Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Нестандартные задачи, Текстовая задача (22 задание), Текстовые задачи (11)

Переливаем растворы из одного сосуда в другой

В этой статье мы рассмотрим задачи на переливания. Эти задачи относятся к теме «проценты», но это сложные задачи, я бы отнесла их к отдельному классу задач. По сложности – вполне олимпиадные задачи, уровня город-регион, для 8 класса.

 

Задача 1. В сосуде было 20 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили водой. Затем отлили в 2 раза большую (чем в первый раз) часть полученной смеси и снова дополнили сосуд водой. В результате получился 28 %-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты отлили в первый раз?

Давайте последовательно рассмотрим, что происходило, по порядку.

Пусть отлили x литров кислоты.  Тогда осталось 20-x литров кислоты.

Теперь в сосуд добавляют x литров воды и смеси становится опять 20 л. А каков процент смеси, ее концентрация?

У нас объем 20, из этого объема – 20-x л кислоты, следовательно, концентрация смеси \frac{20-x}{20}.

Теперь отливают 2x л смеси. Сколько кислоты там, в этих 2x л, содержится? А вот сколько: \frac{20-x}{20}\cdot 2x – концентрацию умножаем на объем. Тогда в основной емкости количество кислоты уменьшилось:

    \[20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x\]

Концентрация, по условию, стала 28%, или 0,28. А концентрация – доля кислоты в общем объеме:

    \[\frac{20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x }{20}=0,28\]

    \[20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x=5,6\]

    \[20-x-2x+0,1x^2-5,6=0\]

    \[0,1x^2-3x+14,4=0\]

    \[x=24, x=6\]

Так как x=24 – не подходит (не могли мы от 20 л отлить 24) то ответ – 6 л.

Ответ: 6 л.

 

Задача 2. В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.

Пусть x – концентрация большего по массе раствора, y – меньшего по массе. Тогда в первом содержится соли 600\cdot \frac{x}{100}=6x г, во втором 150\cdot \frac{y}{100}=1,5y г.

Теперь забираем n грамм раствора из первого, тогда в нем становится меньше соли: 6x-\frac{nx}{100}, забираем n г из второго, в нем становится меньше соли: 1,5y-\frac{ny}{100}.

Теперь взятое из второго сосуда количество раствора и соли \frac{ny}{100} добавляем в первый сосуд, там становится 600 г по массе, а соли стало:

    \[6x-\frac{nx}{100}+\frac{ny}{100}\]

Взятое из первого сосуда количество раствора и соли добавляем во второй: по массе опять 150 г, а соли стало

    \[1,5y-\frac{ny}{100}+\frac{nx}{100}\]

По условию концентрация теперь одинакова. Концентрация – количество соли к общему объему:

    \[\frac{6x-\frac{nx}{100}+\frac{ny}{100}}{600}=\frac{1,5y-\frac{ny}{100}+\frac{nx}{100}}{150}\]

Упрощаем:

    \[\frac{6x-a}{4}=1,5y+a\]

    \[a=\frac{nx-ny}{100}\]

    \[6x-6y=5a\]

    \[a=\frac{6(x-y)}{5}\]

    \[\frac{nx-ny}{100}=1,2(x-y)\]

Откуда

    \[\frac{n}{100}=1,2\]

    \[n=120\]

Ответ: 120 г.

Задача 3. В двух сосудах находилось 40 г и 60 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по n граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.

Решение такое же. Пробуйте решить сами, а потом сверяйте.

Показать

Задача 4. Два сосуда равных объемов до краев заполнены раствором кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлили 1 л раствора и долили 1 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 3 л раствора и долили 3 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. В результате концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Найдите объем сосуда (в литрах).

Так же не спеша и систематично расписываем, что происходило: пусть концентрация исходного раствора n\%, а объем m л. Тогда отливаем литр из первого, таким образом убавляем количество кислоты в нем. Сначала кислоты в сосуде было m\cdot n, убавили на 1\cdot n, стало mn-n. Новая концентрация

    \[\frac{mn-n}{m}\]

Снова отливаем литр. Кислоты было mn-n, убавили на 1\cdot\frac{mn-n}{m}, стало

    \[mn-n-\frac{mn-n}{m}\]

Новая концентрация

    \[\frac{ mn-n-\frac{mn-n}{m}}{m}\]

Теперь второй раствор.

Сначала кислоты в сосуде было m\cdot n, убавили на 3\cdot n, стало mn-3n. Новая концентрация

    \[\frac{mn-3n}{m}\]

Снова отливаем  3 литра. Кислоты было mn-3n, убавили на 3\cdot\frac{mn-3n}{m}, стало

    \[mn-3n-3\frac{mn-3n}{m}\]

Новая концентрация

    \[\frac{ mn-3n-3\frac{mn-3n}{m}}{m}\]

По условию, концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Тогда

    \[\frac{n(m-1)\frac{n(m-1)}{m}}{m}=1,96\frac{n(m-3)-\frac{3n(m-3)}{m}}{m}\]

    \[(m-1)\left(n-\frac{n}{m}\right)=1,96(m-3)\left(n-\frac{3n}{m}\right)\]

    \[\frac{(m-1)^2}{m}=1,96\frac{(m-3)^2}{m}\]

    \[\frac{(m-1)^2}{(m-3)^2}=1,96\]

    \[\frac{m-1}{m-3}=1,4\]

    \[m=8\]

Ответ: 8 л.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *