Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 03, 9 класс, ОГЭ 9 (ГИА В6)

Определение отношения длин отрезков

Задача попала ко мне случайно. Я люблю такие задачи, поэтому с удовольствием ее решила. Кстати, по теореме Менелая она, возможно, решится куда проще и быстрее))). Задача была найти решение в обход этой теоремы.

Задача. Найти отношение длин отрезков , если , .

Рассмотрим треугольники и .

Рисунок 1

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как . Тогда, если площадь всего треугольника равна , то

   

   

Рассмотрим треугольники и .

Рисунок 2

Так как у них одна и та же высота, то их площади относятся как . Тогда, если площадь всего треугольника равна , то

   

   

Рассмотрим теперь треугольники и .

Рисунок 3

У этих треугольников также  одна и та же высота, и их площади относятся как . Тогда, если площадь всего треугольника равна , то

   

   

Обратимся к треугольникам и .

Рисунок 4

Их площади нам неизвестны, поэтому обозначим их и . Тогда

, а

.

Площадь треугольника равна , площадь треугольника равна , площадь треугольника равна , площадь треугольника равна .

Тогда треугольник составлен из треугольников (площадью ) и (площадью ):

   

Разделим на :

   

Или

   

Рисунок 5

Отсюда делаем вывод, что площадь треугольника равна .

Тогда, если треугольник составлен из и , то можно записать:

   

   

Разделим на :

   

А так как полная площадь треугольника складывается из (площадью ) и (площадью ) и (площадью ), то

   

Откуда .

Тогда

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *