Параметр: окружности и прямая

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

Мы получили две окружности: первая с центром в точке , радиусом 3, причем нас интересует та ее часть, что находится вне окружности радиуса 3 с центром в начале координат, и вторая, радиусом , с центром в точке ,  причем нас интересует та ее часть, которая находится внутри  окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Прямая, которая будет их пересекать, вращается вокруг точки с координатами .

«Стыковка» окружностей будет происходить в точках и .

Рисунок 1

Будем вращать нашу прямую, отыскивая нужные нам положения, такие, чтобы пересечений прямой и окружностей было бы три или более.

Примем за начальное (исходное) положение прямой такое, когда она проходит через точки и . При этом значение параметра (и коэффициента наклона прямой) равно . Это значение нас не устраивает: решений 2. Будем вращать прямую против часовой.

Замечаем, что при таком вращении три решения будут вплоть до тех пор, пока прямая не станет касательной к большей окружности.

Рисунок 2

Выясним, какой коэффициент наклона у прямой при этом будет. Для этого выразим из уравнения прямой и подставим в уравнение большей окружности. Потребуем, чтобы данное уравнение имело один корень,  то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

Итак, уравнение прямой:

Подставим в уравнение окружности:

Имеем:

Это значение параметра дает три решения, его заберем в ответ. Получилось, что все от до (включая последнее) нам годятся.

Ответ: