Параметр, модуль и пары параллельных прямых

В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.

Задача. Найти значение параметра $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , при котором решение неравенства

не имеет общих точек с множеством $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Для решения представим неравенство в таком виде:

Теперь, имея разность двух положительных величин, применяем прием «домножение на сопряженное выражение»:

Далее будем привлекать графику себе на помощь. Линия $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – важная линия излома графиков, которые мы получим. Выше этой линии мы будем раскрывать модуль с «плюсом», а ниже – с «минусом».

Тогда выше нашей ключевой линии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ получим:

Получили две параллельные прямые, обе проходят выше границы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Теперь ниже этой границы:

И снова две параллельные:

Теперь изобразим все на плоскости $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , построим прямые:

Первые две – рыжим, вторые две – темно зеленые. В соответствии с неравенствами нам нужны внутренние области между прямыми, выше одной параллельной, но ниже другой – я их отметила цветом.

Рисунок 1. Построение граничных прямых.

Нам необходимо выделить промежуток $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и на этой полоске найти те области, где решений нет. Выделяем нужный промежуток коричневыми вертикальными прямыми. Голубым цветом отмечены области решения, фиолетовыми прямыми – интересующие нас граничные значения параметра.