Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Относительность движения

Относительность движения. Олимпиадная подготовка, 10 класс

Задачи на относительность движения, как правило, наиболее сложно даются ребятам. Действительно, нужно научиться немного перевоплощаться: то представить себя мухой на стекле, то пересесть на дождевую каплю…

Задача 1. Капли дождя в безветренную погоду падают отвесно со скоростью \upsilon=10 м/с. С какой скоростью u должен двигаться автомобиль, чтобы капли падали на его переднее стекло перпендикулярно поверхности стекла, если оно наклонено к горизонту под углом \alpha=45^{\circ}. Ответ выразить в км/ч, округлив до целых.

Решение.

Пусть \vec\upsilon_{_{otn}} — скорость капель относительно движущегося автомобиля. Из закона сложения скоростей получаем, что \vec\upsilon_{_{otn}}=\vec\upsilon-\vec u. Нарисуем треугольник скоростей. Для системы отсчета капель вектор скорости автомобиля надо направить в противоположную сторону.

К задаче 1

Вектор скорости капель \vec\upsilon перпендикулярен горизонтальной поверхности автомобиля, а вектор относительной скорости \vec\upsilon_{_{otn}} перпендикулярен поверхности стекла. Значит, угол между векторами \vec\upsilon и \vec\upsilon_{_{otn}} равен \alpha, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Из прямоугольного треугольника скоростей найдём, что

    \[u=\upsilon\cdot\operatorname{tg}{\alpha}=10\]

К задаче 1. Треугольник скоростей

Ответ: 10 м/с.

 

Задача 2. Пассажирский теплоход движется по течению реки со скоростью \upsilon_1=36 км/ч относительно воды. Катер проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время t=10 с. Скорость катера относительно воды \upsilon_2=72 км/ч. Найти длину теплохода L. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

От кормы до носа теплохода катер проплывает за время

    \[t_1=\frac{L}{\upsilon_2-\upsilon_1}.\]

От носа до кормы катер проплывет за время

    \[t_2=\frac{L}{\upsilon_2+\upsilon_1}.\]

Общее время катера в пути

    \[t=t_1+t_2=\frac{L}{\upsilon_2-\upsilon_1}+\frac{L}{\upsilon_2+\upsilon_1}=\frac{2L\cdot \upsilon_2}{\upsilon_2^2-\upsilon_1^2},\]

откуда искомая длина теплохода равна

    \[L=\frac{t}{2\upsilon_2}\cdot(\upsilon_2^2-\upsilon_1^2)=75.\]

Ответ: 75 м.

Задача 3. Из точки B без начальной скорости отпускают тело. Одновременно из точки A под углом \alpha к горизонту бросают другое тело так, чтобы оба тела столкнулись в воздухе.

К задаче 3

Определите, чему равен тангенс угла \alpha, если H=3 м, а L=1 м. Ответ округлите до десятых. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.

Перейдём в систему отсчёта верхнего тела. Поскольку оно изначально покоилось, нижнее тело имеет относительно верхнего скорость \vec\upsilon_0.

Поскольку оба тела движутся с одинаковым ускорением g, относительная скорость остаётся постоянной.

Чтобы тела столкнулись, необходимо скорость нижнего тела относительно верхнего направить прямо на верхний шар. Таким образом, тангенс искомого угла равен

    \[\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{H}{L}=3.\]

Ответ: 3.

 

Задача 4. По параллельным железнодорожным путям едут в одном направлении два поезда: пассажирский и товарный. Пассажирский поезд едет со скоростью \upsilon_1=78 км/ч, а товарный — со скоростью \upsilon_2=60 км/ч. Длина одного вагона пассажирского поезда l=20 м, а состоит он из N=15 вагонов. Длина одного вагона товарного поезда такая же, но в нём на \Delta N=10 вагонов больше. В течение какого времени t пассажирский поезд будет обгонять товарный? Ответ выразить в с, округлив до целых.

\textit{Замечание}: в количестве вагонов обоих поездов посчитан также и локомотив, длина которого равна длине вагонов.

Решение.

Поскольку пассажирский поезд обгоняет товарняк, то его скорость относительно товарного поезда равна разности скоростей \upsilon_1 и \upsilon_2. С этой скоростью \upsilon_1-\upsilon_2 пассажирский поезд пройдёт путь, равный сумме длин обоих составов L_1 и L_2. Здесь L_1 — длина пассажирского поезда, а L_2 — длина товарного.

Поскольку движение поездов равномерное, то

    \[t=\frac{L_1+L_2}{\upsilon_1-\upsilon_2}.\]

Нам осталось выразить длины поездов через длину каждого вагона и их число. Длина пассажирского поезда составляет

    \[L_1=N\cdot l,\]

а товарного —

    \[L_2=(N+\Delta N)\cdot l\]

Подставляя длины поездов в выражение для времени, получаем

    \[t=\frac{N\cdot l+(N+\Delta N) \cdot l}{\upsilon_1-\upsilon_2}=\frac{(2N+\Delta N) \cdot l }{\upsilon_1-\upsilon_2}=160.\]

Ответ: 160 с.

Задача 5. Две шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам едут грузовик со скоростью \upsilon_1=54 км/ч и легковой автомобиль со скоростью \upsilon_2=90 км/ч, оба в направлении к перекрёстку. В некоторый момент они оказались на одинаковом расстоянии S=400 м от перекрёстка.

Через сколько времени t с этого момента расстояние между грузовым и легковым автомобилями станет наименьшим? Ответ выразить в с, округлив до целых.

Чему равно это минимальное расстояние L_{min}? Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

Выполним чертёж к задаче. Изобразим шоссейные дороги отрезками AB и BC, и пусть перекрёсток располагается в точке B. Пусть длины отрезков AB и BC равны расстоянию S и при этом в точке A находится грузовик, движущийся со скоростью \vec\upsilon_1, а в точке C — легковушка, движущаяся с большей скоростью \vec\upsilon_2.

К задаче 5 – рисунок 1

Теперь построим вектор относительной скорости \vec\upsilon_{_{otn}} легкового автомобиля относительно грузового. По закону сложения скоростей

    \[\vec\upsilon_2=\vec\upsilon_{_{otn}}+\vec\upsilon_1\]

Для построения \vec\upsilon_{_{otn}} перенесём вектор \vec\upsilon_1 не меняя его направления, из точки A в точку C и замкнём вектором \vec\upsilon_{_{otn}} концы векторов \vec\upsilon_1 и \vec\upsilon_2, направив его от конца вектора \vec\upsilon_1 к концу вектора \vec\upsilon_2. Теперь перенесём вектор \vec\upsilon_{_{otn}} параллельно самому себе в точку C, где находится в данный момент легковой автомобиль.

Вот с такой скоростью \vec\upsilon_{_{otn}} и в таком направлении вдоль прямой DC двигался бы легковой автомобиль, если бы грузовой был неподвижен. Если теперь из точки A опустить перпендикуляр на прямую DC, то его длина AD и будет минимальным расстоянием между автомобилями L_{min}.

К задаче 5 – рисунок 2

Из подобия треугольников ADE и CBE получается, что

    \[\frac{AD}{AE}=\frac{BC}{EC}.\]

Заметим, что AD=L_{min}, а BC=S. Обозначим AE=l, тогда EB=S-l. Гипотенуза треугольника CBE по теореме Пифагора будет равна \sqrt{(S-l)^2+S^2}. Таким образом соотношение подобия будет иметь вид

    \[\frac{L_{min}}{l}=\frac{S}{\sqrt{(S-l)^2+S^2}},\]

откуда

    \[L_{min}=\frac{l\cdot S}{\sqrt{(S-l)^2+S^2}}.\]

Заметим, что треугольник CBE и треугольник, образованный векторами скоростей \vec\upsilon_{_{otn}},~\vec\upsilon_1 и \vec\upsilon_2 (общий угол при точке C) подобны.

Из подобия этих треугольников следует соотношение \frac{EB}{BC}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} или

    \[\frac{S-l}{l}=\frac{\upsilon_1}{\upsilon_2}\]

откуда длина l выражается по формуле

    \[l=S\cdot\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{\upsilon_2}.\]

Подставляя l в выражение для L_{min}, получаем окончательно, что

    \[L_{min}=\frac{S\cdot(\upsilon_2-\upsilon_1)\cdot S}{\upsilon_2\sqrt{S^2\frac{\upsilon_1^2}{\upsilon_2^2}+S^2}}=\frac{S\cdot(\upsilon_2-\upsilon_1)}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}=138.\]

Чтобы найти время, через которое расстояние между автомобилями станет минимальным, разделим длину отрезка DC, равный расстоянию, которое прошёл бы легковой автомобиль с относительной скоростью \vec\upsilon_{_{otn}} от точки C до точки D на величину этой скорости.

Длину отрезка AD найдём из теоремы Пифагора. Получается, что

    \[DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{AB^2+BC^2-AD^2}=\sqrt{S^2+S^2-L_{min}^2}=\sqrt{2S^2-L_{min}^2}.\]

В свою очередь

    \[\upsilon_{_{otn}}=\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}.\]

Получаем окончательно, что искомое время равно

    \[t=\frac{DC}{\upsilon_{_{otn}}}=\frac{\sqrt{2S^2-L_{min}^2}}{\sqrt{\upsilon_1^2+\upsilon_2^2}}=19.\]

Ответ: 19 с.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *