Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: 9 класс, Геометрия (задание 16), Квадратная решетка (3)

Определение отношения длин отрезков

Задача попала ко мне случайно. Я люблю такие задачи, поэтому с удовольствием ее решила. Кстати, по теореме Менелая она, возможно, решится куда проще и быстрее))). Задача была найти решение в обход этой теоремы.

Задача. Найти отношение длин отрезков AK : KF, если BF : FC=3 :2, AE : EC=6: 2,5.

Рассмотрим треугольники ABE и EBC.

Рисунок 1

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как \frac{S_{\Delta ABE}}{ S_{\Delta EBC}}=\frac{6}{2,5}=\frac{12}{5}. Тогда, если площадь всего треугольника ABC равна M, то

    \[S_{\Delta ABE}=\frac{12M}{17}\]

    \[S_{\Delta EBC}}=\frac{5M}{17}\]

Рассмотрим треугольники ABF и AFC.

Рисунок 2

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как \frac{S_{\Delta ABF}}{ S_{\Delta AFC}}=\frac{3}{2}. Тогда, если площадь всего треугольника ABC равна M, то

    \[S_{\Delta ABF}=\frac{3M}{5}\]

    \[S_{\Delta AFC}}=\frac{2M}{5}\]

Рассмотрим теперь треугольники BEF и FEC.

Рисунок 3

У этих треугольников также  одна и та же высота, и их площади относятся как \frac{S_{\Delta BEF}}{ S_{\Delta FEC}}=\frac{3}{2}. Тогда, если площадь всего треугольника EBC равна \frac{5}{17}M, то

    \[S_{\Delta BEF}=\frac{5M}{17}\cdot \frac{3}{5}=\frac{3M}{17}\]

    \[S_{\Delta FEC}}=\frac{5M}{17}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2M}{17}\]

Обратимся к треугольникам AKC и BKC.

Рисунок 4

Их площади нам неизвестны, поэтому обозначим их a и b. Тогда

\frac{S_{\Delta AKE}}{ S_{\Delta EKC}}=\frac{6}{2,5}=\frac{12}{5}, а

\frac{S_{\Delta BKF}}{ S_{\Delta FKC}}=\frac{3}{2}.

Площадь треугольника BKF равна \frac{3b}{5}, площадь треугольника FKC равна \frac{2b}{5}, площадь треугольника AKE равна \frac{12a}{17}, площадь треугольника EKC равна \frac{5a}{17}.

Тогда треугольник AFC составлен из треугольников AKC (площадью a) и KFC (площадью \frac{2b}{5}):

    \[a+\frac{2b}{5}= S_{\Delta AFC}}=\frac{2M}{5}\]

Разделим на \frac{2}{5}:

    \[\frac{5a}{2}+b= M\]

Или

    \[a+b+\frac{3a}{2}=M\]

Рисунок 5

Отсюда делаем вывод, что площадь треугольника ABK равна \frac{3a}{2}.

Тогда, если треугольник ABE составлен из AKE и AKB, то можно записать:

    \[S_{\Delta ABE}}= S_{\Delta AKE}}+ S_{\Delta AKB}}\]

    \[\frac{12M}{17}= \frac{12a}{17}+ \frac{3a}{2}\]

Разделим на \frac{12}{17}:

    \[M= a+ \frac{51a}{24}=\frac{75a}{24}\]

А так как полная площадь треугольника ABC складывается из AKC (площадью a) и BKC (площадью b) и ABK (площадью \frac{3a}{2}), то

    \[a+b+\frac{3a}{2}=\frac{75a}{24}\]

Откуда b=\frac{15a}{24}=\frac{5a}{8}.

Тогда

    \[\frac{AK}{KF}=\frac{ S_{\Delta AKC}}{ S_{\Delta KFC}}=\frac{a}{\frac{2b}{5}}=\frac{a}{\frac{2}{5}\cdot\frac{5a}{8}}=\frac{a}{\frac{a}{4}}=\frac{4}{1}\]

Ответ: \frac{AK}{KF}=\frac{4}{1}.

Комментариев - 3

  • Владимир
    |

    Задача имеет более простое решение.
    Проведем через F прямую FM, параллельную BE. Тогда, на основании теоремы Фалеса, EM:MC=BF:FC=3:2, следовательно, EM=(3/5)EC=(3/5)(5/17)AC=(3/17)AC.
    Учитывая, что AE=(12/17)AC, получаем, что AE:EM=[(12/17)AC]:[(3/17)AC]=12:3=4:1.
    А это и есть отношение AK:KF на основании той же теоремы Фалеса.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо большое, да, согласна.

      Ответить
  • Анна
    |

    Красиво!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *