Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория относительности

Определение релятивистских длин, масс, плотностей

Задачи все предлагаю простые: такие есть в каждом учебнике. Но каждая тема всегда начинается с разминки: с простого. Ну а дальше – дальше все интереснее и интереснее!

Скорость света


Задача 1. Частица движется со скоростью \upsilon = 0,5c. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя?

Запишем отношение масс:

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{0,25}{1}}}=\frac{1}{\sqrt{75}}=1,15\]

Ответ: \frac{m}{m_0}=1,15

Задача 2. При какой скорости релятивистская масса движущейся частицы m вдвое больше массы покоя этой частицы m_0?
Теперь используем формулу предыдущей задачи «в обратную сторону»:

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[\left(\frac{m}{m_0}\right)^2=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\left(\frac{m_0}{m}\right)^2=\frac{1}{4}\]

    \[\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{3}{4}\]

    \[u=\frac{\sqrt{3}}{2}c=2,6\cdot10^8\]

Ответ: u=2,6\cdot10^8 м/с
Задача 3. На сколько увеличится релятивистская масса частицы m_0 при увеличении ее начальной скорости от \upsilon_0 = 0 до скорости \upsilon =  0,9c?

    \[\Delta m=m-m_0=m_0\left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}-1\right)=m_0\left(\frac{1}{\sqrt{1-0,81}}-1\right)=m_0(2,29-1)=1,29m_0\]

Ответ: на \Delta m=1,29m_0.

18.15. Скорость частицы \upsilon =  30 Мм/с. На сколько процентов релятивистская масса движущейся частицы больше массы покоящейся частицы?

    \[\frac{m}{m_0}*100=\frac{100}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[\frac{m}{m_0}*100=\frac{100}{\sqrt{1-\left(\frac{3\cdot10^7}{3\cdot10^8}\right)^2}}=\frac{100}{\sqrt{1-0,01}}=100,5\]

Ответ: на 0,5 %
Задача 4. С какой скоростью должен лететь протон (m_{0_p} = 1а.е. м.)‚ чтобы его релятивистская масса была равна массе покоя \alpha-частицы (m_{0_\alpha} = 4а. е. м.)?

То есть, иными словами, нас спрашивают, с какой скоростью должен лететь протон, чтобы его масса возросла вчетверо?

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[\left(\frac{m}{m_0}\right)^2=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\left(\frac{m_0}{m}\right)^2=\frac{1}{16}\]

    \[\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{15}{16}\]

    \[u=\frac{\sqrt{15}}{4}c=0,97c=2,9\cdot10^8\]

Ответ: u=2,9\cdot10^8 м/с

 


Задача 5. Во сколько раз изменится плотность тела при его движении со скоростью \upsilon = 0,8c?

Плотность тела зависит не только от его массы, но и от объема, а тот, в свою очередь, функция куба линейных размеров. Тогда исходная плотность тела (плотность покоя):

    \[\rho_0=\frac{m_0}{V_0}\]

    \[V_0=kl_0^3\]

Релятивистская плотность:

    \[\rho=\frac{m}{V}\]

Где

    \[m=\frac{ m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

    \[V=kl^3\]

    \[l=l_0\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[l^3=l_0^3\left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}\]

Тогда отношение плотностей (или во сколько раз  изменится плотность):

    \[\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{m}{m_0}\cdot \frac{V_0}{V}=\frac{m}{m_0}\cdot \left(\frac{l_0}{l}\right)^3=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\cdot\frac{1}{ \left(1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{1}{1-\left(\frac{0,8c}{c}\right)^2}=\frac{1}{1-0,64}=\frac{1}{0,36}=2,77\]

Ответ: плотность возрастет в 2,8 раза.
Задача 6. При движении с некоторой скоростью продольные размеры тела уменьшились в n = 2 раза. Во сколько раз изменилась масса тела?

    \[\frac{l}{l_0}=\frac{1}{2}=\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[\frac{m}{m_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}=2\]

Ответ: масса выросла вдвое.
Задача 7. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, k= 0,88\cdot 10^{11} Кл/кг. Определить релятивистскую массу электрона и его скорость.

Так как электрон движется, то, следовательно, в отношении участвует его релятивистская масса:

    \[k=\frac{e}{m}\]

Откуда его релятивистская масса равна:

    \[m=\frac{e}{k}=\frac{1,6\cdot10^{-19}}{0,88\cdot 10^{11}}=1,82\cdot10^{-30}\]

То есть m=2m_0.

Но с другой стороны, она также равна

    \[m=\frac{ m_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}}\]

Тогда, возводя в квадрат оба выражения, имеем:

    \[m^2=\frac{e^2}{k^2}\]

    \[m^2=\frac{ m_0^2}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

И приравниваем:

    \[\frac{e^2}{k^2}=\frac{ m_0^2}{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}\]

    \[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2=\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }\]

    \[\left(\frac{u}{c}\right)^2=1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }\]

    \[\frac{u}{c}=\sqrt{1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }}\]

    \[u=c\sqrt{1-\frac{ k^2 m_0^2}{ e^2 }}= c\sqrt{1-\frac{ 0,88^2\cdot 10^{22}\cdot 9,1^2\cdot 10^{-62}}{ 1,6^2\cdot10^{-38}}}= c\sqrt{1-\frac{ 0,77\cdot 83\cdot 10^{-2}}{ 2,56}}=0,866c=2,6\cdot10^8\]

Ответ: m=2m_0=18,2\cdot10^{-31}, u=0,866c=2,6\cdot10^8 м/с.

Задача 8. Масса тела m = 1 кг. Вычислить полную его энергию.

Полная энергия тела равна

    \[E=mc^2=1\cdot 9 \cdot 10^{16}=9 \cdot10^{16}\]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *