Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, Функции

Периодичность функций


В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

 

Пример 1: функция f(x) имеет период, равный 2: T=2 и f(x)=x^2+2x при x in[-2; 0]. Найдите значение выражения -2f(-3)-4f(3,5).

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда f(-3)= f(-1), f(3,5)=f(-0,5). Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение f(-1)=(-1)^2-2=-1, в точке (3,5) функция принимает значение f(-0,5)=(-0,5)^2+2(-0,5)=-0,75.

Теперь найдем значение искомого выражения: -2f(-3)-4f(3,5)=-2(-1)-4(-0,75)=5.

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что f(x+T)=f(x).

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция f(x)=sqrt{x}.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть sqrt{x+T}= sqrt{x}? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция f(x)= x^2-2x+4.

Функцию для удобства представим в виде: f(x)= (x-2)^2.

Установим, выполняется ли условие: f(x+T)=f(x), то есть (x-2)^2= (x+T-2)^2? Очевидно, что данное условие не выполняется: (x+T-2)^2=x^2-2(t-2)x+(T-2)^2<> (x-2)^2″ title=”(x+T-2)^2=x^2-2(t-2)x+(T-2)^2<> (x-2)^2″/><img src=. Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция f(x)=delim{|}{cos x}{|}. Если функция периодична, то будет выполняться условие: f(x+T)=f(x), то есть delim{|}{cos x}{|}= delim{|}{cos (x+T)}{|}. Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки x=0. Тогда  delim{|}{cos 0}{|}= delim{|}{cos (0+T)}{|}, или delim{|}{cos T}{|}=1. Это означает, что либо  cos T=1, либо cos T=-1,  то есть либо T=2{pi},  либо T={pi},  а так как главным считается наименьший  положительный период, то T={pi}.

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: delim{|}{cos (x+pi)}{|}= delim{|}{-cos x}{|}= delim{|}{cos x}{|}=f(x).

 

Пример 5. Определить периодичность функции f(x)=cos (2x)+2sin (2x).

Если Т – период, то cos 2(x+T)+2sin 2(x+T)= cos (2x)+2sin (2x).

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, pi. Получим:

cos (2{pi}+2T)+2sin (2pi+2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (2T)+2sin (2T)=1

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: cos 2(x-T)+2sin 2(x-T)= cos (2x)+2sin (2x). Подставим  «удобную» точку pi:

cos (2{pi}-2T)+2sin (2{pi}-2T)= cos (2{pi})+2sin (2{pi})

cos (-2T)+2sin (-2T)=1

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

cos (2T)-2sin (2T)=1

Имеем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{ cos (2T)-2sin (2T)=1} { cos (2T)+2sin (2T)=1}}}{ }

Уравнения сложим, и получим

2cos (2T)=2, откуда

cos (2T)=1

2T=2{pi}n, при n=1 получим  T={pi} – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: cos (2T)-2sin (2T)=1. Из основного тригонометрического тождества:

{sqrt{1-{sin {2T}}^2}}+2{sin {2T}}=1

Оставим в левой части только корень:

sqrt{1-{sin {2T}}^2}=1-2{sin {2T}}

Возведем в квадрат:

1-(sin {2T})^2=1-4sin 2T+4(sin {2T})^2

5(sin {2T})^2-4sin {2T}=0

{sin {2T}}(5sin {2T}-4)=0

Тогда либо sin {2T}=0, либо 5sin {2T}-4=0 и sin {2T}=4/5.

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

sin {2T}=0

2T={pi}n и наименьшим будет период при n=1, то есть T={pi}.

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  f(x+T)=f(x):

cos (2x+2{pi})+2sin (2x+2{pi})= cos (2x)+2sin (2x)=f(x), то есть

период данной функции – T={pi}.

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции f(x)= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|} и найти ее основной период.

Если Т – период, то delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x+T}{|}}}{|}

Подставим x=0, имеем

delim{|}{{sin}{delim{|}{0}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{T}{|}}}{|},

Или sin T= 0, T= {pi}n, наименьший период при n=1, T= {pi}.

Проверим:

delim{|}{{sin}{delim{|}{x+{pi}}{|}}}{|}= delim{|}{{sin}{delim{|}{x}{|}}}{|}

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции f(x)=sin 4x.

Запишем условие периодичности:

sin 4(x+T)=sin 4x, если x=0, то

sin 4T=sin 0=0, откуда  4T= {pi}n, T= {{pi}n}/4. При n=1, T= {pi}/4, при n=2, T= {pi}/2. Проверкой можно показать, что T= {pi}/4 периодом не является. Тогда T= {pi}/2. Действительно:

sin 4(x+{pi}/2)=sin (4x+2{pi})=sin 4x

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции f(x)=cos x-1 является T=2{pi}.

Тогда: cos x-1= cos (x+2{pi})-1= cos x-1

Пример 9. Доказать, что периодом функции f(x)= sin (x-{pi}/4) является T=2{pi}.

Тогда: sin (x-pi/4)= sin (x+2pi-pi/4)= sin (x+7pi/4)

Если x=0, то

sin({-pi}/4)= sin ({7pi}/4), а  так как {-pi}/4 и {7pi}/4 –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *