Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Стереометрия (13(С2))

Определение расстояния от точки до плоскости с помощью объемов

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод объемов.

Задача 1. Высота правильной четырехугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 равна 8, а сторона основания равна 6\sqrt{2}. Найдите расстояние от вершины A до плоскости A_1BD.

Решение:

К задаче 1

Искомое расстояние – высота пирамиды A_1BDA, опущенная из вершины A. Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды A_1BDA и площадь треугольника A_1BD. Определяем объем пирамиды A_1BDA. Ее основание – треугольник ABD, объем будет равен

    \[V=\frac{1}{3}S_{ABD}\cdot AA_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot (6\sqrt{2})^2\cdot 8=\frac{1}{6}\cdot 72\cdot 8=96\]

С другой стороны, объем этой пирамиды равен

    \[V=\frac{1}{3}S_{A_1BD}\cdot AH\]

Тогда

    \[AH=\frac{3V}{ S_{A_1BD}}\]

Треугольник A_1BD – равнобедренный. Его основание BD=12 (по Пифагору), а высоту AO мы найдем из треугольника A_1AO:

    \[A_1O^2=AA_1^2+AO^2\]

    \[A_1O^2=8^2+6^2\]

    \[A_1O=10\]

Таким образом, A_1O=10, S_{A_1BD}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10=60,

    \[AH=\frac{3V}{ S_{A_1BD}}=\frac{3\cdot96}{60}=4,8\]

Ответ: 4,8.

 

Задача 2. Основанием прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 является ромб ABCD , AB =10 , BD =12 . Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани ABCD до плоскости BDC_1.

Решение:

К задаче 2

Искомое расстояние – высота пирамиды OC_1BD, опущенная из вершины O. Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды OC_1BD и площадь треугольника C_1BD. Определяем объем пирамиды OC_1BD. Ее основание – треугольник OBD, объем будет равен

    \[V=\frac{1}{3}S_{OBD}\cdot OC_1\]

Прямая OC_1 перпендикулярна плоскости OBD, так как она принадлежит плоскости A_1C_1C, которая перпендикулярна плоскости B_1D_1D.

Чтобы найти объем пирамиды  OC_1BD, вырежем ее из половины призмы BDCB_1D_1C_1. Объем данной призмы равен

    \[V_{0,5}=S_{BDC}\cdot H=\sqrt{16(16-10)^2(16-12)}\cdot 6=288\]

Отрезаем от нее две одинаковые по объему пирамидки BB_1OC_1 и DD_1OC_1.

    \[V_{ BB_1OC_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{B_1OC_1}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 48\cdot 6=48\]

Также надо отрезать пирамиду BDCC_1 (снизу, под плоскостью). Ее объем равен

    \[V_{ BDCC_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{BDC}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8\cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 48\cdot 12=96\]

К задаче 2 – отсеченные объемы

Таким образом, объем OC_1BD равен

    \[V_{ OC_1BD}= V_{0,5}-2 V_{ BB_1OC_1}- V_{ BDCC_1}=288-2\cdot 48-96=96\]

С другой стороны, объем этой пирамиды равен произведению площади треугольника BDC_1 на \frac{1}{3} и высоту, опущенную на треугольник BDC_1 из точки O.

    \[V_{ OC_1BD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ BDC_1}\cdot h\]

    \[h=\frac{ 3V_{ OC_1BD}}{ S_{ BDC_1}}\]

Определим площадь S_{ BDC_1}. Его основание равно 12, а высота может быть найдена из прямоугольного треугольника HCC_1:

    \[HC_1=\sqrt{HC^2+CC_1^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\]

    \[S_{ BDC_1}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot HC_1=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 10=60\]

Искомое расстояние

    \[h=\frac{ 3V_{ OC_1BD}}{ S_{ BDC_1}}=\frac{3\cdot 96}{60}=4,8\]

Ответ: 4,8.

 

Задача 3. В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 сторона основания равна \sqrt{2},  а высота равна 1 . M – середина AA_1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA_1C_1.

Решение: определим искомое расстояние как расстояние от точки O до плоскости. Проведем через точку M прямую, параллельную A_1C_1.

К задаче 3

Точка O – центр призмы и лежит на середине отрезка MN. Так как прямая MN параллельна плоскости, то любая ее точка равноудалена от нее. Рассмотрим треугольник EHD. Сделаем выносной чертеж. В нем искомое расстояние – OF. Из подобия треугольников EOF и EHD

    \[\frac{HD}{OF}=\frac{ED}{EO}\]

    \[OF=\frac{HD\cdot EO}{ED}\]

Так как сторона основания равна \sqrt{2}, то диагональ основания равна 2. А HD=1. По условию EH=1, EO=0,5.

    \[ED=\sqrt{EH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]

    \[OF=\frac{HD\cdot EO}{ED}=\frac{0,5}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\]

Ответ: OF=\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *