Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Параметр, модуль и пары параллельных прямых

В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.

Задача. Найти значение параметра a, при котором решение неравенства

    \[\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid <1\]

не имеет общих точек с множеством x \in [3;4].

Для решения представим неравенство в таком виде:

    \[\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid -1<0\]

Теперь, имея разность двух положительных величин, применяем прием «домножение на сопряженное выражение»:

    \[(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid-1)(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid+1)<0\]

Далее будем привлекать графику себе на помощь. Линия 2a-\frac{x}{2}=0 – важная линия излома графиков, которые мы получим. Выше этой линии мы будем раскрывать модуль с «плюсом», а ниже – с «минусом».

Тогда выше нашей ключевой линии a=\frac{x}{4}  получим:

    \[(x+a-2a+\frac{x}{2}-1)(x+a-2a+\frac{x}{2}+1)<0\]

    \[(a-\frac{3x}{2}+1)(a-\frac{3x}{2}-1)<0\]

Получили две параллельные прямые, обе проходят выше границы a=\frac{x}{4}:

    \[a-\frac{3x}{2}+1=0\]

    \[a-\frac{3x}{2}-1=0\]

Теперь ниже этой границы:

    \[(x+a+2a-\frac{x}{2}-1)(x+a+2a-\frac{x}{2}+1)<0\]

    \[(3a+\frac{x}{2}-1)(3a+\frac{x}{2}+1)<0\]

И снова две параллельные:

    \[3a+\frac{x}{2}-1=0\]

    \[3a+\frac{x}{2}+1=0\]

Теперь изобразим все на плоскости XOA, построим прямые:

    \[a=\frac{3x}{2}-1\]

    \[a=\frac{3x}{2}+1\]

    \[a=-\frac{x}{6}+\frac{1}{3}\]

    \[a=-\frac{x}{6}-\frac{1}{3}\]

Первые две – рыжим, вторые две – темно зеленые. В соответствии с неравенствами нам нужны внутренние области между прямыми, выше одной параллельной, но ниже другой – я их отметила цветом.

Рисунок 1. Построение граничных прямых.

Нам необходимо выделить промежуток x \in [3;4] и на этой полоске найти те области, где решений нет. Выделяем нужный промежуток коричневыми вертикальными прямыми.  Голубым цветом отмечены области решения, фиолетовыми прямыми – интересующие нас граничные значения параметра.

Рисунок 2. Выделение промежутков, которые войдут в ответ.

Первый, самый нижний участок: a \in (-\infty; -1].

Второй, средний промежуток. Подставим x=3 в выражение для прямой

a=-\frac{x}{6}+\frac{1}{3}, получим нижнюю границу:

    \[a=-\frac{3}{6}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\]

А подставив  x=3 в выражение для прямой a=-\frac{3x}{2}-1, получим верхнюю границу:

    \[a=-\frac{3\cdot 3}{2}-1=\frac{7}{2}\]

Средний промежуток: a \in [-\frac{1}{6}; \frac{7}{2}].

Наконец, самый верхний участок: a \in [7;\infty) – определение его нижней границы выполните самостоятельно.

Ответ: a \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{6}; \frac{7}{2}] \cup [7;\infty).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *