Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Векторы

Определение проекции вектора на плоскость

Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом “Профи.ру” для репетиторов.

Задача. Чему равны координаты проекции вектора \vec{w}(19; -1;-9) на плоскость, проходящую через точки X(8; 7; 0), L(8; 2; 0), C(5; 4; -2)?

Уравнение плоскости определяется выражением:

    \[ax+by+cz+d=0\]

Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:

    \[\begin{Bmatrix}{8\cdot a+7\cdot b+0\cdot c+d=0}\\{ 8\cdot a+2\cdot b+0\cdot c+d=0}\\{ 5\cdot a+4\cdot b-2\cdot c+d=0}\end{matrix}\]

Вычтем из первого уравнения второе:

    \[5\cdot b=0\]

    \[b=0\]

Подставим это в первое уравнение, получим

    \[8\cdot a+d=0\]

Откуда

    \[a=-\frac{d}{8}\]

Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:

    \[-5\cdot \frac{d}{8} -2\cdot c+d=0\]

    \[2\cdot c=\frac{3d}{8}\]

    \[c=\frac{3d}{16}\]

Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:

    \[-\frac{d}{8}\cdot x+\frac{3d}{16}\cdot z+d=0\]

Это можно разделить на d, и тогда мы получим:

    \[-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{3}{16}\cdot z+1=0\]

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.

Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: \vec{n}(-\frac{1}{8}; 0; \frac{3}{16}), что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, перпендикулярной оси y, а значит,  сама плоскость ей параллельна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную -1 – координате исходного вектора. Остается найти его первую и третью координаты.

У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть  координаты  двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.

Общий вид уравнения:

    \[\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}\]

Пусть координаты начала вектора проекции (x_1; 0; z_1), координаты конца  (x_2; 0; z_2).

Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:

    \[\frac{x_2-19}{-\frac{1}{8}}=\frac{z_2+9}{\frac{3}{16}}\]

Из этого уравнения имеем:

    \[8(19-x_2)=\frac{16(z_2+9)}{3}\]

Уравнение плоскости преобразуем к виду:

    \[-2x_2+3z_2+16=0\]

Решим эти два уравнения совместно:

Из последнего

    \[x_2=1,5z_2+8\]

Подставим в уравнение прямой:

    \[8(19-1,5z_2-8)= \frac{16}{3}(z_2+9)\]

Откуда

    \[z_2=\frac{30}{13}\]

Тогда

    \[x_2=\frac{149}{13}\]

Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:

    \[\frac{x_1-0}{-\frac{1}{8}}=\frac{z_1-0}{\frac{3}{16}}\]

Из этого уравнения имеем:

    \[x_1=-\frac{2}{3}z_1\]

Подставим в уравнение прямой:

    \[-\frac{1}{8}\cdot \left(-\frac{2}{3}z_1 \right)+\frac{3}{16}z_1+1=0\]

Откуда

    \[z_1=-\frac{48}{13}\]

Тогда

    \[x_1=\frac{32}{13}\]

Осталось просто вычесть из координат конца координаты начала:

    \[x=x_2-x_1=\frac{149}{13}-\frac{32}{13}=\frac{117}{13}=9\]

    \[z=z_2-z_1=\frac{30}{13}+\frac{48}{13}=\frac{78}{13}=6\]

Ответ: вектор проекции на плоскость имеет координаты (9; -1; 6).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *