Переливаем растворы из одного сосуда в другой

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим задачи на переливания. Эти задачи относятся к теме «проценты», но это сложные задачи, я бы отнесла их к отдельному классу задач. По сложности – вполне олимпиадные задачи, уровня город-регион, для 8 класса.

Задача 1. В сосуде было 20 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили водой. Затем отлили в 2 раза большую (чем в первый раз) часть полученной смеси и снова дополнили сосуд водой. В результате получился 28 %-й раствор кислоты. Сколько литров кислоты отлили в первый раз?

Давайте последовательно рассмотрим, что происходило, по порядку.

Пусть отлили $x$ литров кислоты.  Тогда осталось $20-x$ литров кислоты.

Теперь в сосуд добавляют $x$ литров воды и смеси становится опять 20 л. А каков процент смеси, ее концентрация?

У нас объем 20, из этого объема – $20-x$ л кислоты, следовательно, концентрация смеси $\frac{20-x}{20}$.

Теперь отливают $2x$ л смеси. Сколько кислоты там, в этих $2x$ л, содержится? А вот сколько: $\frac{20-x}{20}\cdot 2x$ – концентрацию умножаем на объем. Тогда в основной емкости количество кислоты уменьшилось:

$$20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x$$

Концентрация, по условию, стала 28%, или 0,28. А концентрация – доля кислоты в общем объеме:

$$\frac{20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x }{20}=0,28$$

$$20-x-\frac{20-x}{20}\cdot 2x=5,6$$

$$20-x-2x+0,1x^2-5,6=0$$

$$0,1x^2-3x+14,4=0$$

$$x=24, x=6$$

Так как $x=24$ – не подходит (не могли мы от 20 л отлить 24) то ответ – 6 л.

Ответ: 6 л.

Задача 2. В двух сосудах находилось 600 г и 150 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по $n$ граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите $n$.

Пусть $x$ – концентрация большего по массе раствора, $y$ – меньшего по массе. Тогда в первом содержится соли $600\cdot \frac{x}{100}=6x$ г, во втором $150\cdot \frac{y}{100}=1,5y$ г.

Теперь забираем $n$ грамм раствора из первого, тогда в нем становится меньше соли: $6x-\frac{nx}{100}$, забираем $n$ г из второго, в нем становится меньше соли: $1,5y-\frac{ny}{100}$.

Теперь взятое из второго сосуда количество раствора и соли $\frac{ny}{100}$ добавляем в первый сосуд, там становится 600 г по массе, а соли стало:

$$6x-\frac{nx}{100}+\frac{ny}{100}$$

Взятое из первого сосуда количество раствора и соли добавляем во второй: по массе опять 150 г, а соли стало

$$1,5y-\frac{ny}{100}+\frac{nx}{100}$$

По условию концентрация теперь одинакова. Концентрация – количество соли к общему объему:

$$\frac{6x-\frac{nx}{100}+\frac{ny}{100}}{600}=\frac{1,5y-\frac{ny}{100}+\frac{nx}{100}}{150}$$

Упрощаем:

$$\frac{6x-a}{4}=1,5y+a$$

$$a=\frac{nx-ny}{100}$$

$$6x-6y=5a$$

$$a=\frac{6(x-y)}{5}$$

$$\frac{nx-ny}{100}=1,2(x-y)$$

Откуда

$$\frac{n}{100}=1,2$$

$$n=120$$

Ответ: 120 г.

Задача 3. В двух сосудах находилось 40 г и 60 г растворов соли различной концентрации. Из каждого сосуда взяли одновременно по $n$ граммов раствора. Взятое из первого сосуда вылили во второй, а взятое из второго – в первый. После этого концентрация растворов в обоих сосудах стала одинаковой. Найдите n.

Решение такое же. Пробуйте решить сами, а потом сверяйте.

Показать

Задача 4. Два сосуда равных объемов до краев заполнены раствором кислоты одинаковой концентрации. Из первого сосуда отлили 1 л раствора и долили 1 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. Из второго сосуда отлили 3 л раствора и долили 3 л воды. Потом эту же процедуру повторили еще раз. В результате концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Найдите объем сосуда (в литрах).

Так же не спеша и систематично расписываем, что происходило: пусть концентрация исходного раствора $n\%$, а объем $m$ л. Тогда отливаем литр из первого, таким образом убавляем количество кислоты в нем. Сначала кислоты в сосуде было $m\cdot n$, убавили на $1\cdot n$, стало $mn-n$. Новая концентрация

$$\frac{mn-n}{m}$$

Снова отливаем литр. Кислоты было $mn-n$, убавили на $1\cdot\frac{mn-n}{m}$, стало

$$ mn-n-\frac{mn-n}{m}$$

Новая концентрация

$$\frac{ mn-n-\frac{mn-n}{m}}{m}$$

Теперь второй раствор.

Сначала кислоты в сосуде было $m\cdot n$, убавили на $3\cdot n$, стало $mn-3n$. Новая концентрация

$$\frac{mn-3n}{m}$$

Снова отливаем  3 литра. Кислоты было $mn-3n$, убавили на $3\cdot\frac{mn-3n}{m}$, стало

$$ mn-3n-3\frac{mn-3n}{m}$$

Новая концентрация

$$\frac{ mn-3n-3\frac{mn-3n}{m}}{m}$$

По условию, концентрация кислоты в первом сосуде стала в 1,96 раз больше, чем во втором. Тогда

$$\frac{n(m-1)\frac{n(m-1)}{m}}{m}=1,96\frac{n(m-3)-\frac{3n(m-3)}{m}}{m}$$

$$(m-1)\left(n-\frac{n}{m}\right)=1,96(m-3)\left(n-\frac{3n}{m}\right)$$

$$\frac{(m-1)^2}{m}=1,96\frac{(m-3)^2}{m}$$

$$\frac{(m-1)^2}{(m-3)^2}=1,96$$

$$\frac{m-1}{m-3}=1,4$$

$$m=8$$

Ответ: 8 л.