Определение скоростей объектов в различных точках их траекторий

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с определением различных скоростей тел. При этом, в том числе, будем пользоваться понятием истинная аномалия. Это всего лишь угол между радиус-вектором тела и направлением на перицентр орбиты. То есть, если тело находится в перицентре, то истинная аномалия – ноль градусов, а если в апоцентре – то . По тому, на сколько отличается скорость тела от вычисленной для него параболической или круговой скорости, можно судить о форме орбиты: если скорость меньше параболической, но приближается к ней по значению, форма орбиты – сильно вытянутый эллипс с большим эксцентриситетом. Если скорость достаточно близка к круговой – то и форма орбиты почти круговая или с очень небольшим эксцентриситетом.

В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы относительно тела большей массы , принимаемого за неподвижное и называемого центральным телом.

Линейная скорость движущегося тела относительно центрального   определяется   интегралом   энергии

   

где , — большая полуось орбиты тела меньшей массы, — радиус-вектор того же тела, — гравитационная постоянная.

Если масса движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда .

Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет ) радиусом , оно должно на этом расстоянии иметь скорость

   

называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела, она может быть также подсчитана по периоду обращения и большой полуоси орбиты тела:

   

Если движущееся тело на расстоянии от центрального тела имеет скорость

   

то орбитой будет парабола (, ). Поэтому скорость называется параболической.

Если , то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе ().

В каждой точке орбиты с радиус-вектором скорость тела

   

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, например, для Земли – апогей и перигей, для Луны – апоселений и периселений.

В перицентре, при , тело-спутник обладает наибольшей скоростью

   

а в апоцентре, при , — наименьшей   скоростью

   

 

Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических единицах, километрах или радиусах центрального тела. Поэтому в формулы необходимо подставлять значения расстояний в одинаковых единицах измерения.

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии , выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость (км/с)

   

Если расстояния заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круговая скорость (км/с)

   

 

Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость (км/с)

   

Средняя или круговая скорость тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью , вычисляется по тем же формулам с подстановкой в них .

Подстановка в последние формулы ( – радиус небесного тела) дает значение круговой скорости  у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость . Очевидно, что

   

   

где отсчитывается от центра небесного тела и выражается в его радиусах.

Третий обобщенный закон Кеплера

   

применим к любым системам тел с массами и , обращающихся с периодами и вокруг своих центральных тел (с массами и ) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны и .

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже – в массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит – в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения- в годах и сутках, а иногда – в часах и минутах.

При вычислениях по формуле закона Кеплера выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде

   

то решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.

Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния – в километрах и массы тел – в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

   

 

 

Задача 1. Чему равна круговая и параболическая скорость относительно Солнца на средних расстояниях Венеры (0,723 а. е.), Земли (1,00 а. е.), Юпитера (5,20 а. е.) и Плутона (39,5 а. е.)? По общим результатам найти и объяснить найденную закономерность. Расстояния планет от Солнца указаны в скобках.

Для Венеры

   

   

Для Земли

   

   

Для Юпитера

   

   

Для Плутона

   

   

Ответ: для Венеры круговая скорость равна 35,02 км/с, параболическая – 49,5 км/с; для Земли круговая 29,78 км/с, параболическая 42,11 км/с; для Юпитера круговая 13,06 км/с, параболическая 18,47 км/с; для Плутона круговая 4,74 км/с, параболическая 6,70 км/с. С удалением от Солнца скорость падает.

 

Задача 2. Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?

Скорость в перигелии можно вычислить по формуле:

   

Для Ахиллеса

   

Для Гектора

   

Скорость в афелии можно вычислить по формуле

   

Для Ахиллеса

   

Для Гектора

   

Так как

   

То среднее гелиоцентрическое расстояние равно

   

Ответ: для Ахиллеса скорость в перигелии 15,2 км/с, в афелии 11,2 км/с. Для Гектора скорость в перигелии 13,41 км/с, в афелии 12,7 км/с. Среднее гелиоцентрическое расстояние 5,48 а.е.

Задача 3. Большая полуось и эксцентриситет opбиты Меркурия равны 0,387 а. е. и 0,206, а орбиты Марса — 1,524 а. е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, их скорость в перигелии и в афелии.

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Меркурия:

   

   

Определим круговую скорость:

   

Определяем скорость в перигелии:

   

И скорость в афелии:

   

Теперь все то же проделаем для Марса:

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния:

   

   

Определим круговую скорость:

   

Определяем скорость в перигелии:

   

И скорость в афелии:

   

Ответ: для Меркурия км/с, км/с, км/с; для Марса км/c, км/с, км/c.

 

Задача 4. Считая орбиты планет круговыми и лежащими в плоскости эклиптики, найти лучевую скорость Меркурия, Венеры и Марса во время их основных конфигураций. Необходимые для решения данные заимствовать из задач 1 и 3. (Лучевой скоростью называется проекция пространственной скорости на луч зрения наблюдателя, т. е. в данном случае на направление от Земли к планете.)

Для Венеры и Меркурия основной конфигурацией будет нижнее соединение, так как это внутренние планеты. Также можно рассмотреть восточную и западную элонгации. Для Марса, который является внешней планетой, можно рассмотреть противостояние и обе квадратуры, восточную и западную.

Лучевая скорость во всех случаях, когда планеты расположены радиально, равна нулю: это соединения и противостояния. При элонгациях лучевую скорость можно найти как разность круговой скорости планеты и проекции скорости земли на линию, соединяющую планеты. Это хорошо поясняет рисунок ниже.

 

Для Венеры круговая скорость– 35,02 км/c, для Меркурия – 47,87 км/с.

Определим косинус угла для Меркурия:

   

Определим косинус угла для Венеры:

   

Проекция скорости земли на линию, соединяющую планеты, будет равна

   

 

Определяем проекцию скорости Земли на линию, соединяющую планеты, для Меркурия:

   

Для Венеры:

   

Таким образом, лучевая скорость Меркурия в элонгациях

   

Лучевая скорость Венеры в элонгациях:

   

 

Примерно так же обстоит дело с квадратурами. Чтобы определить скорость планеты в квадратурах – а она будет одинакова и для западной, и для восточной квадратуры, надо найти проекцию круговой скорости планеты на линию, соединяющую обе планеты.

Определим для этого из треугольника расстояний между планетами и Солнцем:

   

Тогда проекция скорости Марса равна

   

Таким образом, лучевая скорость Марса в квадратурах

   

Ответ: лучевые скорости внутренних планет в соединениях равны 0, в элонгациях для Меркурия – 20,41 км/с, для Венеры – 14,45 км/с . Для внешних планет лучевые скорости в противостояниях равны 0, в квадратуре для Марса лучевая скорость равна 13,97 км/с.

 

Задача 5. Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, перигельном и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты первого астероида равны 2,73 а. е. и 0,078, а второго— 1,97 а. е. и 0,778.

Сначала сделаем расчет для Лидии, а затем повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

   

Перигельное расстояние:

   

Рассчитываем афелийное расстояние:

   

Скорость в перигелии:

   

И скорость в афелии:

   

Круговая скорость Лидии на среднем гелиоцентрическом расстоянии км/с, параболическая скорость на этом расстоянии км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

   

Параболическая скорость:

   

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

   

Параболическая скорость:

   

Повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

   

Перигельное расстояние:

   

Рассчитываем афелийное расстояние:

   

Скорость в перигелии:

   

И скорость в афелии:

   

Круговая скорость Адониса на среднем гелиоцентрическом расстоянии км/с, параболическая скорость на этом расстоянии км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

   

Параболическая скорость:

   

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

   

Параболическая скорость:

   

Ответ: Лидия: круговая скорость 18,02 км/с, в перигелии 19,27 км/с, в афелии 16,85 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 18,02 км/с, в перигелии 18,57 км/с, в афелии 17,36 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 25,38 км/с, в перигелии 26,2 км/с, в афелии 24,49 км/с.

Адонис:  круговая скорость 21,21 км/с, в перигелии 60,51 км/с, в афелии 7,43 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 21,21 км/с, в перигелии 45,4 км/с, в афелии 15,92 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 29,9 км/с, в перигелии 64,03 км/с, в афелии 22,44 км/с.

 

Задача 6. На каких гелиоцентрических расстояниях скорость Меркурия равна 56,1 км/с и 41,7 км/с? Большая полуось орбиты планеты 0,387 а. е.

Сначала определим круговую скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии:

   

Теперь воспользуемся формулой

   

Из нее следует, что

   

Теперь подставим в нее числовые значения скоростей и определим оба расстояния:

   

   

Ответ: а.е., а.е.

 

Задача 7. С какой скоростью относительно Солнца проходил Марс в эпоху великого противостояния при геоцентрическом расстоянии в км? Сопоставить эту скорость с круговой и параболической скоростью на том же расстоянии от Солнца. Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.

Рассчитываем круговую скорость:

   

Рассчитаем скорость прохождения:

   

Переведем расстояние между Землей и Марсом в астрономические единицы: а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до Марса в этот момент а.е.

Определим круговую скорость на этом расстоянии

   

Определим параболическую скорость:

   

Ответ: скорость прохождения Марса 26,46 км/с. Это больше круговой скорости (25,3 км/с) и меньше параболической (35,74 км/с).

 

 

Задача 8. Решить предыдущую задачу для астероида Эрота, если он в эпоху великого противостояния проходил свой перигелий 23 января 1975 г. на расстоянии км от Земли. Период обращения Эрота вокруг Солнца равен 1,76 года.

Так как сказано, что астероид находился в противостоянии, то его гелиоцентрическое расстояние, очевидно, больше, чем у Земли.

Переведем расстояние между Землей и астероидом в астрономические единицы: а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до астероида в этот момент а.е.

Определим большую полуось орбиты по закону Кеплера:

   

Определим круговую скорость на этом расстоянии

   

Рассчитаем скорость прохождения:

   

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

   

Определим параболическую скорость:

   

Ответ: скорость прохождения 30,55 км/с, круговая скорость 27,75 км/c, параболическая 39,1 км/с.

 

Задача 9. На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если ее скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической орбите?

Зная параболическую скорость, определим круговую на этом расстоянии:

   

Откуда расстояние прохождения

   

Ответ: 0,417 а.е.

Задача 10. Комета 1931 IV прошла свой перигелий на расстоянии 0,07 а. е. от Солнца со скоростью 160 км/с, а комета 1945 II —на расстоянии 1,24 а. е. со скоростью 36,5 км/с. Определить род орбит, по которым двигались эти кометы и установить, вернутся ли они к Солнцу и когда именно.

Комета 1931 IV:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

   

Определим параболическую скорость:

   

Так как параболическая скорость меньше той, которую имела комета, то траектория – парабола и комета более к Солнцу не вернется.

Комета 1945 II:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

   

Определим параболическую скорость:

   

Так как скорость кометы меньше, чем параболическая, то траектория – эллипс. Определим большую полуось с помощью формулы:

   

Откуда

   

Зная большую полуось, определим период обращения по закону Кеплера:

   

Ответ: первая комета имеет параболическую траекторию и не вернется к Солнцу, вторая вернется через 27 лет, траектория – эллипс.

 

Задача 11. Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298 года, а его скорость в перигелии — 20,48 км/с. Чему равны сидерический период обращения астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, перигельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии и в афелии?

По формуле

   

Определим сидерический период :

   

Теперь можно найти большую полуось орбиты, а.е.:

   

Круговую скорость найдем, зная большую полуось:

   

Скорость в перигелии дает возможность найти перигельное расстояние:

   

Из этой формулы следует, что

   

Тогда можно определить эксцентриситет:

   

Далее можно найти афелийное расстояние:

   

Скорость в афелии:

   

Ответ: сидерический период –  4,356 года, большая полуось – 2,667 а.е., эксцентриситет – 0,116, перигелий – 2,358 а.е., афелий – 2,976 а.е., скорость на среднем расстоянии км/с, скорость в афелии 16,22 км/c.

 

Задача 12. Эксцентриситет орбиты астероида Узбекистании равен 0,092, а его скорость в афелии— 15,21 км/с. Найти большую полуось орбиты астероида, его звездный и синодический периоды обращения, скорость в перигелии и при истинной аномалии в и.

По скорости в афелии и эксцентриситету найдем круговую скорость на среднем расстоянии:

   

   

Теперь найдем большую полуось:

   

Синодический период

   

Звездный период:

   

   

Или 443 дня.

Перигельное расстояние:

   

Скорость в перигелии

   

Для определения скоростей в точках с указанными истинными аномалиями найдем расстояния до этих точек:

   

При :

   

При :

   

При :

   

Определяем скорости: