Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 1

[latexpage]

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.

Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала рассмотрим цепь на частоте ноль:

$$\omega=0$$

При этом

$$x_L=\omega L=0$$

Поэтому эквивалентная схема будет такой:

Эквивалентная схема на нулевой частоте

Определим выходное напряжение. Сопротивление будет равно

$$R_0=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$

А выходное напряжение

$$U=R_0 i_n=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2} i_n$$

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения.

$$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$$

Таким образом,

$$K(j 0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$

Это комплексная частотная характеристика в нуле. АЧХ в нуле – модуль этой дроби:

$$K(0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$

А ФЧХ – аргумент этой дроби:

$$\varphi (0)=0$$

Теперь устремим частоту к бесконечности. При этом индуктивное сопротивление тоже устремится к бесконечности. Поэтому схема замещения будет такой:

Эквивалентная схема на частоте, стремящейся к бесконечности

Выходное напряжение

$$U=R_2 i_n$$

Комплексная частотная характеристика

$$K(j \infty)=R_2$$

АЧХ тогда

$$K(\infty)=R_2$$

А ФЧХ

$$\varphi (\infty)=0$$

Можно построить примерные графики:

Качественно построенные АЧХ и ФЧХ

Теперь построим векторную диаграмму. Построим ток через резистор $R_1$ – $I_1$. Этот ток совпадает по направлению с направлением вектора напряжения $U_{R_1}$. А напряжение на индуктивности отстает от этого тока на $90^{\circ}$.

Начало построения векторной диаграммы

Входное напряжение $U$ – сумма напряжений  $U_{R_1}$ и $U_L$. И с этим напряжением совпадает по фазе ток $I_2$ – ток в резисторе $R_2$. А ток источника – сумма токов $i_1$ и $I_2$ по закону Кирхгофа:

Полная векторная диаграмма

Видно, что ток источника $I_n$ отстает от вектора напряжения $U$ на угол $\varphi$.

Мы решили задачу качественно. Решим ее теперь аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. То есть

$$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$$

А это, по сути, сопротивление (полное, общее) обеих ветвей. Давайте его определим.

$$K(j \omega)=\frac{R_2(R_1+j\omega L)}{ R_2+R_1+j\omega L }= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\frac{1+j\frac{\omega L}{R_1}}{1+\frac{j\omega L }{R_1+R_2}}$$

Если источник разомкнуть (холостой ход), то получится цепь, в которой $R_1, R_2$ и $L$ соединены последовательно. Постоянная времени такой цепи

$$\tau=\frac{L}{ R_1+R_2}$$

А отношение

$$\frac{L}{R_1}=\tau_1$$

Поэтому

$$ K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$

$$ K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)$$

$$ K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)$$

Модуль этой дроби

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2+\omega^2\tau^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2\tau_1^2 }{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2(\omega^2\tau^2+1)}{\left(1+ \omega^2 \tau^2\right)^2 }}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1}{1+ \omega^2 \tau^2}+\frac{\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}}$$

$$ K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+\omega^2\tau_1^2}{1+ \omega^2 \tau^2}$$

Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:

$$ K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$$

Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:

$$\varphi(\omega)=\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)- \operatorname{arctg}(\omega \tau)$$

Так как $\tau_1>\tau$, то понятно, что $\operatorname{arctg}(\omega \tau_1)> \operatorname{arctg}(\omega \tau$, то есть угол $\varphi>0$.