Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 4

[latexpage]

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сделаем это строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Здесь схема мостовая. Решим задачу аналитически.

Если присвоить точкам потенциалы, как показано на рисунке, а один из узлов заземлить, то

Потенциалы и напряжения

$$\dot U=\dot{\varphi_1}-\dot{\varphi_2}$$

$$\dot{\varphi_1}=\dot{U_1}$$

$$\dot{\varphi_2}=\dot{U_2}$$

Каждая ветвь является делителем напряжения.

$$\dot {U_1}=\frac{R}{R+\dot{z_L}}\cdot \dot{E}$$

$$ \dot {U_2}=\frac{R\dot{E}}{2R}=\frac{\dot{E}}{2}$$

Тогда

$$\dot{U}=\dot {U_1}-\dot {U_2}=\frac{R}{R+\dot{z_L}}\cdot \dot{E}-\frac{\dot{E}}{2}=\dot{E}\left(\frac{R}{R+\dot{z_L}}-\frac{1}{2}\right)$$

$$K(j\omega)= \frac{\dot{U}}{\dot{E}}$$

$$K(j\omega)= \frac{R}{R+\dot{z_L}}-\frac{1}{2}=\frac{2R-(R+\dot{z_L})}{2(R+\dot{z_L})}=\frac{R-\dot{z_L}}{2(R+\dot{z_L})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{R-j\omega L}}{R+j\omega L}}$$

Выносим $R$ из числителя и знаменателя:

$$K(j\omega)= \frac{1}{2}\cdot \frac{1-\frac{ j\omega L }{R}}{1+\frac{ j\omega L }{R}}$$

Постоянная времени такой цепи

$$\tau=\frac{L}{ R}$$

Поэтому

$$ K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1-j\omega \tau}{1+j\omega \tau}$$

В числителе и знаменателе пара комплексно-сопряженных чисел. У них одинаковый модуль, поэтому амплитудно-частотная характеристика

$$K(\omega)=\mid K(j \omega)\mid=\frac{1}{2}$$

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

$$ K(j \omega)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1-j\omega \tau}{1+j\omega \tau}$$

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

$$\varphi(\omega)=-\operatorname{arctg}(\omega \tau)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)=-2\operatorname{arctg}(\omega \tau)$$

То есть угол $\varphi<0$.

Строим графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

Строим векторную диаграмму:

Строим вектор $\dot E$. С ним совпадет ток $\dot{I_2}$ в правой ветви (ветви с резисторами). Напряжения на обоих резисторах равны $\dot{U_R}$, но одно из них  я обозначила как $\dot{U_2}$. Ток в левой ветви (с индуктивностью) отстает на некоторый угол, меньший $90^{\circ}$ – так как нагрузка активно-индуктивная. С ним совпадет напряжение $\dot{U_1}$. А напряжение $\dot{U_L}$ – перпендикулярно $\dot{U_1}$ и в сумме они дают $\dot E$. Построим вектор $-\dot{U_2}$. И теперь сумму векторов $\dot{U_1}$ и $-\dot{U_2}$. Получим выходное напряжение, отстающее от входного ($\dot E$) на угол, больший $90^{\circ}$.

Векторная диаграмма