Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Астрономия

Определение расстояний по параллаксам космических объектов

В этой статье мы рассмотрим задачи, связанные с расчетом расстояний до небесных тел. При этом будем пользоваться понятием параллакс. О том, что такое параллактический угол, рассказывает иллюстрация. По тому, на сколько меняется видимое положение звезды на небесной сфере в связи с движением Земли по орбите, можно судить о расстоянии до нее. Если объект достаточно близко (по космическим меркам), то параллактический угол велик, если далеко – то совсем мал. Параллактический угол измеряют, как правило, в минутах или секундах.

Параллакс

Расстояния r от Земли до тел Солнечной системы вычисляются по их горизонтальным экваториальным параллаксам p_0 и экваториальному радиусу Земли R_0:

    \[r = \frac{R_0}{\sin p_0}\]

или

    \[r = \frac{3438'}{p_0'}R_0\]

если параллакс выражен в минутах дуги (p_0') и

    \[r = \frac{206265"}{p_0"} R_0\]

при параллаксе, выраженном в секундах дуги (p_0"

Если положить R_0=1, то r получается в экваториальных радиусах Земли. При вычислении r в километрах следует принять R_0=6378 км.

Если угловые размеры небесного тела \rho \geqslant 3^{\circ}, то его линейные размеры

    \[R = r \sin \rho\]

а при \rho < 3^{\circ}, вследствие пропорциональности \sin \rho и \rho,

    \[R=r\frac{\rho'}{3438}\]

\rho' — в минутах дуги,

    \[R = r \frac{\rho''}{206265"}\]

\rho'' — в секундах дуги.

и

    \[R = R_0\frac{\rho}{p_0}\]

где \rho и p_0 — в одноименных единицах измерения.

Радиусы Солнца и планет обычно выражаются в радиусах Земли (реже — в километрах), причем полярный радиус R_p, экваториальный радиус R_e и сжатие планеты \varepsilon  связаны зависимостью

    \[R_p = R_e(1-\varepsilon)\]

а средний радиус

    \[R_s=\sqrt[3]{R_e^2R_p}=R_e\sqrt[3]{1-\varepsilon}\]

При совпадении направлений вращения и обращения небесного тела вокруг Солнца продолжительность его солнечных суток S, период вращения P и период обращения T связаны зависимостью

    \[\frac{1}{S}=\frac{1}{P}-\frac{1}{T}, P<T\]

    \[\frac{1}{S}=\frac{1}{T}-\frac{1}{P}, P>T\]

а при противоположных направлениях одному из периодов приписывается знак минус.

 

Задача 1. Вычислить средний радиус и сжатие Земли, если ее экваториальный радиус равен 6378 км, а полярный радиус— 6357 км.

Средний радиус найдем как:

    \[R_s=\sqrt[3]{R_e^2R_p}=\sqrt[3]{6378^2\cdot6357}=6371\]

Сжатие Земли:

    \[R_s=R_e\sqrt[3]{1-\varepsilon}\]

    \[\frac{ R_s }{ R_e }=\sqrt[3]{1-\varepsilon}\]

    \[1-\varepsilon=\frac{ R_s^3 }{ R_e^3 }\]

    \[\varepsilon=1-\frac{ R_s^3 }{ R_e^3 }=1-\frac{ 6371^3 }{ 6378^3 }=0,033\]

Ответ: R_s=6371 км, \varepsilon=0,033.

 

Задача 2. Радиоимпульс, направленный к Венере в ее нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца 0,7233 а. е., возвратился к Земле через 4м36с. Вычислить геоцентрическое расстояние планеты во время радиолокации, длину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.

Вспоминаем, что нижнее соединение – это такое расположение Венеры, когда она между Землей и Солнцем. Так как сигнал возвратился через 4 минуты 36 с, следовательно, в одну сторону он шел 2 минуты 18 секунд, или 138 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

    \[S=ct=3\cdot10^8\cdot138=414\cdot10^8\]

В километрах это S=41,4\cdot10^6 км.

Так как расстояние от Земли до Солнца равно 1 астрономической единице, то

    \[1 a.e.=L+S\]

Где L – расстояние от Венеры до Солнца.

    \[S=1 a.e. -0,7233 a.e.=0,2767 a.e.\]

Тогда:

    \[1 a.e.=\frac{S}{0,2767}=\frac{41,4}{0,2767}=149,62\]

Мы получили длину астрономической единицы сразу в миллионах км.

Вычислим горизонтальный экваториальный параллакс Солнца в секундах дуги:

    \[r = \frac{206265"}{p_0"} R_0\]

Откуда

    \[p_0"=\frac{206265"}{r} R_0=\frac{206265"}{149,62\cdot10^6} \cdot 6378=8,794\]

Ответ: S=41,4\cdot10^6 км, 1 a.e.= 149,62 млн. км, p_0"=8,794''.

Задача 3. При среднем противостоянии Марса посланный к нему радиосигнал возвратился к Земле через 522,6 с. Найти среднее гелиоцентрическое расстояние Земли и соответствующий ему горизонтальный экваториальный параллакс Солнца. Сидерический период обращения Марса равен 1,881 года.

Аналогично предыдущей задаче, противостояние – это положение Марса такое, что  Земля расположена  между Солнцем и Марсом. Средним его назвали потому, что при противостоянии Марс может находиться ближе или дальше от Земли, здесь взято среднее расстояние.

Так как сигнал возвратился через 522,6 с, следовательно, в одну сторону он шел 261,3 секунды. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

    \[S=ct=3\cdot10^8\cdot261,3=783,9\cdot10^8\]

В километрах это S=78,4\cdot10^6 км.

Дальше для решения нам потребуется третий закон Кеплера

    \[\left(\frac{T_M}{T_Z}\right)^2=\left(\frac{S+r_Z}{r_Z}\right)^3\]

Где S+r_Z – расстояние от Солнца до Марса, r_Z – расстояние от Солнца до Земли.

Тогда

    \[\frac{S+r_Z}{r_Z}=\sqrt[3]{ \left(\frac{T_M}{T_Z}\right)^2}=\sqrt[3]{1,881}\]

    \[S+r_Z=1,524r_Z\]

    \[r_Z=149,62\cdot10^6\]

Расстояние найдено в км.

Определяем параллакс Солнца:

    \[p_0"=\frac{206265"}{r} R_0=\frac{206265"}{149,62\cdot10^6} \cdot 6378=8,793\]

Ответ: r_Z=149,62\cdot10^6 км, p_0"=8,794''.

 

Задача 4. Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при ее среднем (384 400 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км) геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли — 6378 км.

    \[p_{l1}"=\frac{3438'}{r_1} R_0=\frac{3438'}{384400} \cdot 6378=57',03''\]

    \[p_{l2}"=\frac{3438'}{r_2} R_0=\frac{3438'}{356410} \cdot 6378=61',29''\]

    \[p_{l3}"=\frac{3438'}{r_3} R_0=\frac{3438'}{406740} \cdot 6378=53',55''\]

Ответ: p_{l1}"=57',03'', p_{l2}"=61',29'', p_{l3}"=53',55''.

 

Задача 5. По данным или результатам задачи 4 вычислить предельные значения диаметра лунного диска, который при среднем геоцентрическом расстоянии равен 31’05”.

Если угловые размеры небесного тела \rho < 3^{\circ}, вследствие пропорциональности \sin \rho и \rho,  его линейные размеры

    \[R=r\frac{\rho'}{3438'}\]

\rho' — в минутах дуги.

Переведем размер лунного диска в минуты: 31'05''=31,083'.

Тогда линейный размер \rho

    \[\rho=\frac{3438'R}{r}=\frac{3438'\cdot31,083}{384400}=0,278\]

Теперь используем это при расчете минимального и максимального размеров лунного диска:

    \[R_{min}= r\frac{\rho'}{3438'}= 356410\frac{0,278}{3438'}=28'49''\]

    \[R_{max}= r\frac{\rho'}{3438'}= 4097400\frac{0,278}{3438'}=32'53''\]

Ответ: R_{min}=28'49'', R_{max}=32'53''.

 

Задача 6. Пределы геоцентрического расстояния Луны, измеренного радиолокационным методом в 1975 г., были: 16 января —406 090 км; 28 января —357 640 км и 12 февраля— 406 640 км. Найти значения большой полуоси и эксцентриситета лунной орбиты в интервалах времени, заключенных между смежными датами.

Средним расстоянием планеты от Солнца является большая полуось ее орбиты

    \[a=\frac{q+Q}{2}\]

 

Где q и Q – перигельное и афелийное расстояния. То же и для Луны, только вместо перигельного будет перигейное расстояние, вместо афелийного – апогейное.

Тогда

    \[a=\frac{q+Q}{2}=\frac{406 090+357 640 }{2}=381865\]

Тогда

    \[Q=a(1+\varepsilon)\]

И эксцентриситет

    \[\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{406 090}{381865}-1=0,0634\]

Для второго периода времени

    \[a=\frac{q+Q}{2}=\frac{406 640+357 640 }{2}=382140\]

И эксцентриситет

    \[\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{406 640}{382140}-1=0,0641\]

Ответ: для периода времени от 16 января до 28 – a=381865 км, эксцентриситет – 0,0634, для периода 28 января – 12 февраля a=382140 км, эксцентриситет – 0,0641.

 

Задача 7. Радиосигнал, направленный к Меркурию при его наибольшем сближении с Землей, вернулся на Землю через 8м52с. Определить геоцентрическое расстояние планеты и эксцентриситет ее орбиты, если большая полуось орбиты равна 0,387 а. е.

Так как сигнал возвратился через 532 с, следовательно, в одну сторону он шел 266 секунд. Сигнал идет со скоростью света. Давайте найдем расстояние до планеты:

    \[S=ct=3\cdot10^8\cdot266=798\cdot10^8\]

В километрах это S=79,8\cdot10^6 км, а в  астрономических единицах – 0,533 а.е.

Так как расстояние от Солнца до Земли равно 1 а.е., то расстояние от Солнца до Меркурия равно  1a.e. -0,533a.e.=0,467 a.e.

Это больше, чем большая полуось орбиты, поэтому это – афелийное расстояние. Тогда

    \[Q=a(1+\varepsilon)\]

И эксцентриситет

    \[\varepsilon=\frac{Q}{a}-1=\frac{0,466a.e.}{0,387a.e.}-1=0,206\]

Ответ: S=79,8\cdot10^6 км, \varepsilon=0,206.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *