Отбор корней двойным неравенством в задаче 13 профильного ЕГЭ

В этой статье научимся отбирать корни в задании 13 ЕГЭ с помощью двойного неравенства. Решать сами уравнения здесь не будем, только подробно разберем отбор корней.

Задача 1. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{4}+\pi k$ . Отбор нужно произвести на отрезке $[-\pi; 2\pi]$ . Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\pi$ , и меньше или равны $2\pi$ . Запишем это двойным неравенством:

$-\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+\pi k \leqslant 2\pi$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{4}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant \pi k \leqslant 2\pi -\frac{\pi}{4}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-1-\frac{1}{4}\leqslant k \leqslant 2 -\frac{1}{4}$

Упростим:

$-\frac{5}{4}\leqslant k \leqslant \frac{7}{4}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{5}{4};\frac{7}{4}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-1$ , $k=0$ , $k=1$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (-1)=- \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (1)= \frac{5\pi}{4}$

Ответ: б) $- \frac{3\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$

Задача 2. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{3}+2\pi k$ . Отбор нужно произвести на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; \pi]$ . Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\frac{5\pi}{2}$ , и меньше или равны $\pi$ . Запишем это двойным неравенством:

$-\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \pi$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \pi -\frac{\pi}{3}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-\frac{5}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant 1 -\frac{1}{3}$

Упростим:

$\frac{-15-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{2}{3}$

$\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{1}{3}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{17}{12};\frac{1}{3}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-1$ , $k=0$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}$

Ответ: б) $- \frac{5\pi}{3}; \frac{\pi}{3}$

Задача 3. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k; \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k$ . Отбор нужно произвести на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ . Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\frac{7\pi}{2}$ , и меньше или равны $\frac{3\pi}{2}$ . Запишем это двойным неравенством для корня $\frac{\pi}{3}+2\pi k$ :

$-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\frac{7\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{\pi}{3}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-\frac{7}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{1}{3}$

Упростим:

$\frac{-21-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-2}{6}$

$\frac{-23}{12}\leqslant k \leqslant \frac{7}{12}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{23}{12};\frac{7}{12}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-1$ , $k=0$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}$

$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}$

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

$-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{\pi}{3}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{1}{3}$

Упростим:

$\frac{-21+2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+2}{6}$

$\frac{-19}{12}\leqslant k \leqslant \frac{11}{12}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{19}{12};\frac{11}{12}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-1$ , $k=0$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{7\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{\pi}{3}$

Берем вторую серию корней и повторяем все действия:

$-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$

Перенесем дробь $\frac{2\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\frac{7\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{2\pi}{3}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-\frac{7}{2}-\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{2}{3}$

Упростим:

$\frac{-21-4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-4}{6}$

$\frac{-25}{12}\leqslant k \leqslant \frac{5}{12}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{25}{12};\frac{5}{12}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-2$ , $k=-1$ , $k=0$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-2)=- \frac{10\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{4\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{2\pi}{3}$

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

$-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$

Перенесем дробь $\frac{2\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$-\frac{7\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{2\pi}{3}$

Разделим все неравенство на $\pi$ :

$-\frac{7}{2}+\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{2}{3}$

Упростим:

$\frac{-21+4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+4}{6}$

$\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{13}{12}$

Теперь подбором определим целые значения $k$ , оказавшиеся в промежутке $[-\frac{17}{12};\frac{13}{12}]$ . Очевидно, что подойдут значения $k=-1$ , $k=0$ , $k=1$ . Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{8\pi}{3}$

$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{2\pi}{3}$

$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (1)=- \frac{4\pi}{3}$

Ответ: б) $- \frac{10\pi}{3}; - \frac{8\pi}{3}; - \frac{7\pi}{3}; - \frac{5\pi}{3}; - \frac{4\pi}{3}; - \frac{2\pi}{3}; - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$ .

Таким образом, отбор двойным неравенством наиболее рационален тогда, когда промежуток длинный (больше трех четвертей круга) и решений, полученных в пункте а) не более двух. Иначе, при отборе для 4-х решений, как в задаче 3, расчетов уже получается много. Тем не менее любители алгебраизировать отбор очень любят этот способ и предпочитают его отбору на окружности.

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Сен
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Отбор корней двойным неравенством в задаче 13 профильного ЕГЭ

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь