Параметр, модуль и пары параллельных прямых

В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.

Задача. Найти значение параметра $a$ , при котором решение неравенства

$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid <1$

не имеет общих точек с множеством $x \in [3;4]$ .

Для решения представим неравенство в таком виде:

$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid -1<0$

Теперь, имея разность двух положительных величин, применяем прием «домножение на сопряженное выражение»:

$(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid-1)(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid+1)<0$

Далее будем привлекать графику себе на помощь. Линия $2a-\frac{x}{2}=0$ – важная линия излома графиков, которые мы получим. Выше этой линии мы будем раскрывать модуль с «плюсом», а ниже – с «минусом».

Тогда выше нашей ключевой линии $a=\frac{x}{4}$ получим:

$(x+a-2a+\frac{x}{2}-1)(x+a-2a+\frac{x}{2}+1)<0$

$(a-\frac{3x}{2}+1)(a-\frac{3x}{2}-1)<0$

Получили две параллельные прямые, обе проходят выше границы $a=\frac{x}{4}$ :

$a-\frac{3x}{2}+1=0$

$a-\frac{3x}{2}-1=0$

Теперь ниже этой границы:

$(x+a+2a-\frac{x}{2}-1)(x+a+2a-\frac{x}{2}+1)<0$

$(3a+\frac{x}{2}-1)(3a+\frac{x}{2}+1)<0$

И снова две параллельные:

$3a+\frac{x}{2}-1=0$

$3a+\frac{x}{2}+1=0$

Теперь изобразим все на плоскости $XOA$ , построим прямые:

$a=\frac{3x}{2}-1$

$a=\frac{3x}{2}+1$

$a=-\frac{x}{6}+\frac{1}{3}$

$a=-\frac{x}{6}-\frac{1}{3}$

Первые две – рыжим, вторые две – темно зеленые. В соответствии с неравенствами нам нужны внутренние области между прямыми, выше одной параллельной, но ниже другой – я их отметила цветом.

Рисунок 1. Построение граничных прямых.

Нам необходимо выделить промежуток $x \in [3;4]$ и на этой полоске найти те области, где решений нет. Выделяем нужный промежуток коричневыми вертикальными прямыми. Голубым цветом отмечены области решения, фиолетовыми прямыми – интересующие нас граничные значения параметра.