Предлагаю вашему вниманию несколько задач по стереометрии на определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом. Будем пользоваться определителями для расчета.
Задача 1. В кубе точка
— центр квадрата
, точка
— центр квадрата
.
а) Докажите, что прямые и
скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если ребро куба равно 1.
а) Решение. Прямая лежит в плоскости
, при этом точки
и
не лежат в этой плоскости, то есть прямая
не принадлежит данной плоскости. Кроме того, прямая
не параллельна плоскости
(
и
лежат по разные стороны относительно этой плоскости), следовательно, прямая
пересекает плоскость
, а прямые
и
скрещиваются.
б) Расстояние между прямыми найдем с помощью координатного метода. Для этого нужно 1): ввести систему координат и определить координаты направляющих векторов прямых и
. Затем (2) найти координаты вспомогательного вектора, одна из точек которого принадлежит вектору
, вторая –
. После определения координат векторов нужно найти их смешанное произведение (3). Мы для этого составим и рассчитаем определитель. Полученное число будем трактовать как объем параллелепипеда, построенного на трех векторах. Затем (4) получим уравнение плоскости (опять с помощью определителя), и найдем длину нормали к плоскости. Для расчета расстояния останется разделить «объем» на длину нормали (5).
Кажется сложным, но вот увидите – мы очень быстро справимся!
Делаем!
1) Вводим систему координат.

К задаче 1
Координаты точек: .
Координаты вектора
, координаты вектора
–
.
2) Пусть вспомогательный вектор будет . Его координаты
.
3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:
Рассчитывать определитель очень удобно по правилу Саррюса, для этого необходимо первые два столбца определителя приписать к нему справа:
Теперь перемножаем цифры, стоящие на главной диагонали и двух параллельных ей линиях и складываем полученные произведения (вдоль красных линий). Перемножаем цифры, стоящие на побочной диагонали (вдоль синих линий) и двух параллельных ей линиях и вычитаем все эти произведения из предыдущей суммы:
4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: и
.
Рассчитываем его по правилу Саррюса:
Длина нормали к плоскости будет равна
5) Определяем расстояние:
Ответ: .
Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник
с прямым углом
. Грань
является квадратом.
а) Докажите, что прямые и
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и
, если
.
Решение.
а)Вводим систему координат с началом в точке . В этой системе координаты точек
– если
,
– так как
;
– так как мы не знаем длины катета
, обозначим ее
.

К задаче 2
Координаты вектора
, координаты вектора
.
Определим скалярное произведение векторов и
:
Поэтому два данных вектора перпендикулярны.
Заметьте, для доказательства пункта а) мы не использовали данные пункта б). Теперь снова определим координаты указанных векторов, уже с учетом пункта б): координаты вектора
, координаты вектора
.
2) Пусть вспомогательный вектор будет .
3)Определяем смешанное произведение. Составим определитель:
Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:
4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: и
.
Рассчитываем его по правилу Саррюса:
Длина нормали к плоскости будет равна
5) Определяем расстояние:
Ответ: .
Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона
основания равна
, а высота
пирамиды равна 3. Точки
и
— середины рёбер
и
, соответственно, а
— высота пирамиды
с вершиной
и основанием
.
а) Докажите, что точка является серединой
.
б) Найдите расстояние между и
.
Решение.
а) Треугольник – равносторонний. Это легко установить, рассчитав стороны
по теореме Пифагора. Так как
– высота, то она обязательно и медиана в этом треугольнике. Следовательно –
– середина
.
б) Расстояние определим методом координат – несмотря на то, что классическим методом это, может быть, сделать проще. Для начала введем систему координат.

К задаче 3
1) Определяем координаты нужных точек: .
Координаты основных векторов: и
.
2) Вспомогательный вектор .
3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:
Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:
4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: и
.
Рассчитываем его по правилу Саррюса:
Длина нормали к плоскости будет равна
5) Определяем расстояние:
Ответ: .
Комментариев - 2
замечание- необходимо соблюдать ритуал – правая тройка векторов системы координат. Иначе у нормали s (векторное произведение двух векторов) получаются другие координаты. И хотя на ответ не влияет, но ошибка есть ошибка- нормаль найдена неправильно. Необоснованно получен верный ответ. Ритуал соблюдать надо.
Школьники не знают, где правая, а где – левая тройка. И решение будет зачтено, выбери они ту или другую. Поэтому пусть остается так. Потом разберутся, где какая, и будут использовать. А пока – решение верно. Какая тройка – неважно.