Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Переходные процессы

Переходные характеристики цепи


В этой статье рассматривается несколько примеров отыскания переходных функций цепей.

Переходная характеристика цепи h(t)– это отношение реакции этой цепи при нулевых начальных условиях на единичное ступенчатое воздействие. То есть это отклик цепи при подключении ее к источнику тока 1 А или источнику напряжения 1В. При расчете переходной характеристики совершенно не важно, какие на самом деле в цепи присутствуют источники – она не зависит ни от их формы, ни от амплитуды. Она определяется только структурой самой цепи: какие в цепь входят элементы и как они соединены. Из этого понятно, что переходную характеристику рассчитывают при отсутствии внутренних источников энергии. Иногда при подключении цепи к единичному источнику напряжения говорят о переходной проводимости (при расчете тока в этой цепи), а при подключении к единичному источнику тока – о переходном сопротивлении (при расчете напряжения). Поэтому размерность переходных характеристик может быть самой разной: например, если рассчитывается ток в ветви, а цепь подключается к единичному источнику напряжения, то размерность будет См, а если в этом случае мы подключаем цепь к единичному источнику тока – то переходная характеристика безразмерна.

Чтобы определить переходную характеристику, цепь надо рассчитать так или иначе, например, классическим или операторным методом. В случае использования операторного метода надо не забыть определить оригинал переходной характеристики.

Начнем с простых цепей и попробуем записать для них переходные и импульсные характеристики.

Цепь для расчета

Пример 1. Дана цепь, в которой R=30 Ом, L=80 мкГн. Найдем для этой цепи переходные характеристики для отыскания тока и напряжения на резисторе. Для этого рассчитаем цепь классическим методом.

Определяем ток в индуктивности до коммутации (ключ открыт). i_L=0, U_L=0, U_R=0.

Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) i_L=E/R, U_L=0, U_R=E.

Расчет сопротивления

Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену j{omega} на p: j{omega}L+R=0, pL+R=0, откуда p=-R/L=-0,375*10^6.

Ток в индуктивности тогда i_L(t)=i_L(infty)+Ae^{{-0,375*10^6}t}. Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации: i_L(0_-)= i_L(0)= i_L(0_+), тогда можем записать: i_L(0)=i_L(infty)+Ae^{0t}, тогда i_L(0)=i_L(infty)+A, откуда A=i_L(0)-i_L(infty)=0-E/R=-E/R.

Записываем ток в индуктивности: i_L(t)=E/R-{E/R}e^{{-0,375*10^6}t}. Напряжение на резисторе тогда U_R=i_L(t)*R=E-Ee^{{-0,375*10^6}t}.

Заметим, что пока при расчете мы не акцентировали внимания на том, какой формы напряжение на источнике. Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходные характеристики для тока: h_{i_L}=1/R-{1/R}e^{{-0,375*10^6}t} (при подстановке R получим h_{i_L}=1/30-{1/30}e^{{-0,375*10^6}t} ) и для напряжения на резисторе: U_R=1-1e^{{-0,375*10^6}t}.

Вторая схема

Пример 2. Рассчитать переходную характеристику (переходную проводимость) для расчета тока i_1 и напряжения U_C, если R_1=2000 Ом, R_2=4000 Ом, C=1 мкФ.

Рассчитаем цепь классическим методом. При этом придется сначала определить напряжение на емкости, так как оно подчиняется закону коммутации.

Определяем состояние цепи до коммутации (до подключения источника). В этом случае токи во всех ветвях отсутствуют, конденсатор разряжен: i_C=0, U_C=0, i_1=0.

После подключения источника и окончания переходного процесса в цепи конденсатор заряжен, ток протекает в контуре E-R_1-R_2. Конденсатор зарядится до напряжения, равного напряжению на резисторе R_2, так как кондесатор подключен параллельно ему. Ток равен i_1=i_2=E/{R_1+R_2}. Напряжение на конденсаторе: U_C={ER_2}/{R_1+R_2}.

Запишем теперь характеристическое уравнение цепи. Для этого исключим источник энергии из цепи, и заменим конденсатор его комплексным сопротивлением, при этом заменяем j{omega} на p:

Определение сопротивления схемы

1/{j{omega}C}+{R_1R_2}/{R_1+R_2}=0

1/{pC}+{R_1R_2}/{R_1+R_2}=0,

откуда 1/{pC}=-{R_1R_2}/{R_1+R_2},

p=-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}.

Напряжение на емкости найдем как сумму свободной и принужденной составляющей:

U_C(t)=U_cv+U_pr, свободную ищем в виде U_cv=Ae^{pt}, принужденная уже определена нами – это напряжение на конденсаторе по окончании переходного процесса U_pr={ER_2}/{R_1+R_2}.

Тогда можем записать: U_C(t)= Ae^{pt}+{ER_2}/{R_1+R_2},

А при подстановке известных чисел получим: U_C(t)= Ae^{-750t}+{2E}/3.

Определяем постоянную интегрирования, пользуясь законом коммутации:

U_C(0_-)= U_C(0)= U_C(0_+)

U_C(0)= A+{2E}/3,

0= A+{2E}/3,

A=-{2E}/3.

Тогда напряжение на емкости:

U_C(t)= -{2E}/3e^{-750t}+{2E}/3.

Определим ток в емкости через производную:

i_C=C{dU_C/dt}=-C{{2E}/3}(-750)e^{-750t}=C*E*500e^{-750t}= E*0,5*10^{-3}e^{-750t}

Разделив напряжение на емкости на сопротивление R_2, получим ток i_2:

i_2= -{2E}/{12*10^3}e^{-750t}+{2E}/{12*10^3}={E*10^{-3}/6}(1- e^{-750t}).

Осталось определить i_1, для этого воспользуемся первым законом Кирхгофа:

i_1=i_2+i_C={E*10^{-3}/6}(1-e^{-750t})+ E*0,5*10^{-3}e^{-750t}={E*10^{-3}/6}(1+0,5e^{-750t})

Теперь, предполагая, что источник напряжения – единичный, запишем переходную проводимость:

h_{i_1}={10^{-3}/6}(1+0,5e^{-750t})

h_{U_C}= -{2}/3e^{-750t}+{2}/3.

 

Схема 3

Пример 3. В данной цепи найти переходные характеристики для отыскания токов  i_1, i_2 и напряжения на конденсаторе. Для этого рассчитаем цепь операторным методом.

Составляем операторную схему замещения. Для этой схемы записываем систему уравнений Кирхгофа:

delim{lbrace}{matrix {4}{1}{{{i_1}+{i_C}-{i_2}=0} {{i_1}{R_1}+{i_2}{R_2}={E/p}} {{i_2}{R_2}+{i_C}{1/{pC}}={E/p}-{{U_C(0)}/p} {}}}}{ }

Из этой системы можно выразить по очереди нужные токи, а затем отыскать их оригиналы. Однако эта схема – схема с двумя узлами, а такую схему проще рассчитать методом двух узлов.

Операторная схема замещения

По методу двух узлов записываем напряжение между точками а и b:

U_ab=({E/{p{R_2}}+{{U_C(0)pC}/p})/{1/{R_1}+1/{R_2}+pC}}

U_ab={E/{pR_2}+U_C(0)C}/{1/R_1+1/R_2+pC}

U_ab={E+U_C(0)CpR_2}/{p^2C{R_2}+p(1+R_2/{R_1})}

Так как U_C(0)=0, то

U_ab=E/{p^2CR_2+p(1+R_2/{R_1})}

U_ab=E/{p(pCR_2+1+R_2/{R_1})}

Найдем сразу корни знаменателя: p_1=0, p_2=-{R_1+R_2}/{C{R_1}{R_2}}

Записанное нами напряжение – это уже готовое напряжение на емкости U_ab=U_C. Чтобы найти ток в резисторе R_1 нужно поделить это напряжение на сопротивление резистора:

i_1= E/{p(pCR_2+1+R_2/{R_1})}

Определим оригиналы. Для этого воспользуемся теоремой разложения. Числитель:

F_1=E

Нам понадобится также производная знаменателя:

F_2=p^2CR_2+p(1+R_2/{R_1})

(F_2){prime}=2pCR_2+1+R_2/{R_1}

Определяем оригинал напряжения на емкости:

{U_C}(t)={{F_1}(p_1)}/(F_2{prime}(p_1)){e^{p_1t}}+{{F_1}(p_2)}/({F_2}{prime}(p_2))e^{p_2t}

U_C(t)={E/{1+R_2/{R_1}}}e^{0t}+{E/{2C{R_2}(-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}+1+R_2/{R_1})}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

U_C(t)={ER_1/{R_2+R_1}}+{E/{-1-{R_2/R_1}}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

U_C(t)={ER_1/{R_2+R_1}}-{ER_1/{R_2+R_1}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

Для упрощения решения можем определить оригинал тока не по его изображению, а разделив оригинал напряжения на сопротивление резистора R_1:

i_1={E/{R_2+R_1}}-{E/{R_2+R_1}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

Зная оригинал напряжения на емкости, можем найти ток в емкости, взяв производную:

i_C=C{dU_C/dt}={ECR_1/{R_2+R_1}}{R_1+R_2}/{CR_1R_2}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

i_C={E/{R_2}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

Ток i_2 найдем по первому закону Кирхгофа:

i_2=i_1+i_C={E/{R_2+R_1}}-{E/{R_2+R_1}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}+{E/{R_2}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

{i_2}={E/{R_2+R_1}}*(1+{R_1}/{R_2})e^{{-(R_1+R_2)t}/{C{R_1}{R_2}}}

Если теперь во всех полученных нами выше уравнениях заменить источник на единичный, получим переходные характеристики:

h_{U_C}={R_1/{R_2+R_1}}-{R_1/{R_2+R_1}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

h_{i_1}={1/{R_2+R_1}}-{1/{R_2+R_1}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

h_{i_C}={1/{R_2}}e^{-{R_1+R_2}/{CR_1R_2}t}

h_{i_2}={1/{R_2+R_1}}(1+{R_1}/{R_2})e^{{-(R_1+R_2)t}/{C{R_1}{R_2}}}

 

Схема 4

Пример 4. Найти переходную проводимость последовательного RLC контура, параметры которого L=5 мГн, C=5*10^3 пФ, R=10 Ом.

Определяем ток в индуктивности и напряжение на емкости до коммутации (ключ открыт). i=0, U_C=0, U_R=0.

Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) i=0, U_C=E, U_R=0.

Определение сопротивления

Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену j{omega} на p: j{omega}L+R+1/{j{omega}C}=0, pL+R+1/{pC}=0, откуда LCp^2+RCp+1=0. Находим корни уравнения. Определяем дискриминант:  D=b^2-4ac={RC}^2-4*LC=100*25*10^6*10^{-24}-4*5*10^{-3}*5*10^{-9}=25*10^{-16}-10^{-10}=-10^{-10}

Корни:  p_1={-b+sqrt{D}}/{2LC}={-10*5*10^3*10^{-12}+j10^{-5}}/{2*5*10^{-3}*5*10^{-9}}=-10^3+2*10^5j,

p_2=-10^3-2*10^5j.

Отсюда -{delta}=-10^3, {omega}=2*10^5,

 

Напряжение на емкости U_C(t)=U_C(infty)+Ae^{{-delta}t}*sin({omega}t+{gamma}). Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации: U_C(0_-)= U_C(0)= U_C(0_+), тогда можем записать: U_C(0)=U_C(infty)+Asin{gamma}. Так как неизвестных две, то потребуется еще одно уравнение. Найдем производную напряжения:

{dU_C(0)}/dt=-{delta}*A*e^{-{delta}t*sin({omega}t+{gamma})}+ A*e^{-{delta}t*{omega}*cos({omega}t+{gamma})},

откуда

i(t)=C*A*({-{delta}})*(e^{-{delta}t*sin({omega}t+{gamma})}+ e^{-{delta}t*{omega}*cos({omega}t+{gamma})}).

Снова воспользуемся граничными условиями при t=0:

i(0)=C*A*((-{delta})*sin({gamma}+ {omega}*cos{gamma}).

Осталось решить систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{U_C}(0)={U_C}(infty)+Asin{gamma}} {i(0)=C*A*(({-{delta}})*sin(gamma)+{omega}*cos(gamma))} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{0=E+A*sin(gamma)} {0=5*10^{-9}*A*({-10^3}*sin(gamma)+ 2*{10^5}*cos(gamma))} {}}}{ }

Выражаем sin{gamma}=-E/A, тогда gamma=-90{circ}, A=E

Записываем напряжение на емкости: {U_C}(t)=Ee^{{-10^3}t}*sin({2*10^5}t-90{circ}), или

{U_C}(t)=Ee^{{-10^3}t}*({-cos({2*10^5}t)}),

тогда ток {C{d{U_C}(t)}/dt}=5*10^{-9}E*({-{10^3}})*e^{-{10^3}t}*({-cos{2*{10^5}t}})+e^{{-10^3}t}*2*{10^5}*sin(2*{10^5}t)

Первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым, поэтому

i(t)=E*10^{-3}*e^{-{10^3}t}*sin(2*10^5t)

Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходную характеристику для тока: h_i=10^{-3}*e^{-{10^3}t}*sin(2*10^5t).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *