Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Относительность движения

Относительность движения: задачи посложнее

Всякое тело одновременно и движется, и покоится. Смотря откуда на него посмотреть. Например, дерево нам кажется неподвижным, а если представить, с какой скоростью оно несется в космическом пространстве? Поэтому важно, какое тело принять за точку наблюдения, то есть относительно какого тела мы измеряем скорость. Это тело называется системой отсчета или телом отсчета. Системы отсчета могут быть неподвижными (опять же, откуда посмотреть) и подвижными. Чтобы определить скорость  тела, пользуются правилом сложения классических скоростей. Классических  -потому что не релятивистских, там все немного по-другому.

Правило сложения: скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной:

   

Пример: поезд двигается по рельсам, а в вагоне поезда упало со стола и покатилось по направлению движения поезда яблоко. Тогда относительно поезда скорость яблока равна (поезд – подвижная система отсчета). Скорость поезда относительно земли – , а скорость яблока относительно земли будет равна . Не забываем, что скорости – вектора, и в последнем выражении мы сняли стрелочки над скоростями только потому, что яблоко и поезд двигались в одну сторону! Если бы яблоко покатилось против направления движения поезда, то его скорость тоже складывалась бы со скоростью поезда, но направлена-то она в противоположную сторону! И по правилу сложения векторов мы бы складывали так:

Правило сложения векторов

То есть – теперь уже без знаков векторов.

Еще хорошо бывает пользоваться такой подсказкой: чтобы принять за начало (или систему) отсчета движущийся объект, надо вычесть его скорость из скорости объектов, находящихся  в неподвижной системе отсчета.

Попробуем потренировать эти правила.

 

Задача 1. Танк движется со скоростью км/ч. С какими скоростями относительно земли движутся: нижняя часть гусеницы – ; верхняя часть гусеницы – , часть гусеницы, которая в данный момент вертикальна по отношению к земле – ?

Внимательно посмотрев видео, мы заметим, что нижняя часть гусеницы относительно земли неподвижна. Тогда . Поскольку эта точка является центром вращения, то можно определить  линейную скорость точек обода колеса, если знать угловую. Угловая скорость центра колеса относительно нижней точки – мгновенного центра вращения – равна:

   

Тогда верхний край колеса (или верхняя часть гусеницы) будет вращаться со скоростью

   

Задача 1

Теперь попробуем найти скорость самой правой точки – точки, линейная скорость вращения которой направлена вертикально по отношению к земле. Не забываем, что скорости – величины векторные, и складывать их необходимо по правилам сложения векторов. Данная точка принимает участие в двух движениях: во-первых, она движется вперед со скоростью танка (скорость поступательного движения направлена горизонтально и равна скорости танка, скорость танка – скорость подвижной системы), во-вторых,   она вращается вокруг центра колеса, и линейная скорость вращения как раз и направлена вертикально вниз (и тоже равна скорости танка: , это скорость в подвижной системе отсчета). Поэтому складывать будем два перпендикулярных  вектора, а следовательно, модуль результата сложения может быть найден по теореме Пифагора:

   

Ответ: нижняя точка гусеницы неподвижна: , верхняя двигается с удвоенной скоростью: км/ч, скорость крайней правой точки гусеницы (и крайней левой) равна км/ч.

 

Задача 2. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом к вертикали. При движении трамвая со скоростью полосы от дождя вертикальны. Оценить скорость капель дождя в безветренную погоду.

Задача 2

Итак, раз капли падают наклонно, то имеют горизонтальную и вертикальную составляющие скорости. Причем при движении скорость трамвая компенсирует горизонтальную составляющую, сводя ее к нулю:

   

   

А при безветренной погоде у капель останется только вертикальная составляющая скорости: , которая, следовательно, будет равна:

   

Ответ: в безветренную погоду скорость капель .

Здесь  – скорость капель в неподвижной системе отсчета «земля», – скорость подвижной системы отсчета «трамвай». Поэтому скорость капель в подвижной системе отсчета будет равна векторной разности   и .

Задача 3. Поезд движется на север со скоростью м/с. Пассажиру вертолета, пролетающего над поездом, кажется, что поезд движется на запад со скоростью м/с. Найти скорость вертолета и направление его полета.

В этой задаче подвижная система отсчета – вертолет. Поезд двигается в неподвижной системе отсчета – земля. Поэтому реальная скорость поезда будет результатом сложения скорости вертолета и того, что кажется его пассажиру.

Задача 3

Следовательно, скорость вертолета в неподвижной системе отсчета – это векторная разность скорости поезда в неподвижной системе и скорости поезда в подвижной системе отсчета – того, что кажется пассажиру. Тогда

   

Угол, под которым направлена скорость вертолета относительно земли найдем из отношения катетов в этом прямоугольном треугольнике:

   

Таким образом, скорость вертолета равна м/с, а направление скорости – на северо-восток.

 

Задача 4. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится в 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Введем систему координат. Пусть первый велосипедист движется вниз по оси , а второй – влево по оси . Тогда уравнение движения первого будет:

   

А уравнение движения второго –

   

Так как наши велосипедисты движутся по катетам треугольника, то расстояние между ними – его гипотенуза. Следовательно, нам надо найти минимум длины этой гипотенузы. Запишем ее уравнение:

   

   

Раскроем скобки:

   

Объединим подобные относительно слагаемые:

   

Видно, что в правой части равенства имеем квадратичную зависимость относительно , причем парабола расположена ветвями вверх и минимум будет достигнут в вершине, поэтому найдем вершинку этой параболы:

   

Также, чтобы найти это время, можно было бы воспользоваться и производной – если, конечно, вы учитесь в старших классах и вам уже знакомо это понятие:

   

   

Определив время, сможем найти и минимальное расстояние:

   

Мы получили время в часах. В задаче нужно найти время в минутах, поэтому просто умножим это время на 60: минут.

Теперь определим минимальное расстояние:

   

   

Ответ: минимальное расстояние – 0,6 км, велосипедисты максимально сблизятся через 6,96 минут.

 

Задача 5. Два лодочника должны переплыть реку из пункта А в пункт В. Один из них направляет лодку по прямой АВ и, достигнув противоположного берега, оказывается в точке С. Для того, чтобы попасть в пункт В, он движется против течения от пункта С к пункту В. Второй лодочник направляет лодку так, что сразу, достигнув противоположного берега, оказывается в пункте В. Кто из них попадет  в пункт В быстрее и во сколько раз? Скорость лодки относительно воды в обоих случаях одинакова и равна м/с, скорость течения воды м/с.

Задача 5

Первого лодочника сносит течением. Следовательно, пока он преодолевает расстояние со скоростью  , следовательно, тратит на это время , течение сносит его со скоростью  и снесет на расстояние . Это расстояние ему придется преодолевать против течения, следовательно, со скоростью , и он потратит на это время, равное ,

   

А общее время переправы  первого лодочника составит

   

Теперь второй лодочник. Он правит так, чтобы попасть в точку сразу, следовательно, он направляет нос лодки под определенным углом против скорости течения, и итоговая его скорость равна векторной сумме его скорости относительно реки (подвижной системы отсчета) и скорости самой реки. По теореме Пифагора его скорость равна

   

Тогда время, которое он потратит на переправу,

   

Видимо, время меньше, чем . В задаче спрашивают, во сколько раз, следовательно, надо найти отношение:

   

   

Ответ: второй лодочник прибудет в 1,26 раза быстрее первого.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *