Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 9 класс, ЕГЭ база, ЕГЭ профиль

Перевод бесконечных периодических дробей в обыкновенные

В этой статье научимся представлять бесконечные периодические дроби обыкновенными дробями или смешанными числами. На сайте уже есть статья на эту тему – там представлен другой, сложный для запоминания, алгоритм. Здесь я постараюсь объяснить проще.

Задача 1. Представить число 2,(36) в виде смешанного числа.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит две цифры – 36. Значит, нужно умножить это число на число 100 (содержит 2 нуля – как 1 период исходного числа) и число 10000 (содержит 4 нуля, как два периода исходного числа). Получим 236,(36) и 23636,(36). Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

    \[23636,(36)- 236,(36)=23400\]

И полученную разность разделим на разность 10000-100=9900:

    \[\frac{23400}{9900}=\frac{234}{99}=\frac{26}{11}=2\frac{4}{11}\]

Ответ: 2\frac{4}{11}

Задача 2. Представить число 5,1(6) в виде смешанного числа.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит одну цифру – 6. Значит, нужно умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль – как 1 период исходного числа) и число 100 (содержит 2 нуля, как два периода исходного числа). Получим 51,(6) и 516,(6). Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

    \[516,(6)- 51,(6)=465\]

И полученную разность разделим на разность 100-10=90:

    \[\frac{465}{90}=\frac{93}{18}=\frac{31}{6}=5\frac{1}{6}\]

Ответ: 5\frac{1}{6}

Задача 3. Представить число 0,58(3) в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит одну цифру – 3. Но, если умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль – как 1 период исходного числа) и число 100 (содержит 2 нуля, как два периода исходного числа). Получим 5,8(3) и 58,(3). Как видно, периоды полученных чисел равны. Однако у первого числа между запятой и периодом стоит цифра 8. Этого быть не должно. Тогда применим другой подход: умножим данное число на 100 и 1000: 58,(3) и 583,(3). Теперь вычтем из большего меньшее:

    \[583,(3)- 58,(3)=525\]

И полученную разность разделим на разность 1000-100=900:

    \[\frac{525}{900}=\frac{105}{180}=\frac{35}{60}=\frac{7}{12}\]

Ответ: \frac{7}{12}

Задача 4. Представить число 0,(45) в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит две цифры – 45. Значит, нужно умножить это число на число 100 (содержит 2 нуля – как 1 период исходного числа) и число 10000 (содержит 4 нуля, как два периода исходного числа). Получим 45,(45) и 4545,(45). Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

    \[4545,(45)- 45,(45)= 4500\]

И полученную разность разделим на разность 10000-100=9900:

    \[\frac{4500}{9900}=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}\]

Ответ: \frac{5}{11}

Задача 5. Представить число 0,0(945) в виде обыкновенной дроби.

Видим, что период данной бесконечной дроби содержит три цифры – 945. Да еще есть 0 между запятой и периодом.  Значит, нужно умножить это число на число 10 (содержит 1 ноль, так как между запятой и периодом одна цифра) и число 10000 (содержит 4 нуля, так как одна цифра до периода и три цифры периода – как раз 4). Получим 0,(945) и 945,(945). Как видно, периоды полученных чисел равны. Также заметим, что между запятой и периодом никаких цифр нет. Теперь вычтем из большего меньшее:

    \[945,(945)- 0,(945)=945\]

И полученную разность разделим на разность 10000-10=9990:

    \[\frac{945}{9990}=\frac{189}{1998}=\frac{21}{222}=\frac{7}{74}\]

Ответ: \frac{7}{74}

Итак, алгоритм таков: число, представляющее собой бесконечную периодическую дробь, нужно умножить на числа 10,100, 1000, 10000 – так, чтобы у полученных чисел были бы одинаковые периоды и между запятой и периодом никаких цифр не было бы. Затем нужно вычесть из большего полученного числа меньшее, и эту разность разделить на разность использованных множителей. Полученную дробь сократить. Успехов!

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *