Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Кулона

Определите два неизвестных заряда по силе их взаимодействия

В этой статье решим одну задачу из пособия Никуловой. Вот она.

Задача. После того, как два маленьких одинаковых заряженных шарика соединили тонким проводом и вновь разъединили, сила их кулоновского взаимодействия увеличилась в \frac{9}{4} раза. Одноименными или разноименными были заряды? Найдите отношение модуля большего заряда к модулю меньшего.

Решение: заметим, что шарики одинаковые, но первоначальные заряды на них – нет. А вот после того, как шарики соединят, заряды на них будут точно одноименными и равными. Пусть первоначальные заряды q_1 и q_2, а после рассоединения шариков заряды на них – q_3. Все это модули зарядов. Тогда

    \[F_1=\frac{kq_1q_2}{r^2}\]

    \[F_2=\frac{9}{4}F_1=\frac{kq_3^2}{r^2}\]

Тогда

    \[\frac{F_2}{F_1}=\frac{9}{4}=\frac{ q_3^2}{ q_1q_2}~~~~~~~~~~~~~(1)\]

    \[q_3=\frac{\mid q_1+q_2\mid}{2}\]

Если оба заряда положительны, то

    \[2q_3= q_1+q_2\]

И тогда

    \[9q_1q_2=4q_3^2\]

    \[q_1(2q_3-q_1)=\frac{4}{9}q_3^2\]

    \[q_1^2-2q_1q_3+\frac{4}{9}q_3^2=0\]

Получили квадратное уравнение относительно q_1. Его дискриминант:

    \[D=4q_3^3-4\cdot \frac{4}{9}q_3^2=\frac{20}{9}q_3^2\]

Корни

    \[q_1=\frac{2q_3\pm \frac{2\sqrt{5}}{3}q_3}{2}=q_3\pm \frac{\sqrt{5}}{3}q_3\]

Оба корня положительны, их сумма – 2q_3, если q_1= q_3+ \frac{\sqrt{5}}{3}q_3, то q_2= q_3-\frac{\sqrt{5}}{3}q_3. Отношение большего к меньшему

    \[\frac{q_1}{q_2}=\frac{ q_3+ \frac{\sqrt{5}}{3}q_3}{ q_3-\frac{\sqrt{5}}{3}q_3}=\frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}=\]

    \[=\frac{(3+\sqrt{5})^2}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{14+6\sqrt{5}}{4}=3,5+1,5\sqrt{5}\]

Если же заряды разноименные, и при этом q_1>q_2, то тогда получим:

    \[\frac{q_1-q_2}{2}=q_3\]

    \[q_1-q_2=2q_3\]

    \[q_2=q_1-2q_3\]

Из (1)

    \[9q_1( q_1-2q_3)=4q_3^2\]

    \[-18q_1q_3+9q_1^2=4q_3^2\]

    \[9q_1^2-18q_1q_3-4q_3^2=0\]

    \[\frac{D}{4}=81q_3^2+36q_3^3=117q_3^2\]

Корни

    \[q_1=\frac{9q_3\pm \sqrt{117}q_3}{9}=q_3\pm\frac{\sqrt{117}q_3}{9}\]

    \[q_1=(1\pm 1,2)q_3=2,2q_3\]

Тогда

    \[q_2=-0,2q_3\]

Отношение модулей тогда равно примерно 11.

Ответ: в случае одноименных зарядов отношение равно 3,5+1,5\sqrt{5}, а если заряды разноименные – то примерно 11.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *