Определение проекции вектора на плоскость

Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом “Профи.ру” для репетиторов.

Задача. Чему равны координаты проекции вектора на плоскость, проходящую через точки , , ?

Уравнение плоскости определяется выражением:

Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Подставим это в первое уравнение, получим

Откуда

Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:

Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:

Это можно разделить на , и тогда мы получим:

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.

Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: , что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, параллельной оси , а значит,  сама плоскость ей перпендикулярна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную 0. Остается найти его первую и третью координаты.

У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть  координаты  двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.

Общий вид уравнения:

Пусть координаты начала вектора проекции , координаты конца  .

Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:

Из этого уравнения имеем:

Уравнение плоскости преобразуем к виду:

Решим эти два уравнения совместно:

Из последнего

Подставим в уравнение прямой:

Откуда

Тогда

Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:

Из этого уравнения имеем:

Подставим в уравнение прямой:

Откуда

Тогда

Осталось просто вычесть из координат конца координаты начала:

Ответ: вектор проекции на плоскость имеет координаты (9; 0; 6).