Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически

Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 1

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.

Задача. Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.

Схема к задаче

Решение: сначала рассмотрим цепь на частоте ноль:

$\omega=0$

При этом

$x_L=\omega L=0$

Поэтому эквивалентная схема будет такой:

Эквивалентная схема на нулевой частоте

Определим выходное напряжение. Сопротивление будет равно

$R_0=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$

А выходное напряжение

$U=R_0 i_n=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2} i_n$

Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения.

$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$

Таким образом,

$K(j 0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$

Это комплексная частотная характеристика в нуле. АЧХ в нуле – модуль этой дроби:

$K(0)= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$

А ФЧХ – аргумент этой дроби:

$\varphi (0)=0$

Теперь устремим частоту к бесконечности. При этом индуктивное сопротивление тоже устремится к бесконечности. Поэтому схема замещения будет такой:

Эквивалентная схема на частоте, стремящейся к бесконечности

Выходное напряжение

$U=R_2 i_n$

Комплексная частотная характеристика

$K(j \infty)=R_2$

АЧХ тогда

$K(\infty)=R_2$

А ФЧХ

$\varphi (\infty)=0$

Можно построить примерные графики:

Качественно построенные АЧХ и ФЧХ

Теперь построим векторную диаграмму. Построим ток через резистор $R_1$ – $I_1$ . Этот ток совпадает по направлению с направлением вектора напряжения $U_{R_1}$ . А напряжение на индуктивности отстает от этого тока на $90^{\circ}$ .

Начало построения векторной диаграммы

Входное напряжение $U$ – сумма напряжений $U_{R_1}$ и $U_L$ . И с этим напряжением совпадает по фазе ток $I_2$ – ток в резисторе $R_2$ . А ток источника – сумма токов $i_1$ и $I_2$ по закону Кирхгофа:

Полная векторная диаграмма

Видно, что ток источника $I_n$ отстает от вектора напряжения $U$ на угол $\varphi$ .

Мы решили задачу качественно. Решим ее теперь аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. То есть

$K(j \omega)=\frac{\dot U}{\dot i_n}$

А это, по сути, сопротивление (полное, общее) обеих ветвей. Давайте его определим.

$K(j \omega)=\frac{R_2(R_1+j\omega L)}{ R_2+R_1+j\omega L }= \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\frac{1+j\frac{\omega L}{R_1}}{1+\frac{j\omega L }{R_1+R_2}}$

Если источник разомкнуть (холостой ход), то получится цепь, в которой $R_1, R_2$ и $L$ соединены последовательно. Постоянная времени такой цепи

$\tau=\frac{L}{ R_1+R_2}$

А отношение

$\frac{L}{R_1}=\tau_1$

Поэтому

$K(j \omega)= K(j 0)\cdot \frac{1+j\omega \tau_1}{1+j\omega \tau}$

$K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+j\omega \tau_1)( 1- j\omega \tau)}{(1+ j\omega \tau)( 1- j\omega \tau )}\right)$

$K( j\omega)= K(j 0)\cdot \left(\frac{(1+\omega^2 \tau_1\tau+j\omega \tau_1-j\omega \tau)}{1+ \omega^2 \tau^2}\right)$

Модуль этой дроби

$K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{(1+\omega^2\tau \tau_1)^2+\omega^2(\tau_1-\tau)^2}{\left( 1+ \omega^2 \tau^2\rihgt)^2 }}$

$K( \omega)= K(j 0)\cdot \sqrt{\frac{1+2\omega^2\tau \tau_1+\omega^4\tau_1^2\tau^2+\omega^2(\tau_1^2-2\tau \tau_1+\tau^2) }{\left(1+ \omega^2 \tau^2 \right)^2}}$