Перемещение и путь

[latexpage]

В этой статье я хочу четко разграничить два понятия: путь и перемещение. Тело может переместиться из пункта $A$ в пункт $B$ по-разному. Путь – это длина траектории, то есть линии, по которой тело двигалось. А перемещение – это результат проделанного пути, то есть кратчайшее расстояние между начальной и конечной точками. Пример: вам надо оказаться на другой стороне реки шириной 100 метров, но мост находится в 10 км. Тогда, чтобы оказаться в нужной точке, придется пилить до моста, через мост и снова 10 километров в обратном направлении. Путь – более 20 км, а перемещение – 100 м! Подумайте, за что мы платим, когда покупаем билет на самолет? Правильно, за перемещение. А ведь самолет может лететь и не по прямой линии, а, например, по кривой, в обход грозовых фронтов. А вот в такси мы платим именно за путь: за конкретную длину дороги, по которой нам пришлось ехать.

Задача 1. В момент времени $t_1=1$ с тело находилось в точке пространства с координатами  $x_1=-2$ м; $y_1=2$ м. К моменту времени $T_2=3$ с тело переместилось в точку с координатами  $x_2=3$ м; $y_2=-3$ м. Найти время движения тела. Чему равна проекция перемещения на ось $X$? На ось $Y$? Чему равен модуль перемещения тела?

Первый вопрос задачи, наверное, для первоклассников: очевидно, что тело двигалось 2 с.

Проекция перемещения на ось $x$ – это расстояние, которое тело прошло именно по этой оси. Если оно сначала находилось в точке с координатой (-2), а потом достигло точки с координатой (3), то понятно, что искомая проекция равна 5:

$$S_x=x_2-x_1=3-(-2)=5$$

Точно так же найдем проекцию перемещения на ось $y$:

$$S_y=y_2-y_1=-3-2=-5$$

Модуль перемещения можно найти, зная проекции:

$$S=\sqrt{S_x^2+S_y^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$$

Заметим, что путь из данных задачи определить нельзя: ведь неизвестно, каким путем тело пришло из первой точки во вторую, можно ведь и в Москву летать через Камчатку…

Задача 2. На рисунке показана траектория движения материальной точки. Ее начальное положение – А, конечное – С. Найти проекции перемещения точки на оси $X$ и $Y$, модуль перемещения и путь, пройденный точкой.

Задача 2

Тело начало движение из точки $A$, координата которой по оси $Y$ – 2. А координата точки $B$ по той же оси – 8. Поскольку тело после этого не перемещалось по оси $Y$, то проекция перемещения на ось $Y$ равна:

$$S_y=B_y-A_y=8-2=6$$

Затем тело двигалось только по оси $X$. Координата точки $B$ по оси $X$ – 2. Координата точки $C$ по оси $X$ – 10. Тогда перемещение тела по оси $X$ равно:

$$S_x=C_x-B_x=10-2=8$$

Путь, пройденный точкой, равен (показан синим цветом):

$$L=S_x+S_y=8+6=14$$

А модуль перемещения (показан красным):

$$S=\sqrt{S_x^2+S_y^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$$