Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: АЧХ и ФЧХ цепи

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 2

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это строго, аналитически, а потом качественно.

Задача.  Для цепи на рисунке (C_2>C_1) определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала решим аналитически.

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения.

    \[K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot E}=\frac{R+Z_{C_2}}{ R+Z_{C_1}+Z_{C_2}}\]

    \[K(j \omega)=\frac{R+\frac{1}{j\omega C_2}}{R+\frac{1}{j\omega C_1}+\frac{1}{j\omega C_2}}=\frac{j\omega C_2R+1}{j\omega C_2R+\frac{C_2}{C_1}+1}\]

Вынесем из числителя C_1, а из знаменателя C_1+C_2.

    \[K(j \omega)=\frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \frac{j\omega C_2R+1}{j\omega R\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}+1}\]

Постоянная времени такой цепи

    \[\tau=\frac{RC_1C_2}{ C_1+C_2}\]

А произведение

    \[RС_2=\tau_2\]

Поэтому

    \[K(j \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2} \cdot \frac{1+j\omega \tau_2}{1+j\omega \tau}\]

    \[K( j\omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_2)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)\]

    \[K( j\omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \left(\frac{1+\omega^2 \tau_2\tau+j\omega \tau_2-j\omega \tau}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)\]

Модуль этой дроби

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_2)^2+\omega^2(\tau_2-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_2+\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2(\tau_2^2-2\tau \tau_2+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2\tau_2^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_2^2\tau^2+\omega^2\tau_2^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_2^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_2^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}\]

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_2^2}{1+ \omega^2 \tau^2}\]

При \omega=0

    \[K( \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\]

Так как C_1<C_2, то \frac{C_1}{C_1+C_2}<\frac{1}{2}

При \omega \rightarrow \infty все напряжение – на резисторе.

    \[K(\omega)=1\]

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

    \[K(j \omega)= \frac{C_1}{C_1+C_2}\cdot \frac{1+j\omega \tau_2}{1+j\omega \tau}\]

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

    \[\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_2)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)\]

Изобразим графики АЧХ и ФЧХ:

АЧХ и ФЧХ

Теперь решим задачу качественно: сначала рассмотрим цепь на частоте 0.

    \[\omega=0\]

При этом

    \[z_{C_{1,2}}\rightarrow \infty\]

Поэтому эквивалентная схема будет такой (пренебрегаем активным сопротивлением):

Схема замещения на частоте ноль

    \[K(j0)=\frac{C_1}{C_1+C_2}\]

Рассмотрим цепь на бесконечной частоте.

    \[\omega=\infty\]

При этом

    \[z_{C_{1,2}}\rightarrow 0\]

Поэтому эквивалентная схема будет такой (оставляем только сопротивление):

Схема замещения на бесконечно большой частоте

    \[K(j\infty)=\frac{\dot U}{\dot E}=1\]

Осталось построить векторную диаграмму. Начнем ее построение с I – общего тока. С этим вектором совпадает вектор U_R, а векторы U_{C_1} и U_{C_2} – отстают на 90^{\circ}. И, так как C_2>C_1, то U_{C_1}< U_{C_2}. Начало вектора U_{C_1} совпадает с концом вектора U_{C_2}.

Векторная диаграмма

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *