Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Параметр: окружности и прямая

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

   

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

   

   

   

И снова две окружности, но только в этот раз они разных радиусов, а прямая, которая будет их пересекать, вращается вокруг точки с координатами .

Рисунок 1 – окружности и прямая разграничения

«Стыковка» окружностей будет происходить в точках и .

Снова будем вращать нашу прямую, отыскивая нужные нам положения, такие, чтобы пересечений прямой и окружностей было бы три или более.

Примем за начальное (исходное) положение прямой такое, когда она проходит через точки и . При этом значение параметра (и коэффициента наклона прямой) равно . Будем вращать прямую против часовой.

Рисунок 2 – коэффициент наклона равен -1

Замечаем, что при таком вращении два решения будут вплоть до тех пор, пока прямая не станет касательной к большей окружности.

Рисунок 3 – прямая касается большей окружности

Это произойдет тогда, когда радиус станет перпендикулярен нашей прямой. Выясним, какой коэффициент наклона при этом будет. Для этого определим коэффициент наклона прямой по координатам принадлежащих ей точек, а потом воспользуемся свойством произведения коэффициентов наклона двух перпендикулярных прямых:

   

Итак, уравнение прямой:

   

Чтобы найти коэффициенты, подставим в него координаты точек и :

   

Имеем:

   

Откуда a \in (-1; -\frac{1}{2})a>-\frac{1}{2}ya=k=+\inftyya=k=-\inftyk=-1a \in (-\frac{1}{2}; =+\infty)$

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *