Определение скоростей объектов в различных точках их траекторий

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с определением различных скоростей тел. При этом, в том числе, будем пользоваться понятием истинная аномалия. Это всего лишь угол между радиус-вектором тела и направлением на перицентр орбиты. То есть, если тело находится в перицентре, то истинная аномалия – ноль градусов, а если в апоцентре – то $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . По тому, на сколько отличается скорость тела от вычисленной для него параболической или круговой скорости, можно судить о форме орбиты: если скорость меньше параболической, но приближается к ней по значению, форма орбиты – сильно вытянутый эллипс с большим эксцентриситетом. Если скорость достаточно близка к круговой – то и форма орбиты почти круговая или с очень небольшим эксцентриситетом.

В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ относительно тела большей массы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , принимаемого за неподвижное и называемого центральным телом.

Линейная скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ движущегося тела относительно центрального определяется интегралом энергии

где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ — большая полуось орбиты тела меньшей массы, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ — радиус-вектор того же тела, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ — гравитационная постоянная.

Если масса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) радиусом $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , оно должно на этом расстоянии иметь скорость

называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела, она может быть также подсчитана по периоду обращения $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и большой полуоси $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ орбиты тела:

Если движущееся тело на расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ от центрального тела имеет скорость

то орбитой будет парабола ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ). Поэтому скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ называется параболической.

Если $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ).

В каждой точке орбиты с радиус-вектором $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ скорость тела

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, например, для Земли – апогей и перигей, для Луны – апоселений и периселений.

В перицентре, при $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , тело-спутник обладает наибольшей скоростью

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

а в апоцентре, при $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , — наименьшей скоростью

Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических единицах, километрах или радиусах центрального тела. Поэтому в формулы необходимо подставлять значения расстояний в одинаковых единицах измерения.

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость (км/с)

Если расстояния $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круговая скорость (км/с)

Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость (км/с)

Средняя или круговая скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , вычисляется по тем же формулам с подстановкой в них $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Подстановка в последние формулы $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ( $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ – радиус небесного тела) дает значение круговой скорости $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ . Очевидно, что

где $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ отсчитывается от центра небесного тела и выражается в его радиусах.

Третий обобщенный закон Кеплера

применим к любым системам тел с массами $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ , обращающихся с периодами $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ вокруг своих центральных тел (с массами $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ ) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже – в массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит – в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения- в годах и сутках, а иногда – в часах и минутах.

При вычислениях по формуле закона Кеплера выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде

то решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно.

Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния – в километрах и массы тел – в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

Задача 1. Чему равна круговая и параболическая скорость относительно Солнца на средних расстояниях Венеры (0,723 а. е.), Земли (1,00 а. е.), Юпитера (5,20 а. е.) и Плутона (39,5 а. е.)? По общим результатам найти и объяснить найденную закономерность. Расстояния планет от Солнца указаны в скобках.

Для Венеры

Для Земли

Для Юпитера

Для Плутона

Ответ: для Венеры круговая скорость равна 35,02 км/с, параболическая – 49,5 км/с; для Земли круговая 29,78 км/с, параболическая 42,11 км/с; для Юпитера круговая 13,06 км/с, параболическая 18,47 км/с; для Плутона круговая 4,74 км/с, параболическая 6,70 км/с. С удалением от Солнца скорость падает.

Задача 2. Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?

Скорость в перигелии можно вычислить по формуле:

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Для Ахиллеса

Для Гектора

Скорость в афелии можно вычислить по формуле

Для Ахиллеса

Для Гектора

Так как

То среднее гелиоцентрическое расстояние равно

Ответ: для Ахиллеса скорость в перигелии 15,2 км/с, в афелии 11,2 км/с. Для Гектора скорость в перигелии 13,41 км/с, в афелии 12,7 км/с. Среднее гелиоцентрическое расстояние 5,48 а.е.

Задача 3. Большая полуось и эксцентриситет opбиты Меркурия равны 0,387 а. е. и 0,206, а орбиты Марса — 1,524 а. е. и 0,093. Найти среднюю скорость этих планет, их скорость в перигелии и в афелии.

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Меркурия:

Определим круговую скорость:

Определяем скорость в перигелии:

И скорость в афелии:

Теперь все то же проделаем для Марса:

Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния:

Определим круговую скорость:

Определяем скорость в перигелии:

И скорость в афелии:

Ответ: для Меркурия $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с; для Марса $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/c, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/c.

Задача 4. Считая орбиты планет круговыми и лежащими в плоскости эклиптики, найти лучевую скорость Меркурия, Венеры и Марса во время их основных конфигураций. Необходимые для решения данные заимствовать из задач 1 и 3. (Лучевой скоростью называется проекция пространственной скорости на луч зрения наблюдателя, т. е. в данном случае на направление от Земли к планете.)

Для Венеры и Меркурия основной конфигурацией будет нижнее соединение, так как это внутренние планеты. Также можно рассмотреть восточную и западную элонгации. Для Марса, который является внешней планетой, можно рассмотреть противостояние и обе квадратуры, восточную и западную.

Рисунок 1

Лучевая скорость во всех случаях, когда планеты расположены радиально, равна нулю: это соединения и противостояния. При элонгациях лучевую скорость можно найти как разность круговой скорости планеты и проекции скорости земли на линию, соединяющую планеты. Это хорошо поясняет рисунок ниже.

Рисунок 2

Для Венеры круговая скорость– 35,02 км/c, для Меркурия – 47,87 км/с.

Определим косинус угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ для Меркурия:

Определим косинус угла $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ для Венеры:

Проекция скорости земли на линию, соединяющую планеты, будет равна

Определяем проекцию скорости Земли на линию, соединяющую планеты, для Меркурия:

Для Венеры:

Таким образом, лучевая скорость Меркурия в элонгациях

Лучевая скорость Венеры в элонгациях:

Примерно так же обстоит дело с квадратурами. Чтобы определить скорость планеты в квадратурах – а она будет одинакова и для западной, и для восточной квадратуры, надо найти проекцию круговой скорости планеты на линию, соединяющую обе планеты.

Рисунок 3

Определим для этого $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ из треугольника расстояний между планетами и Солнцем:

Тогда проекция скорости Марса равна

Таким образом, лучевая скорость Марса в квадратурах

Ответ: лучевые скорости внутренних планет в соединениях равны 0, в элонгациях для Меркурия – 20,41 км/с, для Венеры – 14,45 км/с . Для внешних планет лучевые скорости в противостояниях равны 0, в квадратуре для Марса лучевая скорость равна 13,97 км/с.

Задача 5. Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, перигельном и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты первого астероида равны 2,73 а. е. и 0,078, а второго— 1,97 а. е. и 0,778.

Сначала сделаем расчет для Лидии, а затем повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

Перигельное расстояние:

Рассчитываем афелийное расстояние:

Скорость в перигелии:

И скорость в афелии:

Круговая скорость Лидии на среднем гелиоцентрическом расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, параболическая скорость на этом расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

Параболическая скорость:

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

Параболическая скорость:

Повторим все действия для Адониса.

Рассчитываем круговую скорость:

Перигельное расстояние:

Рассчитываем афелийное расстояние:

Скорость в перигелии:

И скорость в афелии:

Круговая скорость Адониса на среднем гелиоцентрическом расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, параболическая скорость на этом расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с.

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

Параболическая скорость:

На афелийном расстоянии круговая скорость астероида

Параболическая скорость:

Ответ: Лидия: круговая скорость 18,02 км/с, в перигелии 19,27 км/с, в афелии 16,85 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 18,02 км/с, в перигелии 18,57 км/с, в афелии 17,36 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 25,38 км/с, в перигелии 26,2 км/с, в афелии 24,49 км/с.

Адонис: круговая скорость 21,21 км/с, в перигелии 60,51 км/с, в афелии 7,43 км/c, круговая скорость на среднем расстоянии 21,21 км/с, в перигелии 45,4 км/с, в афелии 15,92 км/с, параболическая скорость на среднем расстоянии 29,9 км/с, в перигелии 64,03 км/с, в афелии 22,44 км/с.

Задача 6. На каких гелиоцентрических расстояниях скорость Меркурия равна 56,1 км/с и 41,7 км/с? Большая полуось орбиты планеты 0,387 а. е.

Сначала определим круговую скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии:

Теперь воспользуемся формулой

Из нее следует, что

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Теперь подставим в нее числовые значения скоростей и определим оба расстояния:

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Ответ: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е., $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е.

Задача 7. С какой скоростью относительно Солнца проходил Марс в эпоху великого противостояния при геоцентрическом расстоянии в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км? Сопоставить эту скорость с круговой и параболической скоростью на том же расстоянии от Солнца. Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а. е.

Рассчитываем круговую скорость:

Рассчитаем скорость прохождения:

Переведем расстояние между Землей и Марсом в астрономические единицы: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до Марса в этот момент $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е.

Определим круговую скорость на этом расстоянии

Определим параболическую скорость:

Ответ: скорость прохождения Марса 26,46 км/с. Это больше круговой скорости (25,3 км/с) и меньше параболической (35,74 км/с).

Задача 8. Решить предыдущую задачу для астероида Эрота, если он в эпоху великого противостояния проходил свой перигелий 23 января 1975 г. на расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км от Земли. Период обращения Эрота вокруг Солнца равен 1,76 года.

Так как сказано, что астероид находился в противостоянии, то его гелиоцентрическое расстояние, очевидно, больше, чем у Земли.

Переведем расстояние между Землей и астероидом в астрономические единицы: $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е. Таким образом, расстояние от Солнца до астероида в этот момент $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ а.е.

Определим большую полуось орбиты по закону Кеплера:

Определим круговую скорость на этом расстоянии

Рассчитаем скорость прохождения:

На перигельном расстоянии круговая скорость астероида

Определим параболическую скорость:

Ответ: скорость прохождения 30,55 км/с, круговая скорость 27,75 км/c, параболическая 39,1 км/с.

Задача 9. На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если ее скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической орбите?

Зная параболическую скорость, определим круговую на этом расстоянии:

Откуда расстояние прохождения

Ответ: 0,417 а.е.

Задача 10. Комета 1931 IV прошла свой перигелий на расстоянии 0,07 а. е. от Солнца со скоростью 160 км/с, а комета 1945 II —на расстоянии 1,24 а. е. со скоростью 36,5 км/с. Определить род орбит, по которым двигались эти кометы и установить, вернутся ли они к Солнцу и когда именно.

Комета 1931 IV:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

Определим параболическую скорость:

Так как параболическая скорость меньше той, которую имела комета, то траектория – парабола и комета более к Солнцу не вернется.

Комета 1945 II:

На перигельном расстоянии круговая скорость кометы

Определим параболическую скорость:

Так как скорость кометы меньше, чем параболическая, то траектория – эллипс. Определим большую полуось с помощью формулы:

Откуда

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Зная большую полуось, определим период обращения по закону Кеплера:

Ответ: первая комета имеет параболическую траекторию и не вернется к Солнцу, вторая вернется через 27 лет, траектория – эллипс.

Задача 11. Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298 года, а его скорость в перигелии — 20,48 км/с. Чему равны сидерический период обращения астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, перигельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцентрическом расстоянии и в афелии?

По формуле

Определим сидерический период $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ :

Теперь можно найти большую полуось орбиты, а.е.:

Круговую скорость найдем, зная большую полуось:

Скорость в перигелии дает возможность найти перигельное расстояние:

Из этой формулы следует, что

Решение задач на сайте www.easy-physic.ru

Тогда можно определить эксцентриситет:

Далее можно найти афелийное расстояние:

Скорость в афелии:

Ответ: сидерический период – 4,356 года, большая полуось – 2,667 а.е., эксцентриситет – 0,116, перигелий – 2,358 а.е., афелий – 2,976 а.е., скорость на среднем расстоянии $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ км/с, скорость в афелии 16,22 км/c.

Задача 12. Эксцентриситет орбиты астероида Узбекистании равен 0,092, а его скорость в афелии— 15,21 км/с. Найти большую полуось орбиты астероида, его звездный и синодический периоды обращения, скорость в перигелии и при истинной аномалии в $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА, ОГЭ, ЕГЭ$ .