Отбор корней двойным неравенством в задаче 13 профильного ЕГЭ

[latexpage]

В этой статье научимся отбирать корни в задании 13 ЕГЭ с помощью двойного неравенства. Решать сами уравнения здесь не будем, только подробно разберем отбор корней.

Задача 1. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{4}+\pi k$. Отбор нужно произвести на отрезке $[-\pi; 2\pi]$. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\pi$, и меньше или равны $2\pi$. Запишем это двойным неравенством:

$$-\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+\pi k \leqslant 2\pi $$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{4}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\pi-\frac{\pi}{4}\leqslant \pi k \leqslant 2\pi -\frac{\pi}{4}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-1-\frac{1}{4}\leqslant k \leqslant 2 -\frac{1}{4}$$

Упростим:

$$-\frac{5}{4}\leqslant k \leqslant \frac{7}{4}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{5}{4};\frac{7}{4}]$. Очевидно, что подойдут значения $k=-1$, $k=0$, $k=1$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (-1)=- \frac{3\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{4}+\pi \cdot (1)= \frac{5\pi}{4}$$

Ответ: б) $- \frac{3\pi}{4};  \frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}$

Задача 2. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\frac{\pi}{3}+2\pi k$. Отбор нужно произвести на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; \pi]$. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\frac{5\pi}{2}$, и меньше или равны $\pi$. Запишем это двойным неравенством:

$$-\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \pi $$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\frac{5\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \pi -\frac{\pi}{3}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-\frac{5}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant 1 -\frac{1}{3}$$

Упростим:

$$\frac{-15-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{2}{3}$$

$$\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{1}{3}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{17}{12};\frac{1}{3}]$. Очевидно, что подойдут значения $k=-1$, $k=0$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}$$

Ответ: б) $- \frac{5\pi}{3};  \frac{\pi}{3}$

Задача 3. Предположим, вы решили тригонометрическое уравнение и ваш ответ на пункт а) такой: $\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k; \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k$. Отбор нужно произвести на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. Таким образом, точки, которые мы отберем, больше или равны $-\frac{7\pi}{2}$, и меньше или равны $\frac{3\pi}{2}$. Запишем это двойным неравенством для корня $\frac{\pi}{3}+2\pi k$:

$$-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\frac{7\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{\pi}{3}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-\frac{7}{2}-\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{1}{3}$$

Упростим:

$$\frac{-21-2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-2}{6}$$

$$\frac{-23}{12}\leqslant k \leqslant \frac{7}{12}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{23}{12};\frac{7}{12}]$. Очевидно, что подойдут значения $k=-1$, $k=0$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{5\pi}{3}$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{\pi}{3}$$

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

$$-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$$

Перенесем дробь $\frac{\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\frac{7\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{\pi}{3}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-\frac{7}{2}+\frac{1}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{1}{3}$$

Упростим:

$$\frac{-21+2}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+2}{6}$$

$$\frac{-19}{12}\leqslant k \leqslant \frac{11}{12}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{19}{12};\frac{11}{12}]$. Очевидно, что подойдут значения $k=-1$, $k=0$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{7\pi}{3}$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{\pi}{3}$$

Берем вторую серию корней и повторяем все действия:

$$-\frac{7\pi}{2}\leqslant \frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$$

Перенесем дробь $\frac{2\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\frac{7\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} -\frac{2\pi}{3}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-\frac{7}{2}-\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} -\frac{2}{3}$$

Упростим:

$$\frac{-21-4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9-4}{6}$$

$$\frac{-25}{12}\leqslant k \leqslant \frac{5}{12}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{25}{12};\frac{5}{12}]$. Очевидно, что подойдут значения$k=-2$, $k=-1$, $k=0$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-2)=- \frac{10\pi}{3}$$

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{4\pi}{3}$$

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)= \frac{2\pi}{3}$$

Теперь берем второй корень из серии и проделываем для него то же самое: снова составляем двойное неравенство

$$-\frac{7\pi}{2}\leqslant -\frac{2\pi}{3}+2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2}$$

Перенесем дробь $\frac{2\pi}{3}$ вправо и влево через знак неравенства:

$$-\frac{7\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}\leqslant 2\pi k \leqslant \frac{3\pi}{2} +\frac{2\pi}{3}$$

Разделим все неравенство на $\pi$:

$$-\frac{7}{2}+\frac{2}{3}\leqslant 2k \leqslant \frac{3}{2} +\frac{2}{3}$$

Упростим:

$$\frac{-21+4}{6}\leqslant 2k \leqslant \frac{9+4}{6}$$

$$\frac{-17}{12}\leqslant k \leqslant \frac{13}{12}$$

Теперь подбором определим целые значения $k$, оказавшиеся в промежутке $[-\frac{17}{12};\frac{13}{12}]$. Очевидно, что подойдут значения $k=-1$, $k=0$, $k=1$. Осталось подставить найденные нами значения $k$ в решение пункта а), чтобы получить решения пункта б):

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (-1)=- \frac{8\pi}{3}$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (0)=- \frac{2\pi}{3}$$

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi \cdot (1)=- \frac{4\pi}{3}$$

Ответ: б) $- \frac{10\pi}{3};  – \frac{8\pi}{3}; – \frac{7\pi}{3}; – \frac{5\pi}{3}; – \frac{4\pi}{3}; – \frac{2\pi}{3}; – \frac{\pi}{3};  \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}$.

Таким образом, отбор двойным неравенством наиболее рационален тогда, когда промежуток длинный (больше трех четвертей круга) и решений, полученных в пункте а) не более двух. Иначе, при отборе для 4-х решений, как в задаче 3, расчетов уже получается много. Тем не менее любители алгебраизировать отбор очень любят этот способ и предпочитают его отбору на окружности.