Переливаем растворы из одного сосуда в другой

В этой статье мы рассмотрим задачи на переливания. Эти задачи относятся к теме «проценты», но это сложные задачи, я бы отнесла их к отдельному классу задач. По сложности – вполне олимпиадные задачи, уровня город-регион, для 8 класса.

Задача 1. В сосуде было 20 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили водой. Затем отлили в 2 раза большую (чем в первый раз) часть полученной смеси и снова дополнили сосуд водой. В результате получился 28 %-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты отлили в первый раз?

Давайте последовательно рассмотрим, что происходило, по порядку.

Пусть отлили литров кислоты.  Тогда осталось литров кислоты.

Теперь в сосуд добавляют литров воды и смеси становится опять 20 л. А каков процент смеси, ее концентрация?

У нас объем 20, из этого объема – л кислоты, следовательно, концентрация смеси .

Теперь отливают л смеси. Сколько кислоты там, в этих л, содержится? А вот сколько: – концентрацию умножаем на объем. Тогда в основной емкости количество кислоты уменьшилось:

Концентрация, по условию, стала 28%, или 0,28. А концентрация – доля кислоты в общем объеме:

Так как – не подходит (не могли мы от 20 л отлить 24) то ответ – 6 л.

Ответ: 6 л.

Задача 2. В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите .

Пусть – концентрация большего по массе раствора, – меньшего по массе. Тогда в первом содержится соли г, во втором г.

Теперь забираем грамм раствора из первого, тогда в нем становится меньше соли: , забираем г из второго, в нем становится меньше соли: .

Теперь взятое из второго сосуда количество раствора и соли добавляем в первый сосуд, там становится 600 г по массе, а соли стало:

Взятое из первого сосуда количество раствора и соли добавляем во второй: по массе опять 150 г, а соли стало

По условию концентрация теперь одинакова. Концентрация – количество соли к общему объему:

Упрощаем:

Откуда

Ответ: 120 г.

Задача 3. В двух сосудах находилось 40 г и 60 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.

Решение такое же. Пробуйте решить сами, а потом сверяйте.

Показать

Задача 4. Два сосуда равных объемов до краев заполнены раствором кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлили 1 л раствора и долили 1 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 3 л раствора и долили 3 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. В результате концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Найдите объем сосуда (в литрах).

Так же не спеша и систематично расписываем, что происходило: пусть концентрация исходного раствора , а объем л. Тогда отливаем литр из первого, таким образом убавляем количество кислоты в нем. Сначала кислоты в сосуде было , убавили на , стало . Новая концентрация

Снова отливаем литр. Кислоты было , убавили на , стало

Новая концентрация

Теперь второй раствор.

Сначала кислоты в сосуде было , убавили на , стало . Новая концентрация

Снова отливаем  3 литра. Кислоты было , убавили на , стало

Новая концентрация

По условию, концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Тогда

Ответ: 8 л.