Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Первое начало термодинамики

Передаем газу тепло

При решении таких задач важно не забыть про работу: первым делом убедиться в том, что газ ее не совершает (или наоборот, совершает), а это можно заключить из того, меняется ли его объем. Кроме того, важно помнить про число степеней свободы: у одноатомного газа i=3, у двухатомного – 5.

Задача 1. Одноатомный идеальный газ, первоначально занимающий объем V_1 = 2 м^3, изохорически перевели в состояние, при котором его давление увеличилось на \Delta p = 0,2 МПа. Какое количество теплоты сообщили газу?

Так как процесс изохорический и объем постоянен, то работы газ не совершает. Поэтому все переданное ему тепло пойдет на увеличение его внутренней энергии:

    \[Q=A+\Delta U\]

    \[A=0\]

    \[Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T\]

Закон Шарля:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Перепишем:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_1+\Delta p}{T_1+\Delta T}\]

Или

    \[\frac{T_1+\Delta T }{T_1 }=\frac{p_1+\Delta p }{p_1 }\]

    \[1+\frac{\Delta T }{T_1 }=1+\frac{\Delta p }{p_1 }\]

    \[\frac{\Delta T }{T_1 }=\frac{\Delta p }{p_1 }\]

Откуда

    \[\Delta T=\frac{\Delta p}{p_1}T_1\]

Из уравнения состояния

    \[T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}\]

Подставим:

    \[\Delta T=\frac{\Delta p}{p_1}\cdot\frac{p_1V_1}{\nu R}=\frac{\Delta pV_1}{\nu R }\]

Получим изменение внутренней энергии:

    \[\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\Delta pV_1=\frac{3}{2}\cdot 0,2\cdot10^6\cdot 2=0,6\cdot10^6\]

Ответ: 600 кДж
Задача 2. В баллоне объемом V= 1 л находится кислород под давлением p = 10^7 Па при температуре T = 300 K. К газу подводят количество теплоты 8,35 кДж. Определить температуру и давление газа после нагревания.

Так как процесс изохорический и объем постоянен, то работы газ не совершает. Поэтому все переданное ему тепло пойдет на увеличение его внутренней энергии:

    \[Q=A+\Delta U\]

    \[A=0\]

Кислород – O_2 – не одноатомный газ, поэтому число степеней свободы i=5.

    \[Q=\Delta U=\frac{5}{2}\nu R \Delta T=\frac{5}{2}\nu R (T_2-T_1)\]

Тогда

    \[Q=\frac{5}{2}\nu R T_2-\frac{5}{2}\nu R T_1\]

    \[\frac{5}{2}\nu R T_2=\frac{5}{2}\nu R T_1+Q\]

    \[T_2=T_1+\frac{2 Q} {5\nu R }\]

Закон Шарля:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Перепишем:

    \[p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}=\frac{p_1}{T_1}\left( T_1+\frac{2 Q} {5\nu R }\right)\]

Надо бы определить еще величину \nu R, это можно сделать из уравнения состояния:

    \[p_1V_1=\nu RT_1\]

    \[\nu R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}\]

Тогда:

    \[p_2=\frac{p_1}{T_1}\left( T_1+\frac{2 QT_1} {5p_1V_1}\right)\]

    \[p_2=p_1+\frac{2 Q} {5V_1}\right)=10^7+\frac{16700}{5\cdot10^{-3}}=1,33\cdot10^7\]

Определим температуру:

    \[T_2=T_1+\frac{2 QT_1} {5p_1V_1 }\]

    \[T_2=300+\frac{16700\cdot 300} {5\cdot10^7\cdot10^{-3}}=300+\frac{167\cdot3}{5}=400,2\]

Ответ: p_2=1,33\cdot10^7 Па, T_2=400,2 К.

Задача 3. В баллоне содержится одноатомный газ \nu= 4 моля при температуре T = 300 К. При нагревании баллона средняя квадратичная скорость молекул газа увеличилась в n = 1,3 раза. Какое количество теплоты сообщили газу?

Скорость молекул определяется выражением:

    \[\upsilon_1=\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}\]

    \[\upsilon_1^2=\frac{3kT_1}{m_0}\]

Тогда после нагревания скорость молекул будет

    \[\upsilon_2=1,3\upsilon_1\]

А в квадрате:

    \[\upsilon_2^2=1,69\upsilon_1^2=1,69\frac{3kT_1}{m_0}~~~~~~~~(1)\]

Но с другой стороны

    \[\upsilon_2^2=\frac{3kT_2}{m_0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Разделим уравнения друг на друга (2 разделим на 1):

    \[\frac{T_2}{T_1}=1,69\]

    \[T_2=1,69T_1\]

    \[\Delta T=T_2-T_1=1,69T_1-T_1=0,69T_1\]

Так как газ работы не совершал, то Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T:

Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3\nu R \cdot0,69T_1}{2}=\frac{12\cdot8,31 \cdot0,69\cdot300}{2}=10321$

Ответ: 10,3 кДж

Комментариев - 2

  • Elena
    |

    Зачем такие сложные преобразования в первой задаче? достаточно записать уравнение Менделеева-Клапейрона для 1-го состояния, 2-го состояния и вычесть их. Тогда сразу автоматом получаем, что Delta(p) * V = nu*R*Delta(T). Итого две строчки вместо половины тетрадной страницы преобразований.

    Ответить
    • Анна
      |

      Согласна, спасибо. Давно решала – даже не помню, почему так усложнила себе жизнь.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *