Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Отбор корней двойным неравенством в задаче 13 профильного ЕГЭ

В этой статье научимся отбирать корни в задании 13 ЕГЭ с помощью двойного неравенства. Решать сами уравнения здесь не будем, только подробно разберем отбор корней.

Задача 1. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: \frac{\pi}{4}+\pi k. Отбор нужно произвести на отрезке [-\pi; 2\pi]. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны -\pi, и меньше или равны 2\pi. Запишем это двойным неравенством:

    \[-\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+\pi k \leqslant 2\pi\]

Перенесем дробь \frac{\pi}{4} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant \pi k \leqslant 2\pi -\frac{\pi}{4}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-1-\frac{1}{4}\leqslant k \leqslant 2 -\frac{1}{4}\]

Упростим:

    \[-\frac{5}{4}\leqslant k \leqslant \frac{7}{4}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{5}{4};\frac{7}{4}]. Очевидно, что подойдут значения k=-1, k=0, k=1. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (-1)=- \frac{3\pi}{4}\]

    \[\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{4}\]

    \[\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (1)= \frac{5\pi}{4}\]

Ответ: б) - \frac{3\pi}{4};  \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}

Задача 2. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: \frac{\pi}{3}+2\pi k. Отбор нужно произвести на отрезке [-\frac{5\pi}{2}; \pi]. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны -\frac{5\pi}{2}, и меньше или равны \pi. Запишем это двойным неравенством:

    \[-\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \pi\]

Перенесем дробь \frac{\pi}{3} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \pi -\frac{\pi}{3}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-\frac{5}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant 1 -\frac{1}{3}\]

Упростим:

    \[\frac{-15-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{2}{3}\]

    \[\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{1}{3}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{17}{12};\frac{1}{3}]. Очевидно, что подойдут значения k=-1, k=0. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}\]

    \[\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}\]

Ответ: б) - \frac{5\pi}{3};  \frac{\pi}{3}

Задача 3. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: \pm \frac{\pi}{3}+2\pi k; \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k. Отбор нужно произвести на отрезке [-\frac{7\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны -\frac{7\pi}{2}, и меньше или равны \frac{3\pi}{2}. Запишем это двойным неравенством для корня \frac{\pi}{3}+2\pi k:

    \[-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}\]

Перенесем дробь \frac{\pi}{3} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\frac{7\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{\pi}{3}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-\frac{7}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{1}{3}\]

Упростим:

    \[\frac{-21-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-2}{6}\]

    \[\frac{-23}{12}\leqslant k \leqslant \frac{7}{12}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{23}{12};\frac{7}{12}]. Очевидно, что подойдут значения k=-1, k=0. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}\]

    \[\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}\]

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

    \[-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}\]

Перенесем дробь \frac{\pi}{3} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{\pi}{3}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{1}{3}\]

Упростим:

    \[\frac{-21+2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+2}{6}\]

    \[\frac{-19}{12}\leqslant k \leqslant \frac{11}{12}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{19}{12};\frac{11}{12}]. Очевидно, что подойдут значения k=-1, k=0. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{7\pi}{3}\]

    \[-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{\pi}{3}\]

Берем вторую серию корней и повторяем все действия:

    \[-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}\]

Перенесем дробь \frac{2\pi}{3} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\frac{7\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{2\pi}{3}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-\frac{7}{2}-\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{2}{3}\]

Упростим:

    \[\frac{-21-4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-4}{6}\]

    \[\frac{-25}{12}\leqslant k \leqslant \frac{5}{12}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{25}{12};\frac{5}{12}]. Очевидно, что подойдут значенияk=-2, k=-1, k=0. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-2)=- \frac{10\pi}{3}\]

    \[\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{4\pi}{3}\]

    \[\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{2\pi}{3}\]

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

    \[-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}\]

Перенесем дробь \frac{2\pi}{3} вправо и влево через знак неравенства:

    \[-\frac{7\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{2\pi}{3}\]

Разделим все неравенство на \pi:

    \[-\frac{7}{2}+\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{2}{3}\]

Упростим:

    \[\frac{-21+4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+4}{6}\]

    \[\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{13}{12}\]

Теперь подбором определим целые значения k, оказавшиеся в промежутке [-\frac{17}{12};\frac{13}{12}]. Очевидно, что подойдут значения k=-1, k=0, k=1. Осталось подставить найденные нами значения k в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

    \[-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{8\pi}{3}\]

    \[-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{2\pi}{3}\]

    \[-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (1)=- \frac{4\pi}{3}\]

Ответ: б) - \frac{10\pi}{3};  - \frac{8\pi}{3}; - \frac{7\pi}{3}; - \frac{5\pi}{3}; - \frac{4\pi}{3}; - \frac{2\pi}{3}; - \frac{\pi}{3};  \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}.

Таким образом, отбор двойным неравенством наиболее рационален тогда, когда промежуток длинный (больше трех четвертей круга) и решений, полученных в пункте а) не более двух. Иначе, при отборе для 4-х решений, как в задаче 3, расчетов уже получается много. Тем не менее любители алгебраизировать отбор очень любят этот способ и предпочитают его отбору на окружности.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *