Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Оптимальный выбор – 2: заводы и шахты

Продолжаю серию статей по задачам на оптимизацию. Сегодня – рабочие в шахтах, которые будут добывать алюминий и никель… Я предлагаю свое видение решения таких задач. Но всегда есть альтернатива.

Задача 1. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Решение. В первой области есть 160 рабочих, которые трудятся по 5 часов в сутки – всего 800 часов. Добывать в первой области нам все равно что – производительность одна и та же. Поэтому, так как 1 кг алюминия можно заменить никелем, добываем любой металл – без разницы. И добудем его всего 800\cdot 0,1=80 кг.

Во второй области рабочий ресурс у нас тот же – те же 800 часов. При этом известно, что

    \[x^2+y^2=800\]

Это уравнение имеет всего одно решение в целых числах, но мы притворимся, что не знаем, какое оно. Чего нам надо добиться? Сделать сумму x+y максимальной. Поэтому выразим, например, y, и подставим в эту сумму:

    \[y=\sqrt{800-x^2}\]

    \[S=x+y=x+\sqrt{800-x^2}\]

Чтобы найти экстремум, нужно взять производную и приравнять ее к нулю:

    \[S'=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{800-x^2}}\cdot (-2x)=0\]

    \[S'=1-\frac{x}{\sqrt{800-x^2}}=\frac{\sqrt{800-x^2}-x}{\sqrt{800-x^2}}=0\]

    \[\sqrt{800-x^2}-x=0\]

    \[800-x^2=x^2\]

    \[x=20\]

    \[y=20\]

Таким образом, во второй области будут добыты 40 кг обоих металлов в сумме, а всего в двух областях будет добыто 120 кг металла.
Ответ: 120 кг.

Задача 2. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Заметим, что в первой шахте выгоднее добывать никель, а во второй – алюминий. Поэтому на первой всех рабочих бросаем на добычу никеля, и 20 рабочих за 5 часов (всего 100 человеко-часов) добудут 200 кг никеля.

По условию, на каждый килограмм никеля в сплаве должно приходиться 2 кг алюминия. Поэтому, чтобы соблюсти это отношение, нужно добыть 400 кг алюминия. Это могут сделать

    \[\frac{400}{2\cdot 5}=40\]

40 рабочих.

Остается 60 свободных человек (это 300 человеко-часов), которых надо распределить так, чтобы массы добытых металлов относились как 2:1 – то есть поровну. Это позволит добыть 150\cdot 2=300 кг алюминия и 150 кг никеля. В итоге всего будет добыто 200+150=350 кг никеля, и 400+300 кг алюминия – 1050 кг металлов.

Ответ: 1050 кг.

Задача 3. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Опять видим, что в первой шахте выгоднее добывать никель, а во второй – алюминий. Поэтому, так как число рабочих в первой шахте меньше, то всех их направим на более выгодную добычу – на никель. За 5 часов (300 человеко-часов) будет добыто 900 кг никеля. Тогда на уже имеющийся добытый никель необходимо во второй шахте добыть 1800 кг алюминия. На это надо бросить 120 человек, и за 5 часов они обеспечат добычу 1800 кг алюминия.

Остаются незанятыми 140 человек, которых надо распределить на добычу никеля и алюминия так, чтобы количества добытых металлов относились как 2:1. В этой шахте при добыче  отношение количеств металлов 3:2. То есть нам надо изменить имеющееся отношение 3:2 на 2:1 с помощью распределения числа рабочих. Если x из них будет добывать алюминий, а y – никель, то

    \[\frac{2}{1}=\frac{3}{2}\cdot \frac{x}{y}\]

Откуда ясно, что

    \[\frac{x}{y}=\frac{4}{3}\]

То есть 140 рабочих делим на 7 частей, 4 из которых отправляем на алюминий, а три-  на никель. Число рабочих, брошенных на алюминий, будет равно 80, и они добудут за 5 часов 80\cdot 5\cdot 3=1200 кг алюминия. Число рабочих, брошенных на никель, равно 60, и они добудут 60\cdot 5\cdot 2=600 кг никеля. Итого: никеля добыто 900+600=1500 кг, алюминия – 1800+1200=3000 кг. Соотношение количеств выполнено. Так как мы добывали максимально возможное количество металла, ориентируясь на наиболее выгодные условия – это максимальное возможное количество.

Ответ: 4500 кг.

 

Задача 4. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. В первой области количества добываемых металлов одинаковы, поэтому, поскольку металлы еще и взаимозаменяемы, то добывать все равно что. Пусть будет алюминий. Можно обеспечить добычу

    \[20\cdot 10\cdot 0,2=40\]

кг металла. Это максимум.

Во второй области можно добыть x+y кг металлов. Надо добиться, чтобы эта сумма была максимальной. При этом известно, что

    \[x^2+y^2=200\]

Единственное решение в целых числах – x=10, y=10. Но вы можете проверить это, выразив x через y и взяв производную:

    \[x=\sqrt{200-y^2}\]

    \[S=x+y=y+\sqrt{200-y^2}\]

Чтобы найти экстремум, нужно взять производную и приравнять ее к нулю:

    \[S'=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{200-y^2}}\cdot (-2y)=0\]

    \[S'=1-\frac{y}{\sqrt{200-y^2}}=\frac{\sqrt{200-y^2}-x}{\sqrt{200-y^2}}=0\]

    \[\sqrt{200-y^2}-y=0\]

    \[200-y^2=y^2\]

    \[y=10\]

    \[x=10\]

Будет добыто 10 кг алюминия и 10 – никеля. Всего добыто металла – 60 кг в обеих областях.

Ответ: 60 кг
Задача 5. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Эта задача отличается от предыдущей тем, что для сплава нужно определенное соотношение количеств металлов разных типов. Но алюминия нужно больше. Поэтому всех рабочих первой области отправим на добычу алюминия. Его там добудут: 20\cdot 10 \cdot 0,1=20 кг. Как мы выяснили из прошлой задачи, x=10 и y=10 – там то же условие. Понятно, что во второй области будет добыто по 10 кг обоих металлов, и таким образом мы получим 30 кг алюминия и 10 никеля – как раз нужное отношение количеств.

Ответ: 40 кг.

 

Задача 6. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. Заменить один металл другим здесь нельзя: их нужно именно поровну добыть. В первой шахте выгоднее добывать алюминий. Но эту задачу я бы начала решать со второй шахты. Там есть 100\cdot 10=1000 человеко-часов, и если x^2+y^2=1000, то либо x=10, y=30, либо наоборот, x=30, y=10. Наверное, с учетом того, что в первой шахте выгоднее добывать алюминий и его можно поставить больше, то здесь бросим максимум на никель, то есть x=10, y=30. Будет добыто алюминия 10 кг, никеля – 30 кг. Эти два количества металлов надо обеспечить такими же количествами их «пар». Для этого берем 10 человек в первой области и отправляем их добывать алюминий – они его добудут 10\cdot 10\cdot 0,3=30 кг, и берем еще 10 человек и отправляем их на никель – они его добудут 10\cdot 10\cdot 0,1=10 кг. Теперь выполнено соотношение 1:1 в отношении уже добытого. Остается 80 человек. Надо распределить их так, чтобы при соотношении добываемых металлов 3:1 окончательные количества были бы равны.

Если x из них будет добывать алюминий, а y – никель, то

 

    \[\frac{1}{1}=\frac{3}{1}\cdot \frac{x}{y}\]

Откуда ясно, что

    \[\frac{x}{y}=\frac{1}{3}\]

Значит, делим наших рабочих на 4 группы (по 20 человек), одна будет добывать алюминий, а три (60 человек) – никель. Будет добыто

    \[20\cdot 10\cdot 0,3= 60\]

кг алюминия и

    \[60\cdot10\cdot0,1=60\]

кг никеля.

При такой схеме добычи, являющейся оптимальной, потому что все возможности использованы по максимуму, будет всего добыто 200 кг металла.

Ответ: 200 кг.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *