Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: АЧХ и ФЧХ цепи

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 1

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала рассмотрим цепь на частоте ноль:

    \[\omega=0\]

При этом

    \[x_L=\omega L=0\]

Поэтому эквивалентная схема будет такой:

Эквивалентная схема на нулевой частоте

Определим выходное напряжение. Сопротивление будет равно

    \[R_0=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\]

А выходное напряжение

    \[U=R_0 i_n=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2} i_n\]

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения.

    \[K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}\]

Таким образом,

    \[K(j 0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\]

Это комплексная частотная характеристика в нуле. АЧХ в нуле – модуль этой дроби:

    \[K(0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\]

А ФЧХ – аргумент этой дроби:

    \[\varphi (0)=0\]

Теперь устремим частоту к бесконечности. При этом индуктивное сопротивление тоже устремится к бесконечности. Поэтому схема замещения будет такой:

Эквивалентная схема на частоте, стремящейся к бесконечности

Выходное напряжение

    \[U=R_2 i_n\]

Комплексная частотная характеристика

    \[K(j \infty)=R_2\]

АЧХ тогда

    \[K(\infty)=R_2\]

А ФЧХ

    \[\varphi (\infty)=0\]

Можно построить примерные графики:

Качественно построенные АЧХ и ФЧХ

Теперь построим векторную диаграмму. Построим ток через резистор R_1I_1. Этот ток совпадает по направлению с направлением вектора напряжения U_{R_1}. А напряжение на индуктивности отстает от этого тока на 90^{\circ}.

Начало построения векторной диаграммы

Входное напряжение U – сумма напряжений  U_{R_1} и U_L. И с этим напряжением совпадает по фазе ток I_2 – ток в резисторе R_2. А ток источника – сумма токов i_1 и I_2 по закону Кирхгофа:

Полная векторная диаграмма

Видно, что ток источника I_n отстает от вектора напряжения U на угол \varphi.

Мы решили задачу качественно. Решим ее теперь аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. То есть

    \[K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}\]

А это, по сути, сопротивление (полное, общее) обеих ветвей. Давайте его определим.

    \[K(j \omega)=\frac{R_2(R_1+j\omega L)}{ R_2+R_1+j\omega L }= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\frac{1+j\frac{\omega L}{R_1}}{1+\frac{j\omega L }{R_1+R_2}}\]

Если источник разомкнуть (холостой ход), то получится цепь, в которой R_1, R_2 и L соединены последовательно. Постоянная времени такой цепи

    \[\tau=\frac{L}{ R_1+R_2}\]

А отношение

    \[\frac{L}{R_1}=\tau_1\]

Поэтому

    \[K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}\]

    \[K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)\]

    \[K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)\]

Модуль этой дроби

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}\]

    \[K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}\]

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

    \[K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}\]

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

    \[\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)\]

Так как \tau_1>\tau, то понятно, что \operatorname{arctg}(\omega \tau_1)> \operatorname{arctg}(\omega \tau, то есть угол \varphi>0.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *