Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Параметр: окружности и прямая

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

    \[\begin{Bmatrix}{6x+6y-18=\mid x^2+y^2-9 \mid}\\{y=ax+3}\end{matrix}\]

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ 6x+6y-18= x^2+y^2-9 }\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ 6x+6y-18=-x^2-y^2+9 }\\{  x^2+y^2-9<0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ x^2-6x+9+y^2-6y+9=9}\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ x^2+6x+9+y^2+6y+9=45 }\\{ x^2+y^2-9 <0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}\]

    \[\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ (x-3)^2+(y-3)^2=3^2 }\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{  }(x+3)^2+(y+3)^2=45\\{x^2+y^2-9<0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}\]

Мы получили две окружности: первая с центром в точке (3; 3), радиусом 3, причем нас интересует та ее часть, что находится вне окружности радиуса 3 с центром в начале координат, и вторая, радиусом 3\sqrt{5}, с центром в точке (-3; -3),  причем нас интересует та ее часть, которая находится внутри  окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Прямая, которая будет их пересекать, вращается вокруг точки с координатами (0,3).

«Стыковка» окружностей будет происходить в точках C и D.

Рисунок 1

Будем вращать нашу прямую, отыскивая нужные нам положения, такие, чтобы пересечений прямой и окружностей было бы три или более.

Примем за начальное (исходное) положение прямой такое, когда она проходит через точки C и D. При этом значение параметра (и коэффициента наклона прямой) равно a=-1. Это значение нас не устраивает: решений 2. Будем вращать прямую против часовой.

Замечаем, что при таком вращении три решения будут вплоть до тех пор, пока прямая не станет касательной к большей окружности.

Рисунок 2

Выясним, какой коэффициент наклона у прямой при этом будет. Для этого выразим y из уравнения прямой и подставим в уравнение большей окружности. Потребуем, чтобы данное уравнение имело один корень,  то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

Итак, уравнение прямой:

    \[y=ax+3\]

Подставим в уравнение окружности:

    \[(x+3)^2+(y+3)^2=45\]

    \[(x+3)^2+(ax+3+3)^2=45\]

Имеем:

    \[x^2+6x+9+a^2x^2+12ax+36=45\]

    \[x^2+a^2x^2+6x+12ax=0\]

    \[x^2(1+a^2)+6x(1+2a)=0\]

    \[\frac{D}{4}=9(1+2a)^2=0\]

    \[2a=-1\]

    \[a=-0,5\]

Это значение параметра дает три решения, его заберем в ответ. Получилось, что все a от (-1) до -\frac{1}{2} (включая последнее) нам годятся.

 

 

Ответ: a \in (-1;-\frac{1}{2}]

Комментариев - 2

  • lara
    |

    Задача решена, по-моему, совершенно неверно.

    Ответить
    • Анна
      |

      Да, согласна. Переделаю при первой же возможности.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *