В этой статье рассматривается несколько примеров отыскания переходных функций цепей.
Переходная характеристика цепи – это отношение реакции этой цепи при нулевых начальных условиях на единичное ступенчатое воздействие. То есть это отклик цепи при подключении ее к источнику тока 1 А или источнику напряжения 1В. При расчете переходной характеристики совершенно не важно, какие на самом деле в цепи присутствуют источники – она не зависит ни от их формы, ни от амплитуды. Она определяется только структурой самой цепи: какие в цепь входят элементы и как они соединены. Из этого понятно, что переходную характеристику рассчитывают при отсутствии внутренних источников энергии. Иногда при подключении цепи к единичному источнику напряжения говорят о переходной проводимости (при расчете тока в этой цепи), а при подключении к единичному источнику тока – о переходном сопротивлении (при расчете напряжения). Поэтому размерность переходных характеристик может быть самой разной: например, если рассчитывается ток в ветви, а цепь подключается к единичному источнику напряжения, то размерность будет См, а если в этом случае мы подключаем цепь к единичному источнику тока – то переходная характеристика безразмерна.
Чтобы определить переходную характеристику, цепь надо рассчитать так или иначе, например, классическим или операторным методом. В случае использования операторного метода надо не забыть определить оригинал переходной характеристики.
Начнем с простых цепей и попробуем записать для них переходные и импульсные характеристики.

Цепь для расчета
Пример 1. Дана цепь, в которой Ом,
мкГн. Найдем для этой цепи переходные характеристики для отыскания тока и напряжения на резисторе. Для этого рассчитаем цепь классическим методом.
Определяем ток в индуктивности до коммутации (ключ открыт). .
Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) .

Расчет сопротивления
Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену на p:
,
, откуда
.
Ток в индуктивности тогда . Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации:
, тогда можем записать:
, тогда
, откуда
.
Записываем ток в индуктивности: . Напряжение на резисторе тогда
.
Заметим, что пока при расчете мы не акцентировали внимания на том, какой формы напряжение на источнике. Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходные характеристики для тока: (при подстановке R получим
) и для напряжения на резисторе:
.

Вторая схема
Пример 2. Рассчитать переходную характеристику (переходную проводимость) для расчета тока и напряжения
, если
Ом,
Ом,
мкФ.
Рассчитаем цепь классическим методом. При этом придется сначала определить напряжение на емкости, так как оно подчиняется закону коммутации.
Определяем состояние цепи до коммутации (до подключения источника). В этом случае токи во всех ветвях отсутствуют, конденсатор разряжен: .
После подключения источника и окончания переходного процесса в цепи конденсатор заряжен, ток протекает в контуре . Конденсатор зарядится до напряжения, равного напряжению на резисторе
, так как кондесатор подключен параллельно ему. Ток равен
. Напряжение на конденсаторе:
.
Запишем теперь характеристическое уравнение цепи. Для этого исключим источник энергии из цепи, и заменим конденсатор его комплексным сопротивлением, при этом заменяем на p:

Определение сопротивления схемы
,
откуда ,
.
Напряжение на емкости найдем как сумму свободной и принужденной составляющей:
, свободную ищем в виде
, принужденная уже определена нами – это напряжение на конденсаторе по окончании переходного процесса
.
Тогда можем записать: ,
А при подстановке известных чисел получим: .
Определяем постоянную интегрирования, пользуясь законом коммутации:
,
,
.
Тогда напряжение на емкости:
.
Определим ток в емкости через производную:
Разделив напряжение на емкости на сопротивление , получим ток
:
.
Осталось определить , для этого воспользуемся первым законом Кирхгофа:
Теперь, предполагая, что источник напряжения – единичный, запишем переходную проводимость:
.

Схема 3
Пример 3. В данной цепи найти переходные характеристики для отыскания токов и напряжения на конденсаторе. Для этого рассчитаем цепь операторным методом.
Составляем операторную схему замещения. Для этой схемы записываем систему уравнений Кирхгофа:
Из этой системы можно выразить по очереди нужные токи, а затем отыскать их оригиналы. Однако эта схема – схема с двумя узлами, а такую схему проще рассчитать методом двух узлов.

Операторная схема замещения
По методу двух узлов записываем напряжение между точками а и b:
Так как , то
Найдем сразу корни знаменателя:
Записанное нами напряжение – это уже готовое напряжение на емкости . Чтобы найти ток в резисторе
нужно поделить это напряжение на сопротивление резистора:
Определим оригиналы. Для этого воспользуемся теоремой разложения. Числитель:
Нам понадобится также производная знаменателя:
Определяем оригинал напряжения на емкости:
Для упрощения решения можем определить оригинал тока не по его изображению, а разделив оригинал напряжения на сопротивление резистора :
Зная оригинал напряжения на емкости, можем найти ток в емкости, взяв производную:
Ток найдем по первому закону Кирхгофа:
Если теперь во всех полученных нами выше уравнениях заменить источник на единичный, получим переходные характеристики:

Схема 4
Пример 4. Найти переходную проводимость последовательного RLC контура, параметры которого мГн,
пФ,
Ом.
Определяем ток в индуктивности и напряжение на емкости до коммутации (ключ открыт). .
Определяем ток в индуктивности после коммутации (ключ закрыт, переходной процесс завершен) .

Определение сопротивления
Записываем характеристическое уравнение и находим его корень, для этого исключаем источник из цепи (закорачиваем), разрываем цепь в любом месте, относительно получившихся точек разрыва записываем комплексное сопротивление цепи, где производим замену на p:
,
, откуда
. Находим корни уравнения. Определяем дискриминант:
Корни: ,
.
Отсюда ,
,
Напряжение на емкости . Чтобы определить постоянную интегрирования, используем закон коммутации:
, тогда можем записать:
. Так как неизвестных две, то потребуется еще одно уравнение. Найдем производную напряжения:
,
откуда
.
Снова воспользуемся граничными условиями при t=0:
.
Осталось решить систему:
Выражаем , тогда
,
Записываем напряжение на емкости: , или
,
тогда ток
Первым слагаемым можно пренебречь по сравнению со вторым, поэтому
Теперь предполагаем, что это единичный источник: E=1 B. Тогда определяем переходную характеристику для тока: .
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...
Здравствуйте, насчет задачи №4. Вы пишите, что c=h1*cos(beta), но это неверно, потому что...
Рассматривается произвольный случай, когда точки приземления и броска не на...