Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: АЧХ и ФЧХ цепи

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 3

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это строго, аналитически, а потом качественно.

Задача.  Для цепи на рисунке R_1=1 кОм, R_2=4 кОм, L_1=3 мГн, L_2=2 мГн. Определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала решим качественно.

При \omega=0 z_{L_{1,2}}=0

Схема преобразуется в такую:

Схема замещения на нулевой частоте

    \[K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{4}{1+4}=0,8\]

    \[K( j0)=0,8\]

    \[\varphi(0)=0\]

При \omega \rightarrow \infty z_{L_{1,2}}\rightarrow \infty.

Можно тогда пренебречь сопротивлениями резисторов и эквивалентная схема станет такой:

Схема замещения на бесконечно большой частоте

    \[K( j\omega)= \frac{L_2}{L_1+L_2}=\frac{2}{5}=0,4\]

    \[K( j\infty)=0,4\]

    \[\varphi(\infty)=0\]

Построим векторную диаграмму на некоторой промежуточной частоте. Сначала построим вектор тока. С ним будут совпадать векторы напряжений на резисторах – U_{R_1} и U_{R_2}. А оба вектора напряжений на индуктивностях  – U_{L_1} и U_{L_2} – опережают ток на 90^{\circ}. Так как L_1>L_2, то и U_{L_1} >U_{L_2}.

Векторная диаграмма

Вектор напряжения U_{vyh} – сумма векторов U_{R_2} и U_{L_2}, вектор напряжения U_{vh} – сумма векторовU_{R_1}, U_{R_2}, U_{L_1}  и U_{L_2}. Видно, что выходное напряжение отстает от входного – значит, угол \varphi на промежуточной частоте отрицателен.

Тогда можно нарисовать графики:

Графики АЧХ и ФЧХ

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения. Теперь решим задачу аналитически:

    \[K(j \omega)=\frac{\dot U_{vyh}}{\dot U_{vh}}=\frac{R_2+Z_{L_2}}{ R_1+R_2+Z_{L_1}+Z_{L_2}}\]

    \[K(j \omega)=\frac{R_2+j\omega L_2}{R_1+R_2+j\omega L_1+j\omega L_2}\]

Вынесем из числителя R_2, а из знаменателя R_1+R_2.

    \[K(j \omega)=\frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \frac{1+\frac{j\omega L_2}{R_2}}{1+ j\omega \frac{L_1+L_2 }{R_1+R_2}}\]

Постоянная времени такой цепи

    \[\tau=\frac{L_1+L_2}{ R_1+R_2}\]

А отношение

    \[\frac{L_2}{R_2}=\tau_1\]

Поэтому

    \[K(j \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}\]

    \[K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)\]

    \[K( j\omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{(1+ \omega^2 \tau^2}\right)\]

Модуль этой дроби

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}\]

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

 

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2} \cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}\]

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}\]

При \omega=0

    \[K( \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}=0,8\]

При \omega \rightarrow \infty

    \[K( \omega)= \frac{L_2}{L_1+L_2}=0,4\]

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

    \[K(j \omega)= \frac{R_2}{R_1+R_2}\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}\]

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

    \[\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)\]

Так как

    \[\frac{L_1+L_2}{ R_1+R_2}>\frac{L_2}{R_2}\]

То \varphi(\omega)<0

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *