Олимпиадная подготовка по МКТ: начало.

[latexpage]

Стартовые, несложные задачи для того, чтобы начать олимпиадную подготовку. Подойдут и для подготовки к ЕГЭ тоже.

Задача 1. В процессе расширения идеального газа давление уменьшилось на 2 %, а объем увеличился на 3%. На сколько процентов изменилась абсолютная температура?

Решение. Запишем закон Менделеева-Клапейрона и продифференцируем:

$$pV=\nu R T$$

$$d(pV)=d(\nu RT)$$

$$p dV+ V dp=\nu R dT$$

$$\frac{ p dV+ V dp }{pV}=\frac{\nu R dT }{pV}$$

$$\frac{dV}{V}+\frac{ dp }{p}=\frac{dT }{T}$$

И дальше можно просто подставить: $\frac{dV}{V}=0,03$, $\frac{ dp }{p}=-0,02$,

$$\frac{dT }{T}=-0,02+0,03=0,01$$

Ответ: температура изменилась на 1 %.

Задача 2. В процессе, в котором давление обратно пропорционально квадрату объема $p=\frac{b}{V^2}$ объем газа увеличился в $\alpha=1,5$ раза. При этом его температура понизилась на $\mid \Delta T\mid =100$ К. Найдите начальную температуру $T$ газа.

Решение. Запишем закон Менделеева-Клапейрона для обоих состояний:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

И подставим туда давление.

$$\frac{b}{V_1^2}\cdot V_1=\nu R T_1$$

$$\frac{b}{V_2^2}\cdot V_2=\nu R T_2$$

Разделив уравнения, получим

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_1}{T_1-\Delta T}$$

$$\alpha=\frac{T_1}{T_1-\Delta T}$$

Откуда

$$1-\frac{\Delta T }{T_1}=\frac{1}{\alpha}$$

$$T_1=\Delta T\cdot\frac{\alpha}{\alpha-1}=\frac{1,5\cdot 100}{1,5-1}=300$$

Ответ: 300 К.

Задача 3. Найдите среднюю молярную массу смеси из азота и гелия, в которой на долю азота приходится 56% массы, а на  долю гелия – 44%.

Решение. Полная масса смеси

$$m=m_1+m_2$$

Количество вещества смеси

$$\nu=\frac{m}{M}=\frac{m_1}{\M_1}+\frac{m_2}{M_2}$$

Таким образом,

$$M=\frac{ m_1+m_2}{\frac{m_1}{\M_1}+\frac{m_2}{M_2}}$$

$$M=\frac{0,56m+0,44m}{\frac{0,56m}{0,028}+\frac{0,44m}{0,004}}=0,0077$$

Ответ: 8 г/моль.

Задача 4. В воздухе концентрация азота в $\alpha=4$ раза больше концентрации молекул кислорода. Чему равна суммарная  кинетическая энергия вращения всех молекул кислорода, содержащегося в комнате объемом $V=60$ м$^3$? Считать, что воздух состоит в основном из азота и кислорода. Атмосферное давление $p=10^5$ Па.

Решение. Так как оба газа двухатомные, то полная энергия одной молекулы равна

$$E=\frac{5}{2}kT$$

Если из полной энергии вычесть кинетическую, то получится энергия вращения:

$$E_{vr}=E-E_{kin}=\frac{5}{2}kT-\frac{3}{2}kT=kT$$

Если взять все молекулы, то их энергия вращения будет равна $N\cdot kT$.

$$E_{vr}\cdot N= N\cdot kT=n_{O_2}VkT$$

По закону Дальтона

$$p=p_{O_2}+p_{N_2}= n_{O_2}kT+ n_{N_2}kT= n_{O_2}kT\left(1+\frac{ n_{N_2}}{ n_{O_2}}\right)$$

$$p= n_{O_2}kT(1+\alpha)$$

$$ n_{O_2}kT=\frac{p}{1+\alpha}$$

Подставим этот результат:

$$E_{vr}\cdot N=\frac{pМ}{1+\alpha}=\frac{10^5\cdot 60}{5}=12\cdot 10^5$$

Ответ: 1200 кДж.