Параметр, модуль и нечетное количество корней уравнения

При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат,  а третий – в нуле, точно «посередине».

Задача. При каких значениях параметра уравнение

имеет ровно три решения?

Проверим идею с нечетным количеством корней, попробовав подставить вместо выражение :

Получили то же самое, то есть, если есть корень , то есть и корень . А поскольку количество корней нечетное, то корни должны совпадать:

Корни этого уравнения и . Подставляем эти значения в исходное уравнение и находим значения параметра:

И

Нам мало получить параметр, надо еще проверить полученные значения. Подставляем их в уравнение и проверяем количество корней:

Первое значение .

Домножаем на знаменатель:

Слева – очень понятный график параболы, построить которую совсем несложно: строим саму параболу и отражаем вверх ту ее часть, что оказалась под осью .Вершина параболы будет в точке .

А вот то, что справа…  это надо поработать! Сначала определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале оба модуля раскрываем с минусом:

На отрезке первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

На интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

Теперь строим:

Рисунок 1

Теперь, если мы убедимся в том, что в точке произойдет именно касание графиков, то получим три пересечения, что нам и надо. Проверяем это: уравнение касательной в точке будет таким:

Получили как раз выражение, описывающее кусочно-линейную функцию на третьем интервале.

Таким долгим и непростым путем мы-таки доказали, что значение параметра подходит. Осталось чуть-чуть: проверить второе значение: .

Домножаем на знаменатель:

Слева – тот же самый график параболы.

Чтобы построить кусочно-линейную функцию справа,  определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале оба модуля раскрываем с минусом:

На отрезке первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

На интервале оба модуля раскрываем с плюсом:

Теперь строим:

Рисунок 2

Видно и из рисунка, и по расчету, что касание произойдет в вершине параболы. Еще два пересечения также видны. Соответственно, это значение параметра тоже подходит.

Ответ: и .