Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Параметр, модуль и нечетное количество корней уравнения

При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат,  а третий – в нуле, точно «посередине».

Задача. При каких значениях параметра a уравнение

    \[\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=a\]

имеет ровно три решения?

Проверим идею с нечетным количеством корней, попробовав подставить вместо x выражение \frac{2x-1}{3x-2}:

    \[\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{2\cdot\frac{2x-1}{3x-2}-1}{3\cdot \frac{2x-1}{3x-2}-2}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{ \frac{4x-2}{3x-2}-1}{ \frac {6x-3}{3x-2}-2}\right|=\]

    \[=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{ \frac{4x-2-3x+2}{3x-2}}{ \frac{6x-3-6x+4}{3x-2}}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left| \frac{\frac{x}{3x-2}}{ \frac{1}{3x-2}}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left| x \right|\]

Получили то же самое, то есть, если есть корень x=x_0, то есть и корень x=\frac{2x_0-1}{3x_0-2}. А поскольку количество корней нечетное, то корни должны совпадать:

    \[x=\frac{2x-1}{3x-2}\]

    \[\frac{2x-1}{3x-2}-\frac{x(3x-2)}{3x-2}=0\]

    \[\frac{2x-1-3x^2+2x}{3x-2}=0\]

    \[\frac{3x^2-4x+1}{3x-2}=0\]

    \[3x^2-4x+1=0\]

Корни этого уравнения x=1 и x=\frac{1}{3}. Подставляем эти значения в исходное уравнение и находим значения параметра:

    \[1 + \left|\frac{2-1}{3-2} \right|=a\]

    \[a=2\]

И

    \[\frac{1}{3} + \left|\frac{\frac{2}{3}-1}{1-2} \right|=a\]

    \[a=\frac{2}{3}\]

Нам мало получить параметр, надо еще проверить полученные значения. Подставляем их в уравнение и проверяем количество корней:

Первое значение a=2.

    \[\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=2\]

Домножаем на знаменатель:

    \[\mid 3x^2-2x \mid =2 \left|3x-2 \right|-\left|2x-1\right|\]

Слева – очень понятный график параболы, построить которую совсем несложно: строим саму параболу и отражаем вверх ту ее часть, что оказалась под осью x.Вершина параболы будет в точке (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}).

А вот то, что справа…  это надо поработать! Сначала определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

    \[3x-2=0\]

    \[x=\frac{2}{3}\]

    \[2x-1=0\]

    \[x=\frac{1}{2}\]

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале (-\infty; \frac{1}{2}) оба модуля раскрываем с минусом:

    \[y_1=-2 (3x-2)+(2x-1)=-6x+4+2x-1=-4x+3\]

На отрезке [\frac{1}{2}; \frac{2}{3}] первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

    \[y_2=-2 (3x-2)-(2x-1)=-6x+4-2x+1=-8x+5\]

На интервале (\frac{2}{3};\infty) оба модуля раскрываем с плюсом:

    \[y_3=2 (3x-2)-(2x-1)=6x-4-2x+1=4x-3\]

Теперь строим:

Рисунок 1

Теперь, если мы убедимся в том, что в точке (1;1) произойдет именно касание графиков, то получим три пересечения, что нам и надо. Проверяем это: уравнение касательной в точке x_0=1 будет таким:

    \[y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=3\cdot1^2-2+(6-2)(x-1)=1+4x-4=4x-3\]

Получили как раз выражение, описывающее кусочно-линейную функцию на третьем интервале.

Таким долгим и непростым путем мы-таки доказали, что значение параметра a=2 подходит. Осталось чуть-чуть: проверить второе значение: a=\frac{2}{3}.

    \[\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=\frac{2}{3}\]

Домножаем на знаменатель:

    \[\mid 3x^2-2x \mid =\frac{2}{3} \left|3x-2 \right|-\left|2x-1\right|\]

    \[\mid 3x^2-2x \mid = \left|2x-\frac{4}{3} \right|-\left|2x-1\right|\]

Слева – тот же самый график параболы.

Чтобы построить кусочно-линейную функцию справа,  определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

    \[2x-\frac{4}{3} =0\]

    \[x=\frac{2}{3}\]

    \[2x-1=0\]

    \[x=\frac{1}{2}\]

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале (-\infty; \frac{1}{2}) оба модуля раскрываем с минусом:

    \[y_1=- (2x-\frac{4}{3})+(2x-1)=-2x+\frac{4}{3}+2x-1=\frac{1}{3}\]

На отрезке [\frac{1}{2}; \frac{2}{3}] первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

    \[y_2=- (2x-\frac{4}{3})-(2x-1)=-2x+\frac{4}{3}-2x+1=-4x+2\frac{1}{3}\]

На интервале (\frac{2}{3};\infty) оба модуля раскрываем с плюсом:

    \[y_3= (2x-\frac{4}{3})-(2x-1)=2x-\frac{4}{3}-2x+1=-\frac{1}{3}\]

Теперь строим:

Рисунок 2

Видно и из рисунка, и по расчету, что касание произойдет в вершине параболы. Еще два пересечения также видны. Соответственно, это значение параметра тоже подходит.

Ответ: a=2 и a=\frac{2}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *