Определение скоростей объектов в различных точках их траекторий

[latexpage]

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с определением различных скоростей тел. При этом, в том числе, будем пользоваться понятием истинная аномалия. Это всего лишь угол между радиус-вектором тела и направлением на перицентр орбиты. То есть, если тело находится в перицентре, то истинная аномалия – ноль градусов, а если в апоцентре – то $180^{\circ}$. По тому, на сколько отличается скорость тела от вычисленной для него параболической или круговой скорости, можно судить о форме орбиты: если скорость меньше параболической, но приближается к ней по значению, форма орбиты – сильно вытянутый эллипс с большим эксцентриситетом. Если скорость достаточно близка к круговой – то и форма орбиты почти круговая или с очень небольшим эксцентриситетом.

В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы $m$ относительно тела большей массы $M$, принимаемого за неподвижное и называемого центральным телом.

Линейная скорость $\upsilon$ движущегося тела относительно центрального   определяется   интегралом   энергии

$$\upsilon^2=\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$

где $\mu=G(Μ+m)$, $a$ — большая полуось орбиты тела меньшей массы, $r$ — радиус-вектор того же тела, $G$ — гравитационная постоянная.

Если масса $m$ движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой $M$ центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда $\mu=GM$.

Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет $\varepsilon=0$) радиусом $r=a$, оно должно на этом расстоянии иметь скорость

$$\upsilon_k=\sqrt{\frac{\mu}{a}}=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела, она может быть также подсчитана по периоду обращения $T$ и большой полуоси $a$ орбиты тела:

$$\upsilon_k=\frac{2\pi a}{T}$$

Если движущееся тело на расстоянии $r$ от центрального тела имеет скорость

$$\upsilon_p=\sqrt{2}\upsilon_k=\sqrt{\frac{2\mu}{r}}$$

то орбитой будет парабола ($\varepsilon=1$, $a=\infty$). Поэтому скорость $\upsilon_p$ называется параболической.

Если $\upsilon>\upsilon_p$, то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе ($\varepsilon>1$).

В каждой точке орбиты с радиус-вектором $r$ скорость тела

$$\upsilon=\upsilon_a\sqrt{\frac{2a}{r}-1}$$

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, например, для Земли – апогей и перигей, для Луны – апоселений и периселений.

В перицентре, при $r= q = a(1—\varepsilon)$, тело-спутник обладает наибольшей скоростью

$$\upsilon_q=\upsilon_a\sqrt{\frac{Q}{q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}$$

а в апоцентре, при $r = Q = a (1 + \varepsilon)$, — наименьшей   скоростью

$$\upsilon_Q=\upsilon_a\sqrt{\frac{q}{Q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}$$

 

Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических единицах, километрах или радиусах центрального тела. Поэтому в формулы необходимо подставлять значения расстояний в одинаковых единицах измерения.

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии $r$, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость (км/с)

$$\upsilon_k=\frac{29,78}{ \sqrt{r}}$$

Если расстояния $r$ заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круговая скорость (км/с)

$$\upsilon_k=631,3 \sqrt{\frac{M}{r}}$$

 

Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость (км/с)

$$\upsilon_k=7,91 \sqrt{\frac{M}{r}}$$

Средняя или круговая скорость $\upsilon_a$ тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью $a$, вычисляется по тем же формулам с подстановкой в них $r=a$.

Подстановка в последние формулы $r = R$ ($R$ – радиус небесного тела) дает значение круговой скорости $\upsilon_{\mid}$  у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость $\upsilon_{\parallel}=\upsilon_{\mid}\sqrt{2}$. Очевидно, что

$$\upsilon_k=\frac{\upsilon_{\mid}}{\sqrt{r}}$$

$$\upsilon_p=\frac{\upsilon_{\parallel}}{\sqrt{r}}$$

где $r$ отсчитывается от центра небесного тела и выражается в его радиусах.

Третий обобщенный закон Кеплера

$$\frac{T_2^2}{T_1^2}\cdot\frac{M_2+m_2}{M_1+m_1}=\frac{a_2^3}{a_1^3}$$

применим к любым системам тел с массами $m_1$ и $m_2$, обращающихся с периодами $T_1$ и $T_2$ вокруг своих центральных тел (с массами $M_1$ и $M_2$) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны $a_1$ и $a_2$.

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже – в массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит – в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения- в годах и сутках, а иногда – в часах и минутах.

При вычислениях по формуле закона Кеплера выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде

$$\frac{T^2(M+m)}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G}$$

то решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.

Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния – в километрах и массы тел – в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

$$T^2 (М+m) = 132,7 \cdot 10^{-16} a^3$$

 

 

Задача 1. Чему равна круговая и параболическая скорость относительно Солнца на средних расстояниях Венеры (0,723 а. е.), Земли (1,00 а. е.), Юпитера (5,20 а. е.) и Плутона (39,5 а. е.)? По общим результатам найти и объяснить найденную закономерность. Расстояния планет от Солнца указаны в скобках.

Для Венеры

$$\upsilon_{k1}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_1}}=\frac{29,78}{ \sqrt{0,723}}=35,02$$

$$\upsilon_{p1}=\sqrt{2}\upsilon_{k1}=1,41\cdot35,02=49,5$$

Для Земли

$$\upsilon_{k2}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_2}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,00}}=29,78$$

$$\upsilon_{p2}=\sqrt{2}\upsilon_{k2}=1,41\cdot29,78=42,11$$

Для Юпитера

$$\upsilon_{k3}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_3}}=\frac{29,78}{ \sqrt{5,20}}=13,06$$

$$\upsilon_{p3}=\sqrt{2}\upsilon_{k3}=1,41\cdot13,06=18,47$$

Для Плутона

$$\upsilon_{k3}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_3}}=\frac{29,78}{ \sqrt{39,50}}=4,74$$

$$\upsilon_{p3}=\sqrt{2}\upsilon_{k3}=1,41\cdot4,74=6,70$$

Ответ: для Венеры круговая скорость равна 35,02 км/с, параболическая – 49,5 км/с; для Земли круговая 29,78 км/с, параболическая 42,11 км/с; для Юпитера круговая 13,06 км/с, параболическая 18,47 км/с; для Плутона круговая 4,74 км/с, параболическая 6,70 км/с. С удалением от Солнца скорость падает.

 

Задача 2. Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?

Скорость в перигелии можно вычислить по формуле:

$$\upsilon_q=\upsilon_a\sqrt{\frac{Q}{q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}$$

Для Ахиллеса

$$\upsilon_{qA}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=13,1\sqrt{\frac{1+0,148}{1-0,148}}=15,2$$

Для Гектора

$$\upsilon_{qG}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=13,1\sqrt{\frac{1+0,024}{1-0,024}}=13,41$$

Скорость в афелии можно вычислить по формуле

$$\upsilon_Q=\upsilon_a\sqrt{\frac{q}{Q}}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}$$

Для Ахиллеса

$$\upsilon_{qA}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}=13,1\sqrt{\frac{1-0,148}{1+0,148}}=11,2$$

Для Гектора

$$\upsilon_{qG}=\upsilon_a \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}=13,1\sqrt{\frac{1-0,024}{1+0,024}}=12,7$$

Так как

$$\upsilon_k=\frac{29,78}{ \sqrt{r}}$$

То среднее гелиоцентрическое расстояние равно

$$a=\left(\frac{29,78}{\upsilon_k }\right)^2=\left(\frac{29,78}{13,1}\right)^2=5,48$$

Ответ: для Ахиллеса скорость в перигелии 15,2 км/с, в афелии 11,2 км/с. Для Гектора скорость в перигелии 13,41 км/с, в афелии 12,7 км/с. Среднее гелиоцентрическое расстояние 5,48 а.е.

Задача 3. Большая полуось и эксцентриситет opбиты Меркурия равны 0,387 а. е. и 0,206, а орбиты Марса — 1,524 а. е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, их скорость в перигелии и в афелии.

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Меркурия:

$$q_1=a_1(1-\varepsilon_1)=0,387(1-0,206)=0,307$$

$$Q_1= a_1(1+\varepsilon_1)=0,387(1+0,206)=0,466$$

Определим круговую скорость:

$$\upsilon_{a1}=\frac{29,78}{ \sqrt{a_1}}=\frac{29,78}{ \sqrt{0,387}}=47,87$$

Определяем скорость в перигелии:

$$\upsilon_{q1}=\upsilon_{a1} \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=47,87\sqrt{\frac{1+0,206}{1-0,206}}=58,9$$

И скорость в афелии:

$$\upsilon_{Q1}=\upsilon_{a1} \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}=47,87\sqrt{\frac{1-0,206}{1+0,206}}=38,9$$

Теперь все то же проделаем для Марса:

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния:

$$q_2=a_2(1-\varepsilon_2)=1,524(1-0,093)=1,382$$

$$Q_2= a_2(1+\varepsilon_2)=1,524(1+0,093)=1,666$$

Определим круговую скорость:

$$\upsilon_{a2}=\frac{29,78}{ \sqrt{a_2}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,524}}=24,1$$

Определяем скорость в перигелии:

$$\upsilon_{q2}=\upsilon_{a2} \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=24,1\sqrt{\frac{1+0,093}{1-0,093}}=26,5$$

И скорость в афелии:

$$\upsilon_{Q2}=\upsilon_{a2} \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}=24,1\sqrt{\frac{1-0,093}{1+0,093}}=21,9$$

Ответ: для Меркурия $\upsilon_{a1}=47,87$ км/с, $\upsilon_{q1}=58,9$ км/с, $\upsilon_{Q1}=38,9$ км/с; для Марса $\upsilon_{a2}=24,1$ км/c, $\upsilon_{q2}=26,5$ км/с, $\upsilon_{Q2}=21,9$ км/c.

 

Задача 4. Считая орбиты планет круговыми и лежащими в плоскости эклиптики, найти лучевую скорость Меркурия, Венеры и Марса во время их основных конфигураций. Необходимые для решения данные заимствовать из задач 1 и 3. (Лучевой скоростью называется проекция пространственной скорости на луч зрения наблюдателя, т. е. в данном случае на направление от Земли к планете.)

Для Венеры и Меркурия основной конфигурацией будет нижнее соединение, так как это внутренние планеты. Также можно рассмотреть восточную и западную элонгации. Для Марса, который является внешней планетой, можно рассмотреть противостояние и обе квадратуры, восточную и западную.

Лучевая скорость во всех случаях, когда планеты расположены радиально, равна нулю: это соединения и противостояния. При элонгациях лучевую скорость можно найти как разность круговой скорости планеты и проекции скорости земли на линию, соединяющую планеты. Это хорошо поясняет рисунок ниже.

 

Для Венеры круговая скорость– 35,02 км/c, для Меркурия – 47,87 км/с.

Определим косинус угла $\alpha$ для Меркурия:

$$\cos{\alpha}=\frac{a_M}{a_Z}=\frac{0,387}{1}=0,387$$

Определим косинус угла $\alpha$ для Венеры:

$$\cos{\alpha}=\frac{a_V}{a_Z}=\frac{0,723}{1}=0,723$$

Проекция скорости земли на линию, соединяющую планеты, будет равна

$$\upsilon_{\alpha}=\upsilon_a\cdot\cos(90^{\circ}-\alpha)=\upsilon_a\cdot\sin{\alpha}$$

 

Определяем проекцию скорости Земли на линию, соединяющую планеты, для Меркурия:

$$\upsilon_{\alpha_1}=\upsilon_a\cdot\sin{\alpha_1}=29,78\cdot0,922=27,46$$

Для Венеры:

$$\upsilon_{\alpha_2}=\upsilon_a\cdot\sin{\alpha_2}=29,78\cdot0,922=20,57$$

Таким образом, лучевая скорость Меркурия в элонгациях

$$\upsilon_M=\upsilon_Z-\upsilon_{\alpha_1}=47,87-27,46=20,41$$

Лучевая скорость Венеры в элонгациях:

$$\upsilon_V=\upsilon_Z-\upsilon_{\alpha_2}=35,02-20,57=14,45$$

 

Примерно так же обстоит дело с квадратурами. Чтобы определить скорость планеты в квадратурах – а она будет одинакова и для западной, и для восточной квадратуры, надо найти проекцию круговой скорости планеты на линию, соединяющую обе планеты.

Определим для этого $\cos{\alpha}$ из треугольника расстояний между планетами и Солнцем:

$$\cos{\alpha}=\frac{a_Z}{a_M}=\frac{1}{1,524}=0,656$$

Тогда проекция скорости Марса равна

$$\upsilon_{\alpha}=\upsilon_a\cdot\cos{\alpha}=24,1\cdot0,656=15,8$$

Таким образом, лучевая скорость Марса в квадратурах

$$\upsilon=\upsilon_Z-\upsilon_{\alpha}=29,78-15,8=13,97$$

Ответ: лучевые скорости внутренних планет в соединениях равны 0, в элонгациях для Меркурия – 20,41 км/с, для Венеры – 14,45 км/с . Для внешних планет лучевые скорости в противостояниях равны 0, в квадратуре для Марса лучевая скорость равна 13,97 км/с.

 

Задача 5. Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, перигельном и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты первого астероида равны 2,73 а. е. и 0,078, а второго— 1,97 а. е. и 0,778.

Сначала сделаем расчет для Лидии, а затем повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

$$\upsilon_{k1}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_1}}=\frac{29,78}{ \sqrt{2,73}}=18,02$$

Перигельное расстояние:

$$q_1=a_1(1-\varepsilon_1)=2,73(1-0,078)=2,57$$

Рассчитываем афелийное расстояние:

$$Q_1=a_1(1+\varepsilon_1)=2,73(1+0,078)=2,94$$

Скорость в перигелии:

$$\upsilon_{q1}=\upsilon_{a1} \sqrt{\frac{1+\varepsilon_1}{1-\varepsilon_1}}=18,02\sqrt{\frac{1+0,078}{1-0,078}}=19,27$$

И скорость в афелии:

$$\upsilon_{Q1}=\upsilon_{a1} \sqrt{\frac{1-\varepsilon_1}{1+\varepsilon_1}}=18,02\sqrt{\frac{1-0,078}{1+0,078}}=16,85$$

Круговая скорость Лидии на среднем гелиоцентрическом расстоянии $\upsilon_{k1}=18,02$ км/с, параболическая скорость на этом расстоянии $\upsilon_{p1}=\upsilon_{k1}\cdot\sqrt{2}=25,38$ км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

$$\upsilon_{kq_1}=\frac{29,78}{\sqrt{q_1}}=18,57$$

Параболическая скорость:

$$\upsilon_{pq_1}=\upsilon_{kq_1}\cdot\sqrt{2}=26,2$$

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

$$\upsilon_{kQ_1}=\frac{29,78}{\sqrt{Q_1}}=17,36$$

Параболическая скорость:

$$\upsilon_{pQ_1}=\upsilon_{kQ_1}\cdot\sqrt{2}=24,49$$

Повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

$$\upsilon_{k2}=\frac{29,78}{ \sqrt{r_2}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,97}}=21,21$$

Перигельное расстояние:

$$q_2=a_2(1-\varepsilon_2)=1,97(1-0,778)=0,43$$

Рассчитываем афелийное расстояние:

$$Q_2=a_2(1+\varepsilon_2)=1,97(1+0,778)=3,5$$

Скорость в перигелии:

$$\upsilon_{q2}=\upsilon_{a2} \sqrt{\frac{1+\varepsilon_2}{1-\varepsilon_2}}=21,21\sqrt{\frac{1+0,778}{1-0,778}}=60,51$$

И скорость в афелии:

$$\upsilon_{Q2}=\upsilon_{a2} \sqrt{\frac{1-\varepsilon_2}{1+\varepsilon_2}}=21,21\sqrt{\frac{1-0,778}{1+0,778}}=7,43$$

Круговая скорость Адониса на среднем гелиоцентрическом расстоянии $\upsilon_{k2}=21,21$ км/с, параболическая скорость на этом расстоянии $\upsilon_{p2}=\upsilon_{k2}\cdot\sqrt{2}=29,9$ км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

$$\upsilon_{kq_2}=\frac{29,78}{\sqrt{q_2}}=45,4$$

Параболическая скорость:

$$\upsilon_{pq_2}=\upsilon_{kq_2}\cdot\sqrt{2}=64,03$$

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

$$\upsilon_{kQ_2}=\frac{29,78}{\sqrt{Q_2}}=15,92$$

Параболическая скорость:

$$\upsilon_{pQ_2}=\upsilon_{kQ_2}\cdot\sqrt{2}=22,44$$

Ответ: Лидия: круговая скорость 18,02 км/с, в перигелии 19,27 км/с, в афелии 16,85 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 18,02 км/с, в перигелии 18,57 км/с, в афелии 17,36 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 25,38 км/с, в перигелии 26,2 км/с, в афелии 24,49 км/с.

Адонис:  круговая скорость 21,21 км/с, в перигелии 60,51 км/с, в афелии 7,43 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 21,21 км/с, в перигелии 45,4 км/с, в афелии 15,92 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 29,9 км/с, в перигелии 64,03 км/с, в афелии 22,44 км/с.

 

Задача 6. На каких гелиоцентрических расстояниях скорость Меркурия равна 56,1 км/с и 41,7 км/с? Большая полуось орбиты планеты 0,387 а. е.

Сначала определим круговую скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии:

$$\upsilon_{k}=\frac{29,78}{ \sqrt{a}}=\frac{29,78}{ \sqrt{0,387}}=47,9$$

Теперь воспользуемся формулой

$$\upsilon=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r}-1}$$

Из нее следует, что

$$r=\frac{2a}{\left(\frac{\upsilon }{\upsilon_k}\right)^2+1}$$

Теперь подставим в нее числовые значения скоростей и определим оба расстояния:

$$r_1=\frac{2a}{\left(\frac{\upsilon_1}{\upsilon_k}\right)^2+1}=0,326$$

$$r_2=\frac{2a}{\left(\frac{\upsilon_2}{\upsilon_k}\right)^2+1}=0,440$$

Ответ: $r_1=0,326$ а.е., $r_2=0,440$ а.е.

 

Задача 7. С какой скоростью относительно Солнца проходил Марс в эпоху великого противостояния при геоцентрическом расстоянии в $57,15\cdot10^6$ км? Сопоставить эту скорость с круговой и параболической скоростью на том же расстоянии от Солнца. Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.

Рассчитываем круговую скорость:

$$\upsilon_{k}=\frac{29,78}{ \sqrt{a}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,524}}=24,1$$

Рассчитаем скорость прохождения:

$$\upsilon=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r}-1}=24,1\sqrt{\frac{2\cdot1,524}{1,382}-1}=26,46$$

Переведем расстояние между Землей и Марсом в астрономические единицы: $l=\frac{57,15\cdot10^6}{149,6\cdot10^6}=0,382$ а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до Марса в этот момент $1+0,382$ а.е.

Определим круговую скорость на этом расстоянии

$$\upsilon_{k1}=\frac{29,78}{ \sqrt{r}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,382}}=25,3$$

Определим параболическую скорость:

$$\upsilon_{p1}=\upsilon_{k1}\cdot\sqrt{2}=35,74$$

Ответ: скорость прохождения Марса 26,46 км/с. Это больше круговой скорости (25,3 км/с) и меньше параболической (35,74 км/с).

 

 

Задача 8. Решить предыдущую задачу для астероида Эрота, если он в эпоху великого противостояния проходил свой перигелий 23 января 1975 г. на расстоянии $22,59\cdot10^6$ км от Земли. Период обращения Эрота вокруг Солнца равен 1,76 года.

Так как сказано, что астероид находился в противостоянии, то его гелиоцентрическое расстояние, очевидно, больше, чем у Земли.

Переведем расстояние между Землей и астероидом в астрономические единицы: $l=\frac{22,59\cdot 10^6}{149,6\cdot 10^6}=0,151$ а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до астероида в этот момент $1+0,151$ а.е.

Определим большую полуось орбиты по закону Кеплера:

$$a=\sqrt[3]{T^2}=\sqrt[3]{1,76^2}=1,457$$

Определим круговую скорость на этом расстоянии

$$\upsilon_{k}=\frac{29,78}{ \sqrt{a}}=\frac{29,78}{ \sqrt{1,457}}=24,68$$

Рассчитаем скорость прохождения:

$$\upsilon=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r}-1}=24,68\sqrt{\frac{2\cdot1,457}{1,151}-1}=30,55$$

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

$$\upsilon_{kq}=\frac{29,78}{\sqrt{q}}=\frac{29,78}{\sqrt{1,151}}=27,75$$

Определим параболическую скорость:

$$\upsilon_{p}=\upsilon_{kq}\cdot\sqrt{2}=39,1$$

Ответ: скорость прохождения 30,55 км/с, круговая скорость 27,75 км/c, параболическая 39,1 км/с.

 

Задача 9. На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если ее скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической орбите?

Зная параболическую скорость, определим круговую на этом расстоянии:

$$\upsilon_k=\frac{\upsilon_p}{\sqrt{2}}=\frac{65}{\sqrt{2}}=46,1$$

Откуда расстояние прохождения

$$r=\left(\frac{29,78}{46,1}\right)^2=0,417$$

Ответ: 0,417 а.е.

Задача 10. Комета 1931 IV прошла свой перигелий на расстоянии 0,07 а. е. от Солнца со скоростью 160 км/с, а комета 1945 II —на расстоянии 1,24 а. е. со скоростью 36,5 км/с. Определить род орбит, по которым двигались эти кометы и установить, вернутся ли они к Солнцу и когда именно.

Комета 1931 IV:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

$$\upsilon_{kq}=\frac{29,78}{\sqrt{q}}=\frac{29,78}{\sqrt{0,07}}=112,6$$

Определим параболическую скорость:

$$\upsilon_{p}=\upsilon_{kq}\cdot\sqrt{2}=158,7$$

Так как параболическая скорость меньше той, которую имела комета, то траектория – парабола и комета более к Солнцу не вернется.

Комета 1945 II:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

$$\upsilon_{kq}=\frac{29,78}{\sqrt{q}}=\frac{29,78}{\sqrt{1,24}}=26,7$$

Определим параболическую скорость:

$$\upsilon_{p}=\upsilon_{kq}\cdot\sqrt{2}=37,7$$

Так как скорость кометы меньше, чем параболическая, то траектория – эллипс. Определим большую полуось с помощью формулы:

$$\upsilon=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2}{q}-\frac{1}{a}}$$

Откуда

$$a=\frac{1}{\left(\frac{2}{q}-\left(\frac{\upsilon }{\upsilon_{k}}\right)^2\right)}= \frac{1}{\left(\frac{2}{1,24}-\left(\frac{36,5 }{29,78}\right)^2\right)}=9,03$$

Зная большую полуось, определим период обращения по закону Кеплера:

$$T=a\sqrt{a}=9\cdot3=27$$

Ответ: первая комета имеет параболическую траекторию и не вернется к Солнцу, вторая вернется через 27 лет, траектория – эллипс.

 

Задача 11. Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298 года, а его скорость в перигелии — 20,48 км/с. Чему равны сидерический период обращения астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, перигельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии и в афелии?

По формуле

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}$$

Определим сидерический период $T$:

$$T=\frac{ST_0}{S-T_0}=\frac{1,298}{0,298}=4,356$$

Теперь можно найти большую полуось орбиты, а.е.:

$$a=\sqrt[3]{T^2}=2,667$$

Круговую скорость найдем, зная большую полуось:

$$\upsilon_k=\frac{29,78}{\sqrt{a}}=\frac{29,78}{\sqrt{2,667}}=18,23$$

Скорость в перигелии дает возможность найти перигельное расстояние:

$$\upsilon_q=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{q}-1}$$

Из этой формулы следует, что

$$q=\frac{2a}{\left(\frac{\upsilon }{\upsilon_k }\right)^2+1}=\frac{2\cdot2,667}{\left(\frac{20,48}{18,23 }\right)^2+1}=2,358$$

Тогда можно определить эксцентриситет:

$$\varepsilon=1-\frac{q}{a}=0,116$$

Далее можно найти афелийное расстояние:

$$Q=a(1+\varepsilon)=2,667\cdot1,116=2,976$$

Скорость в афелии:

$$\upsilon_Q=\upsilon_k\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}=18,23\sqrt{\frac{1-0,116}{1+0,116}}=16,22$$

Ответ: сидерический период –  4,356 года, большая полуось – 2,667 а.е., эксцентриситет – 0,116, перигелий – 2,358 а.е., афелий – 2,976 а.е., скорость на среднем расстоянии $\upsilon_k=18,23$ км/с, скорость в афелии 16,22 км/c.

 

Задача 12. Эксцентриситет орбиты астероида Узбекистании равен 0,092, а его скорость в афелии— 15,21 км/с. Найти большую полуось орбиты астероида, его звездный и синодический периоды обращения, скорость в перигелии и при истинной аномалии в $30^{\circ}, 90^{\circ}$ и$120^{\circ}$.

По скорости в афелии и эксцентриситету найдем круговую скорость на среднем расстоянии:

$$\upsilon_Q =\upsilon_k \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}}$$

$$\upsilon_k=\upsilon_Q \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=15,21\sqrt{\frac{1+0,092}{1-0,092}}=16,68$$

Теперь найдем большую полуось:

$$a=\left(\frac{29,78}{\upsilon_k }\right)^2=3,187$$

Синодический период

$$T=a\sqrt{a}=3,187\sqrt{3,187}=5,69$$

Звездный период:

$$\frac{1}{S}=\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}$$

$$S=\frac{TT_0}{T-T_0}=\frac{5,69}{5,69-1}=1,21$$

Или $s=$ 443 дня.

Перигельное расстояние:

$$q=a(1-\varepsilon)=3,187(1-0,092)=2,89$$

Скорость в перигелии

$$\upsilon_q=\upsilon_k \sqrt{\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}}=18,39$$

Для определения скоростей в точках с указанными истинными аномалиями найдем расстояния до этих точек:

$$r=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos{\vartheta}}$$

При $\vartheta_1=30^{\circ}$:

$$r_1=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos{\vartheta_1}}=2,927$$

При $\vartheta_2=90^{\circ}$:

$$r_2=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos{\vartheta_2}}=3,16$$

При $\vartheta_3=120^{\circ}$:

$$r_3=\frac{a(1-\varepsilon^2)}{1+\varepsilon\cos{\vartheta_3}}=3,31$$

Определяем скорости:

$$\upsilon_1=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r_1}- 1}=16,68\sqrt{\frac{2\cdot3,187}{2,927}-1}=18,1$$

$$\upsilon_2=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r_2}- 1}=16,68\sqrt{\frac{2\cdot3,187}{3,16}-1}=16,82$$

$$\upsilon_3=\upsilon_{k}\sqrt{\frac{2a}{r_3}  – 1}=16,68\sqrt{\frac{2\cdot3,187}{3,31}-1}=16,03$$