Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Движение под углом к горизонту

Отскок мяча от стены: оформление задачи на ЕГЭ

Эта задача появлялась уже на моем сайте. Я предложила ее решение, которое казалось мне довольно простым. Ученики спросили, как оформить такую задачу на ЕГЭ, и этот вопрос заставил меня решить задачу заново, теперь уже с точки зрения оформления решения на экзамене.


Задача. Мальчик бросает мяч со скоростью \upsilon=10 м/с под углом в 45^{\circ} в сторону стены, стоя на расстоянии l=4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.

Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.

Пунктир – траектория мяча при отсутствии стены

Вертикальная составляющая начальной скорости мяча:

    \[\upsilon_{y0}= \upsilon \sin{\alpha}\]

Горизонтальная составляющая начальной скорости:

    \[\upsilon_{x0}= \upsilon \cos{\alpha}\]

Время полета мяча до верхней точки найдем из условия равенства вертикальной составляющей скорости нулю:

    \[\upsilon_y= \upsilon_{y0}-gt=\upsilon \sin{\alpha}-gt=0\]

    \[t= \frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}\]

t – время полета мяча до наивысшей точки траектории (при условии отсутствия стенки).

 

Дальность полета мяча до верхней точки траектории:

    \[S_x=\upsilon_{x0}\cdot t=\upsilon \cos{\alpha}\frac{\upsilon \sin{\alpha}}{g}=\frac{\upsilon^2 \sin{2\alpha}}{2g}=\frac{100}{20}=5\]

Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:

Отскок мяча от стены

 

Теперь определим время полета мяча до стены.

    \[l=\upsilon \cos{\alpha} t_1\]

t_1 – время полета мяча до стены.

    \[t_1=\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\]

Определим ординату точки, в которой мяч ударился о стенку:

    \[y=\upsilon \sin{\alpha}t_1-\frac{gt_1^2}{2}\]

Тогда, подставив время полета мяча до стены, получим:

    \[y=\upsilon \sin{\alpha}\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}-\frac{g}{2}\cdot \frac{l^2}{\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}\]

или

    \[y=l \operatorname{tg}{\alpha}}- \frac{gl^2}{2\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (1)\]

После отскока мяча от стены его ордината будет изменяться по закону:

    \[y_1=y+\upsilon_{y1} t_2 - \frac{gt_2^2}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2)\]

Здесь \upsilon_{y1} – скорость по оси y, которую имел мячик на момент соприкосновения со стеной, t_2 – время полета мяча от стены до попадания мальчику в руки, то есть до момента, когда ордината мяча станет нулевой.

Вертикальная составляющая скорости мяча на момент подлета равна:

    \[\upsilon_{y1}=\upsilon_{y0}-gt_1=\upsilon \sin{\alpha}-g\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3)\]

Подставим в выражение (2) координату  (1) и скорость (3):

    \[y_1=l \operatorname{tg}{\alpha}}- \frac{gl^2}{2\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}+\left(\upsilon \sin{\alpha}-g\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\right)t_2-\frac{gt_2^2}{2}\]

Мяч приземлится, когда y_1=0:

    \[l \operatorname{tg}{\alpha}}- \frac{gl^2}{2\upsilon^2 \cos^2{\alpha}}+\left(\upsilon \sin{\alpha}-g\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\right)t_2-\frac{gt_2^2}{2}=0\]

Из этого выражения можно найти время полета мяча от стенки до приземления:

    \[D=\left(\upsilon \sin{\alpha}-g\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\right)^2+4\cdot\frac{g}{2}\cdot \left(l \operatorname{tg}{\alpha}}- \frac{gl^2}{2\upsilon^2 \cos^2{\alpha}} \right)\]

    \[t_2=\frac{\frac{gl}{\upsilon \cos{\alpha}}-\upsilon \sin{\alpha} \pm \sqrt{D}}{-g}\]

Тогда расстояние, которое мяч пролетит по горизонтали после отскока от стены (напомню, что скорость мяча по горизонтали не изменилась по модулю, ведь удар был упругий), равно:

    \[S_{x1}=\upsilon_{x0}t_2=\upsilon \cos{\alpha}t_2=\frac{-gl+\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \mp  \upsilon \cos{\alpha}\sqrt{D}}{g}\]

Осталось всего ничего: подставить числа.

Определим дискриминант численно:

    \[D=\left(\upsilon \sin{\alpha}-g\frac{l}{\upsilon \cos{\alpha}}\right)^2+2g\cdot \left(l \operatorname{tg}{\alpha}}- \frac{gl^2}{2\upsilon^2 \cos^2{\alpha}} \right)=\left(5\sqrt{2}-\frac{40}{5\sqrt{2}}}\right)^2+20\cdot \left(4- \frac{160}{200 \cdot\frac{1}{2}} \right)=\]

    \[=2+20\cdot2,4=50\]

Тогда

    \[S_{x1}=\frac{-gl+\upsilon^2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \mp  \upsilon \cos{\alpha}\sqrt{D}}{g}=\frac{-40+10^2\cdot\frac{1}{2} \mp  \frac{10\sqrt{2}}{2}\sqrt{50}}{10}=1 \mp\sqrt{25}=6\]

Отрицательный корень нас не устраивает по смыслу задачи, следовательно, ответ 6 м.

Ответ: 6 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *