Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом “Профи.ру” для репетиторов.
Задача. Чему равны координаты проекции вектора на плоскость, проходящую через точки
,
,
?
Уравнение плоскости определяется выражением:
Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:
Вычтем из первого уравнения второе:
Подставим это в первое уравнение, получим
Откуда
Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:
Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:
Это можно разделить на , и тогда мы получим:

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.
Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: , что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, перпендикулярной оси
, а значит, сама плоскость ей параллельна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную -1 – координате исходного вектора. Остается найти его первую и третью координаты.
У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть координаты двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.
Общий вид уравнения:
Пусть координаты начала вектора проекции , координаты конца
.
Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:
Из этого уравнения имеем:
Уравнение плоскости преобразуем к виду:
Решим эти два уравнения совместно:
Из последнего
Подставим в уравнение прямой:
Откуда
Тогда
Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:
Из этого уравнения имеем:
Подставим в уравнение прямой:
Откуда
Тогда
Осталось просто вычесть из координат конца координаты начала:
Ответ: вектор проекции на плоскость имеет координаты (9; -1; 6).
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...