Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 3

[latexpage]

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это строго, аналитически, а потом качественно.

Задача.  Для цепи на рисунке $R_1=1$ кОм, $R_2=4$ кОм, $L_1=3$ мГн, $L_2=2$ мГн. Определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала решим качественно.

При $\omega=0$ $z_{L_{1,2}}=0$

Схема преобразуется в такую:

Схема замещения на нулевой частоте

$$ K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{4}{1+4}=0,8$$

$$ K( j0)=0,8$$

$$\varphi(0)=0$$

При $\omega \rightarrow \infty$ $z_{L_{1,2}}\rightarrow \infty$.

Можно тогда пренебречь сопротивлениями резисторов и эквивалентная схема станет такой:

Схема замещения на бесконечно большой частоте

$$ K( j\omega)= \frac{L_2}{L_1+L_2}=\frac{2}{5}=0,4$$

$$ K( j\infty)=0,4$$

$$\varphi(\infty)=0$$

Построим векторную диаграмму на некоторой промежуточной частоте. Сначала построим вектор тока. С ним будут совпадать векторы напряжений на резисторах – $U_{R_1}$ и $U_{R_2}$. А оба вектора напряжений на индуктивностях  – $U_{L_1}$ и $U_{L_2}$ – опережают ток на $90^{\circ}$. Так как $L_1>L_2$, то и $U_{L_1} >U_{L_2}$.

Векторная диаграмма

Вектор напряжения $U_{vyh}$ – сумма векторов $U_{R_2}$ и $U_{L_2}$, вектор напряжения $U_{vh}$ – сумма векторов$U_{R_1}$, $U_{R_2}$, $U_{L_1}$  и $U_{L_2}$. Видно, что выходное напряжение отстает от входного – значит, угол $\varphi$ на промежуточной частоте отрицателен.

Тогда можно нарисовать графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения. Теперь решим задачу аналитически:

$$K(j \omega)=\frac{\dot U_{vyh}}{\dot U_{vh}}=\frac{R_2+Z_{L_2}}{ R_1+R_2+Z_{L_1}+Z_{L_2}}$$

$$K(j \omega)=\frac{R_2+j\omega L_2}{R_1+R_2+j\omega L_1+j\omega L_2}$$

Вынесем из числителя $R_2$, а из знаменателя $R_1+R_2$.

$$K(j \omega)=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \frac{1+\frac{j\omega L_2}{R_2}}{1+ j\omega \frac{L_1+L_2 }{R_1+R_2}}$$

Постоянная времени такой цепи

$$\tau=\frac{L_1+L_2}{ R_1+R_2}$$

А отношение

$$\frac{L_2}{R_2}=\tau_1$$

Поэтому

$$ K(j \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$

$$ K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)$$

$$ K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{(1+ \omega^2 \tau^2}\right)$$

Модуль этой дроби

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}$$

При $\omega=0$

$$ K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}=0,8$$

При $\omega \rightarrow \infty$

$$ K( \omega)= \frac{L_2}{L_1+L_2}=0,4$$

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

$$ K(j \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

$$\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)$$

Так как

$$\frac{L_1+L_2}{ R_1+R_2}>\frac{L_2}{R_2}$$

То $\varphi(\omega)<0$