Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: АЧХ и ФЧХ цепи

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 4

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сделаем это строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Здесь схема мостовая. Решим задачу аналитически.

Если присвоить точкам потенциалы, как показано на рисунке, а один из узлов заземлить, то

Потенциалы и напряжения

    \[\dot U=\dot{\varphi_1}-\dot{\varphi_2}\]

    \[\dot{\varphi_1}=\dot{U_1}\]

    \[\dot{\varphi_2}=\dot{U_2}\]

Каждая ветвь является делителем напряжения.

    \[\dot {U_1}=\frac{R}{R+\dot{z_L}}\cdot \dot{E}\]

    \[\dot {U_2}=\frac{R\dot{E}}{2R}=\frac{\dot{E}}{2}\]

Тогда

    \[\dot{U}=\dot {U_1}-\dot {U_2}=\frac{R}{R+\dot{z_L}}\cdot \dot{E}-\frac{\dot{E}}{2}=\dot{E}\left(\frac{R}{R+\dot{z_L}}-\frac{1}{2}\right)\]

    \[K(j\omega)= \frac{\dot{U}}{\dot{E}}\]

    \[K(j\omega)= \frac{R}{R+\dot{z_L}}-\frac{1}{2}=\frac{2R-(R+\dot{z_L})}{2(R+\dot{z_L})}=\frac{R-\dot{z_L}}{2(R+\dot{z_L})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{R-j\omega L}}{R+j\omega L}}\]

Выносим R из числителя и знаменателя:

    \[K(j\omega)= \frac{1}{2}\cdot \frac{1-\frac{ j\omega L }{R}}{1+\frac{ j\omega L }{R}}\]

Постоянная времени такой цепи

    \[\tau=\frac{L}{ R}\]

Поэтому

    \[K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1-j\omega \tau}{1+j\omega \tau}\]

В числителе и знаменателе пара комплексно-сопряженных чисел. У них одинаковый модуль, поэтому амплитудно-частотная характеристика

    \[K(\omega)=\mid K(j \omega)\mid=\frac{1}{2}\]

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

    \[K(j \omega)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1-j\omega \tau}{1+j\omega \tau}\]

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

    \[\varphi(\omega)=-\operatorname{arctg}(\omega \tau)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)=-2\operatorname{arctg}(\omega \tau)\]

То есть угол \varphi<0.

Строим графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

Строим векторную диаграмму:

Строим вектор \dot E. С ним совпадет ток \dot{I_2} в правой ветви (ветви с резисторами). Напряжения на обоих резисторах равны \dot{U_R}, но одно из них  я обозначила как \dot{U_2}. Ток в левой ветви (с индуктивностью) отстает на некоторый угол, меньший 90^{\circ} – так как нагрузка активно-индуктивная. С ним совпадет напряжение \dot{U_1}. А напряжение \dot{U_L} – перпендикулярно \dot{U_1} и в сумме они дают \dot E. Построим вектор -\dot{U_2}. И теперь сумму векторов \dot{U_1} и -\dot{U_2}. Получим выходное напряжение, отстающее от входного (\dot E) на угол, больший 90^{\circ}.

Векторная диаграмма

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *