Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (15)

Оптимальный выбор -1

Рассмотрим несколько задач на оптимальный выбор, одна из которых – новая, появившаяся только в этом году.

Задача 1. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере t_0 рублей за единицу товара. После того как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог в два с половиной раза (до 2,5t_0) сумма налоговых поступлений не изменилась.

На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном t рублей за единицу товара объём производства товара составляет 10000-2t единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе?

Решение.

Если объем производства равен V=10000-2t, то сумма налога, который будет уплачен государству, равна t\cdot V. Чем больше объем – тем больше налог. Или эта сумма равна

    \[S=10000t-2t^2\]

Определим, когда эта сумма максимальна. Эта функция – парабола с ветвями вниз. Максимум ее расположен в вершине. Также нам известно, что эта функция принимает одинаковые значения в точках t_0 и 2,5t_0. Значит, эти точки расположены симметрично от вершины. Определим ее координату:

    \[\frac{2,5t_0+t_0}{2}=1,75t_0\]

То есть государству нужно снизить налоговую ставку. Посмотрим, на сколько:

1,75t_0 составляет 70% от 2,5t_0, значит, надо снизить налоговую ставку на 30%.

Ответ: 30%.

Задача 2. Бригаду из 50 рабочих нужно разделить на 2 объекта. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 100p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 50p+100 руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придется заплатить за сутки всем рабочим?

Решение. Пусть на первый объект идут x рабочих, а на второй – y. Тогда полная сумма, которую следует заплатить рабочим, равна S=100x^2+(50y+100)y рублей. Давайте минимизируем ее. Для этого выразим x через y, ведь нам известно, что

    \[x+y=50\]

Тогда

    \[x=50-y\]

И

    \[S=100(50-y)^2+(50y+100)y=100(2500-100y+y^2)+50y^2+100y=150y^2-9900y+250000\]

Берем производную:

    \[S'=300y-9900\]

И приравниваем ее к нулю:

    \[300y-9900=0\]

    \[y=33\]

Тогда x=17.

Ответ: 17 рабочих на первый объект, 33 на второй.

Задача 3. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x^2+2x+6 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5x^2+2x+6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение. В среднем годовая прибыль должна быть большей или равной \frac{78}{3} млн, тогда через три года завод окупится. Запишем это:

    \[px-(0,5x^2+2x+6)\geqslant 26\]

    \[px-0,5x^2-2x-6\geqslant 26\]

    \[px-0,5x^2-2x-32\geqslant 0\]

    \[0,5x^2+2x -px +32\leqslant 0\]

    \[0,5x^2 +x(2-p) +32\leqslant 0\]

Эта функция – парабола, ветви ее направлены вверх, и минимум достигается в точке

    \[\frac{-b}{2a}=\frac{p-2}{1}=p-2\]

Подставим найденное значение в неравенство:

    \[0,5(p-2)^2 +(p-2)(2-p) +32\leqslant 0\]

    \[0,5(p-2)^2 -(p-2)^2 +32\leqslant 0\]

    \[-0,5(p-2)^2 \leqslant -32\]

    \[0,5(p-2)^2 \geqslant 32\]

    \[(p-2)^2 \geqslant 64\]

Или p\geqslant 10, p\leqslant -6. Отрицательные значения цены нас не интересуют, а из положительных наименьшее – 10.

Ответ: p=10.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *