Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Относительность движения, Равнопеременное движение

Парашютисты

В этой статье рассмотрены задачи, в которых присутствует как движение с постоянной скоростью, так и равноускоренное движение, а именно, падение тел. Также эти задачи включают и относительность движения, потому что парашютисты двигаются, и бросают тела относительно себя, а следовательно, их скорость относительно земли надо определить.

 

Задача 1. Парашютист, спускающийся равномерно со скоростью \upsilon=5 м/с, в момент, когда он находился на высоте h=100 м над поверхностью земли, бросил вертикально вниз небольшое тело со скоростью \upsilon_0=10 м/с относительно себя. Какой промежуток времени разделяет моменты приземления тела и парашютиста?

Проще всего определить время, которое потребуется парашютисту для приземления. Он двигается с постоянной скоростью, поэтому

    \[t_p=\frac{S}{\upsilon}=\frac{100}{5}=20\]

Итак, парашютист приземлится через 20 с. Тело, очевидно, приземлится быстрее. Нам дана его скорость относительно парашютиста, найдем его скорость относительно земли: \upsilon+\upsilon_0=15 м/с. Это начальная скорость тела, а падать оно будет с ускорением g, поэтому:

    \[h=(\upsilon+\upsilon_0)t+\frac{gt^2}{2}\]

Корни этого квадратного уравнения:

    \[t_{1,2}=\frac{-\upsilon-\upsilon_0 \pm \sqrt{(\upsilon+\upsilon_0)^2+2gh}}{g}\]

Берем положительный корень:

    \[t_t=\frac{-\upsilon-\upsilon_0 + \sqrt{(\upsilon+\upsilon_0)^2+2gh}}{g}=\frac{-15 + \sqrt{225+2000}}{10}=3,2\]

Тогда разность времен полета тела и парашютиста составляет:

    \[\Delta t=t_p-t_t=20-3,2=16,8\]

Ответ: 16,8 с.

 

Задача 2. Парашютист спускается равномерно со скоростью \upsilon=0,5 м/с. В какой-то момент времени парашютист подбрасывает вертикально вверх небольшое тело с начальной скоростью \upsilon_0=4,5 м/с относительно себя.  Какое расстояние окажется между парашютистом и телом, находящимся в высшей точке своего полета?

Для начала определим скорость тела относительно земли: \upsilon_t=-\upsilon+\upsilon_0=4 м/с. Это начальная скорость тела, движение которого является равнозамедленным. В верхней точке полета скорость тела равна 0:

    \[\upsilon_t^2=2gh\]

Отсюда находим максимальную высоту подъема:

    \[h=\frac{\upsilon_t^2}{2g}=\frac{16}{20}=0,8\]

Найдем время полета тела:

    \[\upsilon_t-gt=0\]

    \[t=\frac{\upsilon_t }{g}=0,4\]

За это время парашютист успел пролететь S=\upsilon t=0,5 \cdot 0,4=0,2 м.

Поэтому между телом и парашютистом оказалось 0,2+0,8=1 м.

Ответ: 1 м.

 

Задача 3. Парашютист, опускающийся равномерно со скоростью \upsilon=5 м/с, бросает вертикально вверх небольшое тело со скоростью \upsilon_0=10 м/с относительно себя. Через какое время t после броска тело и парашютист вновь окажутся на одной высоте? Чему будет равна скорость тела в этот момент? На какой высоте относительно точки броска это произойдет?

Обратим внимание, что снова скорость тела дана относительно парашютиста. Относительно земли она будет равна \upsilon_t=\upsilon_0-\upsilon=5 м/с. С такой начальной скоростью тело взлетит на высоту

    \[h=\frac{\upsilon_t^2}{2g}=\frac{25}{20}=1,25\]

Время взлета тела вверх равно:

    \[\upsilon_t-gt=0\]

    \[t=\frac{\upsilon_t }{g}=0,5\]

За это время парашютист пролетит S=\upsilon t=2,5 м и тело с парашютистом будет разделять 3,75 м. На этом этапе решения можно записать формулу координаты тела и парашютиста, и затем приравнять ординаты, и из этого уравнения найти время. Уравнение движения парашютиста (начало координат совмещаем с брошенным им телом, ось направляем вниз, тогда x_0=3,75):

    \[x_p=x_0+\upsilon t\]

Уравнение движения тела (свободное падение без начальной скорости):

    \[x_t=\frac{gt^2}{2}\]

Приравниваем две координаты:

    \[x_p= x_t\]

    \[x_0+\upsilon t=\frac{gt^2}{2}\]

    \[gt^2-2\upsilon t-2x_0=0\]

Корни этого квадратного уравнения:

    \[t_{1,2}=\frac{2\upsilon \pm \sqrt{4\upsilon^2+8gx_0}}{2g}\]

Берем положительный корень:

    \[t_t=\frac{\upsilon + \sqrt{\upsilon^2+2gx_0}}{g}=\frac{5 + \sqrt{25+75}}{10}=1,5\]

Таким образом, время до встречи тела и парашютиста равно t_t+t=2 с.

Найдем скорость тела в этот момент:

    \[\upsilon_2=gt=20\]

Это – скорость тела относительно земли, а относительно парашютиста, следовательно, будет 15 м/c.

Поскольку за время 1,5 с парашютист пролетит 7,5 м, да еще 2,5 м он пролетел до достижения телом максимальной высоты, то встреча произойдет на 10 м ниже места броска.

Ответ: 2 с, 20 м/с, 10 м.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *