Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Параметры (18 (С5))

Параметр: окружности и прямая

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

   

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

   

   

   

И снова две окружности, но только в этот раз они разных радиусов, а прямая, которая будет их пересекать, вращается вокруг точки с координатами .

Рисунок 1 – окружности и прямая разграничения

«Стыковка» окружностей будет происходить в точках и .

Снова будем вращать нашу прямую, отыскивая нужные нам положения, такие, чтобы пересечений прямой и окружностей было бы три или более.

Примем за начальное (исходное) положение прямой такое, когда она проходит через точки и . При этом значение параметра (и коэффициента наклона прямой) равно . Будем вращать прямую против часовой.

Рисунок 2 – коэффициент наклона равен -1

Замечаем, что при таком вращении два решения будут вплоть до тех пор, пока прямая не станет касательной к большей окружности.

Рисунок 3 – прямая касается большей окружности

Это произойдет тогда, когда радиус станет перпендикулярен нашей прямой. Выясним, какой коэффициент наклона при этом будет. Для этого определим коэффициент наклона прямой по координатам принадлежащих ей точек, а потом воспользуемся свойством произведения коэффициентов наклона двух перпендикулярных прямых:

   

Итак, уравнение прямой:

   

Чтобы найти коэффициенты, подставим в него координаты точек и :

   

Имеем:

   

Откуда

Тогда искомый коэффициент наклона будет равен:

   

При данном коэффициенте будем иметь два корня, поэтому в ответ эта точка  не войдет. То есть, иначе говоря, нас не устраивают коэффициенты наклона прямой, лежащие в диапазоне .

Рисунок 4 – положительный коэффициент наклона, k=3

Продолжая вращать прямую против часовой стрелки, убеждаемся, что подходят все , вплоть до положения, когда прямая становится касательной к окружности с меньшим радиусом. При этом, так как точка касания лежит на оси , то и наша прямая с этой осью совпадет, что будет означать, что .

Наша прямая еще не описала полный круг. Положение, когда она практически вертикальна и прижимается к оси слева, соответствует коэффициенту ее наклона, равному . Этот вариант, и все остальные отрицательные значения параметра, вплоть до , нам не подходят. Тогда можно записать ответ:

Ответ:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *