Олимпиадная подготовка по МКТ – 9

[latexpage]

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1. Рабочим веществом тепловой машины является $\nu$ молей идеального одноатомного газа, которые совершают замкнутый цикл, состоящий из линейной зависимости давления от объёма на участке 1-2, изобарического процесса 2-3 и линейной зависимости давления от объёма 3-1 (см. рисунок). Величины $p_0$ и $V_0$ считать известными. Найдите:

1. Температуру и давление в точке 3.
2. Работу, совершаемую газом за цикл.
3. Коэффициент полезного действия тепловой машины.

Решение. Запишем уравнение прямой 1-2.

$$p=8p_0-\frac{p_0}{V_0}V$$

Давление в точке 1:

$$p_1=5p_0$$

$$V_1=3V_0$$

В точке 3 давление

$$p_3=p_0$$

Определим объем в точке 3. Для процесса 3-1

$$p_0=\frac{5p_0}{3V_0}V_3$$

$$V_3=\frac{3}{5}V_0$$

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$p_3V_3=\nu RT_3$$

$$T_3=\frac{p_0\cdot \frac{3}{5}V_0}{\nu R}=\frac{3p_0V_0}{5\nu R }$$

Ответим на второй вопрос: надо найти площадь треугольника.

$$A=\frac{1}{2}\cdot 4p_0\cdot\left(7-\frac{3}{5}\right)V_0=12,8p_0V_0$$

Ответим на третий вопрос.

$$\eta=\frac{A}{Q_{pol}}$$

$$dQ=dA+dU$$

В некоторой точке участка 1-2 график касается адиабаты. В этой точке $dQ=0$.

$$pdV+\frac{3}{2}\nu R dT=0~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$p=8p_0-\frac{p_0}{V_0}V$$

$$dp=-\frac{p_0}{V_0}dV$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$dp \cdot V+pdV=\nu R dT$$

Вместо $\nu R dT$ из (1) можно подставить $-\frac{2}{3}pdV$:

$$\frac{5}{2}pdV+\frac{3}{2}Vdp=0$$

$$\frac{5}{2}pdV-\frac{3}{2}V\cdot \frac{p_0}{V_0}dV=0$$

$$5\left(8p_0-\frac{p_0}{V_0}V\right)-\frac{3p_0V}{V_0}=0$$

$$40-\frac{5V}{V_0}-\frac{3V}{V_0}=0$$

$$V=5V_0$$

Таков объем в точке касания графика с адиабатой. Пусть это точка 4.

$$ Q_{pol}=Q_{31}+Q_{14}$$

$$p_4=8p_0-5p_0=3p_0$$

$$ Q_{pol}=\frac{5p_0+p_0}{2}\cdot \left(3-\frac{3}{5}\right)V_0+\frac{5p_0+3p_0}{2}\cdot2V_0+\frac{3}{2}\left(5p_0\cdot 3V_0-\frac{3}{5}p_0V_0\right)=\frac{36+40+108}{5}p_0V_0=\frac{184p_0V_0}{5}$$

$$\eta=\frac{A}{Q_{pol}}=\frac{\frac{64}{5}}{\frac{184}{5}}=\frac{64}{184}=\frac{8}{23}$$

Ответ: $T_3=\frac{3p_0V_0}{5\nu R }$, $A=\frac{64}{5}p_0V_0$, $\eta=\frac{8}{23}$.

Задача 2. Над идеальным одноатомным газом проводят процесс, такой, что давление от объема зависит линейно, причем график проходит через точки ($V_0; 3p_0$) и ($3V_0; p_0$). При каком объеме температура газа максимальна? При каких объемах газ отдает тепло, а при каких получает?

Решение. Зная координаты двух точек, запишем уравнение прямой:

$$p=-kV+b$$

Подставим координаты:

$$3p_0=-kV_0+b$$

$$p_0=-3kV_0+b$$

Вычитаем:

$$2p_0=2kV_0$$

$$p_0=kV_0$$

Определяем $b$:

$$3kV_0=-kV_0+b$$

$$b=4kV_0$$

Получилось следующее:

$$p=-\frac{p_0}{V_0}V+4p_0$$

Линейная зависимость давления от объема, убывающая функция.

$$pV=\nu RT$$

$$(-\frac{p_0}{V_0}V+4p_0)V=\nu RT$$

Получили для температуры квадратичную зависимость – парабола ветвями вниз. То есть ее вершина, в которой температура максимальна, находится в точке

$$\frac{-b}{2a}=\frac{-4p_0}{-2p_0}V_0=2V_0$$

При объеме $2V_0$ температура максимальна.

Теперь найдем точку, в которой $dQ=0$, то есть точку, где графика нашего процесса касается адиабата.

$$dQ=dA+dU$$

$$dQ=0$$

$$pdV+\frac{3}{2}\nu R dT=0~~~~~~~~~~~~(2)$$

$$p=4p_0-\frac{p_0}{V_0}V$$

$$dp=-\frac{p_0}{V_0}dV$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$dp \cdot V+pdV=\nu R dT$$

Вместо $\nu R dT$ из (2) можно подставить $-\frac{2}{3}p dV$:

$$dp \cdot V+pdV=-\frac{2}{3}pdV $$

$$dpV+\frac{5}{3}pdV=0$$

$$-\frac{p_0}{V_0}dV\cdot V+\frac{5}{3}(4p_0-\frac{p_0}{V_0}V)dV=0$$

$$\frac{20p_0}{3}=\frac{8}{3}\frac{p_0V}{V_0}$$

Откуда

$$20V_0=8V$$

$$V=2,5V_0$$

Ответ: максимальная температура при $V=2V_0$. Газ получает тепло до достижения объема $V_Q=2,5V_0$.

Задача 3. С одним молем одноатомного идеального газа происходит процесс, в котором давление газа зависит от объема по закону $p=\alpha-\beta V^3$, где $\alpha, \beta$ – положительные постоянные. Объем газа возрастает. При каких значениях объема газ отдает тепло, а при каких получает?

Решение. Найдем произведение $pV$.

$$pV=\alpha V-\beta V^4$$

Так как температура прямо пропорциональна этому произведению, то возьмет от него произведение, чтобы найти, при каком объеме температура максимальна:

$$(pV)’=\alpha -4\beta V^3=0$$

$$V^3=\frac{\alpha}{4\beta}$$

$$V=\sqrt[3]{ \frac{\alpha}{4\beta}}$$

Так как при этом объеме парабола достигает максимума, то при меньших объемах температура растет, при больших –температура падает.

Теперь найдем точку, в которой $dQ=0$, то есть точку, где графика нашего процесса касается адиабата.

$$dQ=dA+dU$$

$$dQ=0$$

$$pdV+\frac{3}{2}\nu R dT=0~~~~~~~~~~~~(3)$$

$$p=\alpha-\beta V^3$$

$$dp=-3\beta V^2 dV$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$dp \cdot V+pdV=\nu R dT$$

И подставим в него все, что нашли ранее:

$$(\alpha-\beta V^3) dV+V(-3\beta V^2 dV)=-\frac{2}{3}pdV$$

$$\alpha  dV -\beta V^3 dV-3\beta V^3 dV+\frac{2}{3}(\alpha-\beta V^3)dV=0$$

$$\alpha -\beta V^3 – 3\beta V^3 +\frac{2}{3}\alpha-\frac{2}{3}\beta V^3)=0$$

$$\frac{5}{3}\alpha=4\frac{2}{3}\beta V^3$$

$$V=\sqrt[3]{\frac{5\alpha}{14\beta}}$$

Ответ: до значения $V=\sqrt[3]{ \frac{\alpha}{4\beta}}$ температура растет, далее падает. До объема $V=\sqrt[3]{\frac{5\alpha}{14\beta}}$ тепло газ получает, далее отдает.