Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: АЧХ и ФЧХ цепи

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 5

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решим задачу качественно.

    \[K(j\omega)= \frac{\dot{U_2}}{\dot{U_1}}\]

    \[K(j\omega)= \frac{\dot{U_C}}{\dot{U_{R_2}}+\dot{U_C}}\]

При \omega=0 \dot{z_C}=\frac{1}{j\omega C}\rightarrow \infty

Поэтому конденсатор можно заменить разрывом цепи и эквивалентная схема будет такой:

Схема замещения на нулевой частоте

    \[K( j\omega)= \frac{R_1}{R_1+R_2}\]

При \omega \rightarrow \infty \dot{z_C}=\frac{1}{j\omega C}\rightarrow 0

Поэтому конденсатор можно заменить перемычкой и эквивалентная схема будет такой:

Схема замещения на бесконечно большой частоте

При этом выходное напряжение равно нулю и

    \[K( j\omega)= 0\]

    \[K( j0)= \frac{R_1}{R_1+R_2}<1\]

Определим фазо-частотную характеристику при \omega=0: \varphi(0)=0.

При \omega \rightarrow \infty \varphi(\infty)=0.

Строим графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

 

Векторная диаграмма:

Векторная диаграмма цепи

Решим теперь аналитически:

    \[K( j\omega)=\frac{\frac{R_1\cdot\frac{1}{j\omega C}}{R_1+\frac{1}{j\omega C}}}{R_2+\frac{R_1\cdot\frac{1}{j\omega C}}{R_1+\frac{1}{j\omega C}}}\]

    \[K( j\omega)=\frac{\frac{R_1}{1+j\omega R_1C}}{R_2+\frac{R_1}{1+j\omega R_1C}}=\frac{R_1}{R_2(j\omega CR_1+1)+R_1}\]

    \[K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2+jR_1R_2\omega C}\]

Вынесем из числителя R_1, а из знаменателя – R_1+R_2:

    \[K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1}{1+\frac{ R_1R_2}{ R_1+R_2}j\omega C}\]

Обозначим за \tau

    \[\tau=\frac{ R_1R_2C}{ R_1+R_2}\]

Тогда

    \[K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1}{1+j\omega \tau}\]

Определим модуль этой дроби:

    \[K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1-j\omega \tau }{(1+j\omega \tau)( 1-j\omega \tau )}\]

    \[K( j\omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \frac{1-j\omega \tau }{1+\omega^2 \tau^2}\]

Осталось разделить это комплексное число на действительную и мнимую части и найти корень из суммы их квадратов:

    \[K( \omega)=\frac{R_1}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+\omega^2 \tau^2}}\]

    \[\varphi( \omega)=- \operatorname{arctg}(\omega \tau)\]

Так что угол, как и нарисовано выше, отрицателен.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *