Олимпиадная подготовка по МКТ – 8

[latexpage]

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1. С идеальным газом проводят циклический процесс 1-2-3-1, график которого в координатах «давление-объем» представляет собой треугольник, причем прямые 1-2, 2-3 и 1-3 являются возрастающими (см. рисунок). Известно, что термодинамический КПД процесса 1-2-3-1 равен $\eta$. Найти КПД процесса 1-4-3-1, если прямая 1-4 делит отрезок 2-3 на части, длины которых 2-4 и 4-3 относятся друг к другу как 1 : 4 соответственно.

К задаче 1

Решение.

$$\eta_{1231}=\eta$$

По определению

$$\eta=\frac{A_{1231}}{Q_{pol}}$$

$$ Q_{pol}=Q_{12}+Q_{23}$$

Аналогично

$$\eta_{1431}=\frac{A_{1431}}{Q_{14}+Q_{43}}$$

Так как площади треугольников (а треугольники 124 и 143 имеют общую высоту) относятся как 1:4, площади треугольников 123 и 143 – как 5:4.

$$A_{1231}=\frac{5}{4}A_{1431}$$

$$Q_{12}+Q_{24}+Q_{41}=A_{1241}=A$$

Так как в замкнутом цикле изменение внутренней энергии равно нулю.

$$\eta=\frac{5A}{ Q_{12}+Q_{23}}$$

$$\eta_{1431}=\frac{4A}{Q_{14}+Q_{43}}$$

$$ Q_{12}+Q_{23}= Q_{12}+Q_{24}+Q_{43}=A+ Q_{14}+Q_{43}$$

$$Q_{12}+Q_{24}=A-Q_{41}$$

$$Q_{41}=-Q_{14}$$

$$Q_{14}+Q_{43}=\frac{5A}{\eta}-A$$

$$\eta_{1431}=\frac{4A}{\frac{5A}{\eta}-A}=\frac{4\eta}{5-\eta}$$

Ответ: $\eta_{1431}=\frac{4\eta}{5-\eta}$.

Задача 2. Какую максимальную работу можно совершить, используя айсберг массой $3\cdot 10^6$ т в качестве холодильника и океан в качестве нагревателя. Считать, что температура айсберга равна $t_1 =0^{\circ}$ С, воды в океане $t_2 = 12^{\circ}$ С. Удельная теплота плавления льда $\lambda=340000$ Дж/кг.

Решение. Проведем с айсбергом и океаном цикл Карно.

$$\eta=\frac{A}{Q_{nagr}}=1-\frac{T_x}{T_{nagr}}$$

$$A= Q_{nagr}\left(1-\frac{T_x}{T_{nagr}}\right)=\lambda m\left(1-\frac{T_x}{T_{nagr}}\right)$$

$Q_{nagr}$ – тепло, необходимое на плавление айсберга.

$$A=\lambda m\left(1-\frac{T_x}{T_{nagr}}\right)=340000\cdot 3\cdot 10^9\left(1-\frac{273}{285}\right)=42,9\cdot 10^{12}$$

Ответ: $4,3\cdot 10^{13}$ Дж.

Задача 3. Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли $pV$-диаграмму замкнутого циклического процесса тепловой машины (рисунок). Процесс 1-2 —  изобара, процесс 2-3 — адиабата, 3-1 — изотерма. От времени чернила выцвели, и координатные оси на диаграмме исчезли. Известно, что рабочим веществом машины был идеальный газ (гелий) в количестве $\nu = 2$ моль. Масштаб по оси давлений: 1 мал. кл. = 1 атм, по оси объемов: 1 мал. кл. =1 л.

К задаче 3

1. Восстановите положение координатных осей и вычислите максимальное давление газа в данном циклическом процессе.
2. Вычислите максимальную и минимальную температуру газа в цикле.
3. Найдите работу газа на изотерме 3-1.
4. Найдите КПД цикла.

Решение. Для любой точки на изотерме

$$pV=(p_3+\Delta p)(V_1+\Delta V)$$

По клеткам считаем: $\Delta p=31$ клетка, $\Delta V=31$ клетка.

Для точки 1: $pV=(p_3+31)V_1$, для точки 3: $pV=p_3(V_1+31)$, и возьмем точку 4 посередине: $pV=(p_3+15,5)(V_1+1)$

Возьмем точку 4

Приравниваем:

$$(p_3+31)V_1=(p_3+15,5)(V_1+1)$$

$$p_3V_1+31V_1=p_3V_1+p_3+15,5V_1+15,5$$

$$15,5V_1=p_3+15,5~~~~~~~~~~~(1)$$

Еще раз приравниваем:

$$ p_3(V_1+31) =(p_3+15,5)(V_1+1)$$

$$p_3V_1+31p_3=p_3V_1+p_3+15,5V_1+15,5$$

$$30p_3=15,5V_1+15,5~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Подставим (1) в (2)

$$30p_3=p_3+31$$

$$29p_3=31$$

$$p_3\sim 1$$

$$V_1\sim 1$$

Теперь, зная объемы и давления ($p_1=32$ кл, $V_3=32$ кл, $V_2=4$ кл) можем определить температуры:

$$T_{min}=T_1=T_3=\frac{p_1V_1}{\nu R}=\frac{32\cdot 10^5\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=193$$

$$T_{max}=\frac{p_2V_2}{\nu R}=\frac{32\cdot 10^5\cdot 4\cdot 10^{-3}}{2\cdot 8,31}=770$$

Считаем работу на изотерме:

$$\mid A\mid =S=\int\limits_{V_1}^{V_3} p dV =\frac{m}{M} RT\int\limits_{V_1}^{V_3} \frac{1}{V}\, dV$$

Найдем определенный интеграл:

$$A=-\nu RT \ln V \Bigr|_{V_1}^{V_3} =-\nu RT (\ln V_3-\ln V_1)=$$  $$= -\nu RT \ln {\frac{V_3}{V_1}}=-2 \cdot 8,31\cdot 193 \ln {31}=-11015$$

Теперь найдем КПД:

$$\eta=\frac{A}{Q_{pol}}$$

$$Q_{pol}=Q_{12}=\frac{5}{2}p\Delta V=2,5\cdot 32\cdot 10^5\cdot 0,003=24000$$

Работу $A$ за цикл я просто посчитала по клеткам. Получилось 120. То есть работа

$$A=120\cdot 10^5\cdot 0,001=12000$$

$$\eta=\frac{12000}{24000}=0,5$$

Ответ: $T_{min}=193$ К, $ T_{max}=770$ К, $A=-11015$ Дж, $\eta=0,5$.