учитывать.

Когда газ начнут нагревать, он будет расширяться. Следовательно, будет совершать работу. Поэтому просто нагреть его не получится: придется учесть еще и энергию, которая уйдет на расширение. Давление газа будет оставаться постоянным, поэтому запишем закон Гей-Люссака:

    \[\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{ T_2}\]

    \[V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}\]

Давление остается постоянным и равным

    \[p=\frac{mg}{S}+p_0\]

Тогда работа газа

    \[A=p\Delta V=\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)(V_2-V_1)\]

Внутренняя энергия газа будет меняться пропорционально температуре (гелий – газ одноатомный):

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T\]

Количество газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[\nu R=\frac{p_1V_1}{T_1}\]

Тогда

    \[\Delta U=\frac{3 p_1V_1}{2 T_1}\Delta T=\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)\]

Определяем теперь количество теплоты:

    \[Q=\Delta U+A=\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)+ \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)(V_2-V_1)= \left(\frac{mg}{S}+p_0\right) \left(\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T + \frac{V_1T_2}{T_1}-V_1 \right)\]

    \[Q= \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)V_1 \left(\frac{3 }{2 }\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)+ \left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\right)=\frac{5}{2}\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)V_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\]

Осталось числа подставить:

    \[Q=\frac{5}{2}\left(\frac{10000}{0,5}+973\cdot10^2\right)\left(\frac{273+300}{273}-1\right)=322253\]

Ответ: 322 кДж

 

Задача 3. Идеальный одноатомный газ участвует в процессе 1–2–3. представленном на рисунке . Найти отношение количества теплоты, полученного газом, к работе, совершенной газом.

К задаче 3

Рассмотрим процесс 1-2. Это изохорический процесс, при котором работа газом не совершается. Газ не меняет объема, но давление его падает – он остывает. В точке 1 внутренняя энергия газа равна

    \[U_1=\frac{3}{2}\nu R T_1=\frac{3}{2}p_1V_0=\frac{3}{2}2p_0V_0=3p_0V_0\]

Теперь посмотрим на процесс 2-3. Это не изопроцесс: растет как объем, так и давление. По сравнению с точкой 1 в точке 3 объем газа вдвое больше. Следовательно, если бы мы переводили газ непосредственно из 1 в 3, то его температуру пришлось бы увеличить вдвое: T_3=2T_1. Получается, что и внутренняя энергия газа в точке 3 вдвое больше, чем в точке 1:

    \[U_3=\frac{3}{2}\nu R T_3=\frac{3}{2}p_3V_3=\frac{3}{2}2p_0\cdot2V_0=6p_0V_0\]

То есть изменение внутренней энергии газа равно

    \[\Delta U= U_3- U_1=3p_0V_0\]

Но и работу газ в процессе 2-3 совершил. Эту работу можено определить как площадь под графиком процесса 2-3. По форме это трапеция, и мы воспользуемся формулой площади трапеции:

    \[A=\mid S \mid=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot(2V_0-V_0)=1,5p_0V_0\]

Тогда количество теплоты, подведенное к газу, равно

    \[Q=A+\Delta U=1,5p_0V_0+3p_0V_0=4,5p_0V_0\]

Нам нужно было определить отношение количества теплоты к работе:

    \[\frac{Q}{A}=\frac{4,5p_0V_0}{1,5p_0V_0}=3\]

Ответ: 3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *