Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Астрономия

Определение расстояний по параллаксам космических объектов

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с расчетом расстояний до небесных тел. При этом будем пользоваться понятием параллакс. О том, что такое параллактический угол, рассказывает иллюстрация. По тому, на сколько меняется видимое положение звезды на небесной сфере в связи с движением Земли по орбите, можно судить о расстоянии до нее. Если объект достаточно близко (по космическим меркам), то параллактический угол велик, если далеко – то совсем мал. Параллактический угол измеряют, как правило, в минутах или секундах.

Параллакс

Расстояния от Земли до тел Солнечной системы вычисляются по их горизонтальным экваториальным параллаксам и экваториальному радиусу Земли :

   

или

   

если параллакс выражен в минутах дуги () и

   

при параллаксе, выраженном в секундах дуги (

Если положить , то получается в экваториальных радиусах Земли. При вычислении в километрах следует принять км.

Если угловые размеры небесного тела , то его линейные размеры

   

а при , вследствие пропорциональности и ,

   

— в минутах дуги,

   

— в секундах дуги.

и

   

где и — в одноименных единицах измерения.

Радиусы Солнца и планет обычно выражаются в радиусах Земли (реже — в километрах), причем полярный радиус , экваториальный радиус и сжатие планеты  связаны зависимостью

   

а средний радиус

   

При совпадении направлений вращения и обращения небесного тела вокруг Солнца продолжительность его солнечных суток , период вращения и период обращения связаны зависимостью

   

   

а при противоположных направлениях одному из периодов приписывается знак минус.

 

Задача 1. Вычислить средний радиус и сжатие Земли, если ее экваториальный радиус равен 6378 км, а полярный радиус— 6357 км.

Средний радиус найдем как:

   

Сжатие Земли:

   

   

   

   

Ответ: км, .

 

Задача 2. Радиоимпульс, направленный к Венере в ее нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца 0,7233 а. е., возвратился к Земле через 4м36с. Вычислить геоцентрическое расстояние планеты во время радиолокации, длину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.

Вспоминаем, что нижнее соединение – это такое расположение Венеры, когда она между Землей и Солнцем. Так как сигнал возвратился через 4 минуты 36 с, следовательно, в одну сторону он шел 2 минуты 18 секунд, или 138 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

   

В километрах это км.

Так как расстояние от Земли до Солнца равно 1 астрономической единице, то

   

Где – расстояние от Венеры до Солнца.

   

Тогда:

   

Мы получили длину астрономической единицы сразу в миллионах км.

Вычислим горизонтальный экваториальный параллакс Солнца в секундах дуги:

   

Откуда

   

Ответ: км, млн. км, .

Задача 3. При среднем противостоянии Марса посланный к нему радиосигнал возвратился к Земле через 522,6 с. Найти среднее гелиоцентрическое расстояние Земли и соответствующий ему горизонтальный экваториальный параллакс Солнца. Сидерический период обращения Марса равен 1,881 года.

Аналогично предыдущей задаче, противостояние – это положение Марса такое, что  Земля расположена  между Солнцем и Марсом. Средним его назвали потому, что при противостоянии Марс может находиться ближе или дальше от Земли, здесь взято среднее расстояние.

Так как сигнал возвратился через 522,6 с, следовательно, в одну сторону он шел 261,3 секунды. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

   

В километрах это км.

Дальше для решения нам потребуется третий закон Кеплера

   

Где – расстояние от Солнца до Марса, – расстояние от Солнца до Земли.

Тогда

   

   

   

Расстояние найдено в км.

Определяем параллакс Солнца:

   

Ответ: км, .

 

Задача 4. Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при ее среднем (384 400 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км) геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли — 6378 км.

   

   

   

Ответ: , , .

 

Задача 5. По данным или результатам задачи 4 вычислить предельные значения диаметра лунного диска, который при среднем геоцентрическом расстоянии равен 31’05”.

Если угловые размеры небесного тела , вследствие пропорциональности и ,  его линейные размеры

   

— в минутах дуги.

Переведем размер лунного диска в минуты: .

Тогда линейный размер

   

Теперь используем это при расчете минимального и максимального размеров лунного диска:

   

   

Ответ: , .

 

Задача 6. Пределы геоцентрического расстояния Луны, измеренного радиолокационным методом в 1975 г., были: 16 января —406 090 км; 28 января —357 640 км и 12 февраля— 406 640 км. Найти значения большой полуоси и эксцентриситета лунной орбиты в интервалах времени, заключенных между смежными датами.

Средним расстоянием планеты от Солнца является большая полуось ее орбиты

   

 

Где и – перигельное и афелийное расстояния. То же и для Луны, только вместо перигельного будет перигейное расстояние, вместо афелийного – апогейное.

Тогда

   

Тогда

   

И эксцентриситет

   

Для второго периода времени

   

И эксцентриситет

   

Ответ: для периода времени от 16 января до 28 – км, эксцентриситет – 0,0634, для периода 28 января – 12 февраля км, эксцентриситет – 0,0641.

 

Задача 7. Радиосигнал, направленный к Меркурию при его наибольшем сближении с Землей, вернулся на Землю через 8м52с. Определить геоцентрическое расстояние планеты и эксцентриситет ее орбиты, если большая полуось орбиты равна 0,387 а. е.

Так как сигнал возвратился через 532 с, следовательно, в одну сторону он шел 266 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

   

В километрах это км, а в  астрономических единицах – 0,533 а.е.

Так как расстояние от Солнца до Земли равно 1 а.е., то расстояние от Солнца до Меркурия равно 

Это больше, чем большая полуось орбиты, поэтому это – афелийное расстояние. Тогда

   

И эксцентриситет

   

Ответ: км, .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *