Определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом (с определителем)

[latexpage]

Предлагаю вашему вниманию несколько задач по стереометрии на определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом. Будем пользоваться определителями для расчета.

Задача 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ — центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ — центр квадрата $CC_1D_1D$.

а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ скрещиваются.

б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$ , если ребро куба равно 1.

а) Решение. Прямая $A_1O_1$ лежит в плоскости $ACA_1C_1$ , при этом точки $B_1$ и $O_2$ не лежат в этой плоскости, то есть прямая $B_1O_2$ не принадлежит данной плоскости. Кроме того, прямая $A_1O_1$ не параллельна плоскости $ACA_1C_1$  ($B_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны относительно этой плоскости), следовательно, прямая $B_1O_2$ пересекает плоскость $ACA_1C_1$ , а прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ скрещиваются.

б) Расстояние между прямыми найдем с помощью координатного метода. Для этого нужно 1): ввести систему координат и определить координаты направляющих векторов прямых $A_1O_1$ и $B_1O_2$. Затем (2) найти координаты вспомогательного вектора, одна из точек которого принадлежит вектору $A_1O_1$, вторая –  $B_1O_2$. После определения координат векторов нужно найти их смешанное произведение (3). Мы для этого составим и рассчитаем определитель. Полученное число будем трактовать как объем параллелепипеда, построенного на трех векторах. Затем (4) получим уравнение плоскости (опять с помощью определителя), и найдем длину нормали к плоскости. Для расчета расстояния останется разделить «объем» на длину нормали (5).

Кажется сложным, но вот увидите – мы очень быстро справимся!

Делаем!

1) Вводим систему координат.

К задаче 1

Координаты точек: $A_1 (0;0;0), O_1 ( 0,5; 0,5; 1), B_1 (0; 1; 0), O_2 (1; 0,5; 0,5)$.

Координаты вектора $A_1O_1$ $( 0,5; 0,5; 1)$, координаты вектора $B_1O_2$ – $(1; -0,5; 0,5)$.

2) Пусть вспомогательный вектор будет $A_1B_1$. Его координаты $(0; 1; 0)$.

3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Рассчитывать определитель очень удобно по правилу Саррюса, для этого необходимо первые два столбца определителя приписать к нему справа:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \\ 1 & -0,5\\ 0 & 1 \end{matrix}$$

Теперь перемножаем цифры, стоящие на главной диагонали и двух параллельных ей линиях и складываем полученные произведения (вдоль красных линий). Перемножаем цифры, стоящие на побочной диагонали (вдоль синих линий) и двух параллельных ей линиях и вычитаем все эти произведения из предыдущей суммы:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \\ 1 & -0,5\\ 0 & 1 \end{matrix}=0,5\cdot (-0,5)\cdot 0+0,5\cdot 0,5\cdot 0+1\cdot 1 \cdot 1-1\cdot(-0,5)\cdot 0-1\cdot 0,5 \cdot 0,5-0 \cdot 1 \cdot 0,5=0,75$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $A_1O_1$ и $B_1O_2$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 0,5 & 0,5\\ 1 & -0,5 \end{matrix}=$$

$$=i\cdot0,5\cdot 0,5+j\cdot 1\cdot 1+k\cdot 0,5\cdot (-0,5)-k\cdot 0,5\cdot 1-i\cdot1\cdot (-0,5)-j\cdot0,5\cdot 0,5=$$

$$=0,25i+0,5i+j-0,25j-0,25k-0,5k=0,75i+0,75j-0,75k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{0,75^2+0,75^2+0,75^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s \mid}{\mid t \mid}=\frac{0,75}{0,75\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $d=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы  $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Грань $ACC_1A_1$ является квадратом.

а) Докажите, что прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 4, BC = 7$.

Решение.

а)Вводим систему координат с началом в точке $C_1$. В этой системе координаты точек $C (0; 0; x)$ – если $CC_1=x$, $A_1 (x; 0; 0)$ – так как $AA_1=AC$; $A(x; 0; x); B_1(0; b; 0)$ – так как мы не знаем длины катета $B_1C_1$, обозначим ее $b$.

К задаче 2

Координаты вектора $CA_1$ $(x; 0; -x)$, координаты вектора $AB_1$ $(-x; b; -x)$.

Определим скалярное произведение векторов $CA_1$ и $AB_1$:

$$\vec{CA_1}\cdot \vec{AB_1}=x\cdot(-x)+0\cdot b+(-x)\cdot(-x)=0$$

Поэтому два данных вектора перпендикулярны.

Заметьте, для доказательства пункта а) мы не использовали данные пункта б). Теперь снова определим координаты указанных векторов, уже с учетом пункта б): координаты вектора $CA_1$ $(4; 0; -4)$, координаты вектора $AB_1$ $(-4; 7; -4)$.

2) Пусть вспомогательный вектор будет $CB_1 (0; 7; -4)$.

3)Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4\\ 0 & 7 & -4 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} 4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4\\ 0 & 7 & -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 4 & 0 \\ -4 & 7\\ 0 & 7 \end{matrix}=-16\cdot 7+0+16\cdot 7 -0+16\cdot 7-0=16\cdot 7$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $CA_1$ и $AB_1$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 4 & 0\\ -4 & 7 \end{matrix}=$$$$=i\cdot0\cdot (-4)+j\cdot (-4)\cdot (-4)+k\cdot 4\cdot 7-k\cdot 0\cdot (-4)-i\cdot (-4)\cdot 7-j\cdot (-4)\cdot 4=$$$$=16j+28k+28i+16j=28i+32j+28k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{28^2+32^2+28^2}=36\sqrt{2}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s\mid }{\mid t \mid }=\frac{16\cdot7}{36\sqrt{2}}=\frac{28}{9\sqrt{2}}$$

Ответ: $d=\frac{14\sqrt{2}}{9}$.

Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt{3}$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ — высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.

а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.

б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.

Решение.

а) Треугольник $MSN$ – равносторонний. Это легко установить, рассчитав стороны $SM=SN=2\sqrt{3}$ по теореме Пифагора. Так как $MT$ – высота, то она обязательно и медиана в этом треугольнике. Следовательно – $T$ – середина $SN$.

б) Расстояние определим методом координат – несмотря на то, что классическим методом это, может быть, сделать проще. Для начала введем систему координат.

К задаче 3

1) Определяем координаты нужных точек: $H (0; 0; 0), S (0; 0; 3), N (0; -\sqrt{3}; 0), M (0; \sqrt{3}; 0), T (0; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1,5), C ( -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 0)$.

Координаты основных векторов: $NT (0; 1,5\sqrt{3}; 1,5)$ и $SC (-\sqrt{3}; \sqrt{3}; -3)$.

2) Вспомогательный вектор $NS (0; \sqrt{3}; 3)$.

3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 0 & 1,5\sqrt{3} & 1,5\\ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & -3\\ 0 & \sqrt{3} & 3 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} 0 & 1,5\sqrt{3} & 1,5\\ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & -3\\ 0 & \sqrt{3} & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 & 1,5\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & \sqrt{3}\\ 0 & \sqrt{3} \end{matrix}=$$$$=0\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+1,5\sqrt{3}\cdot (-3)\cdot 0+1,5\cdot (-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}-0\cdot \sqrt{3}\cdot1,5 -\sqrt{3}\cdot(-3)\cdot 0-3\cdot (-\sqrt{3})\cdot 1,5\sqrt{3}=$$$$=-4,5+\frac{27}{2}=9$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $CA_1$ и $AB_1$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0 & 1,5\sqrt{3}  & 1,5\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3}  & -3 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0 & 1,5\sqrt{3}  & 1,5\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3}  & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 0 & 1,5\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3} \end{matrix}=$$$$=i \cdot 1,5\sqrt{3}\cdot (-3)+j \cdot1,5\cdot(-\sqrt{3})+k\cdot 0 \cdot \sqrt{3}-k\cdot 1,5\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{3})-I \cdot 1,5 \cdot \sqrt{3}-j\cdot 0 \cdot (-\sqrt{3})=$$$$=-4,5\sqrt{3}i-1,5\sqrt{3}j-4,5k-1,5\sqrt{3}i=-6\sqrt{3}i-1,5\sqrt{3}j-4,5k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+(1,5\sqrt{3})^2+4,5^2}=3\sqrt{15}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s\mid }{\mid t \mid }=\frac{9}{3\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}$$

Ответ: $d=\frac{\sqrt{15}}{5}$.