Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Молекулярно-кинетическая теория, Олимпиадная физика, Теплоемкость газа, Уравнение Менделеева-Клапейрона

Олимпиадная подготовка по МКТ – 2

[latexpage]

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1. В массивном металлическом цилиндре высотой $H = 1$ м, закрытом сверху подвижным поршнем, находится идеальный газ. Сверху на поршень аккуратно поставили гирю, отчего поршень сразу же опустился на $\Delta x_1 = 2,5$ см. Через продолжительное время оказалось, что поршень опустился ещё на $\Delta x_2 = 1$ см. Определите молярную теплоёмкость газа при постоянном объёме $C_v$. Температура помещения постоянна, утечка газа отсутствует.

Решение. Под грузом гири поршень опустится быстро и процесс можно считать адиабатным. Поэтому теплообмен не успел произойти, следовательно, первое начало запишется при $Q=0$:

$$C_{\mu}\nu \Delta T=pS\Delta x_1$$

Газ нагреется на $\Delta T$ за счет совершенной над ним работы. Температура газа станет равна $T+\Delta T$. Далее будет изобарный процесс остывания газа:

$$\frac{(H-\Delta x_1)S}{T+\Delta T}=\frac{(H-\Delta x_1-\Delta x_2)S }{T}$$

$$HT-\Delta x_1 T=HT-\Delta x_1 T -\Delta x_2 T+\Delta T H-\Delta T \Delta x_1-\Delta T \Delta x_1$$

Сокращаем справа и слева одинаковые слагаемые, а последними двумя пренебрегаем – они второго порядка малости. Получаем:

$$\Delta x_2 T=\Delta T H$$

Выражаем из первого начала молярную теплоемкость:

$$C_{\mu}=\frac{pS\Delta x_1}{\nu \Delta T}=\frac{pS}{\nu T}\cdot \frac{T}{\Delta T}\cdot \Delta x_1=\frac{pS}{\nu T}\cdot\Delta x_1\cdot\frac{H}{\Delta x_2}=\frac{pV}{\nu T}\cdot\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2}=R\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2}=R\frac{2,5}{1}=2,5R$$

Ответ: $ C_{\mu}=2,5R$.

 

Задача 2. В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, совершенного над фиксированным количеством одноатомного идеального газа (рисунок). От времени чернила выцвели, и информация про направления некоторых процессов была утрачена. Также была утрачена и информация про то, что отложено по оси абсцисс. Известно лишь, что на оси абсцисс отложена одна из следующих величин: объем, давление, температура или плотность, а шкала выполнена в условных единицах. По оси ординат отложена молярная теплоемкость газа $C$. Найдите максимально возможный КПД цикла.

К задаче 2

Решение. Рассмотрим график. По теплоемкостям понятно, что процесс сверху (с теплоемкостью $\frac{5R}{2}$)– изобарный, процесс, изображенный точкой (с теплоемкостью $\frac{3R}{2}$)– изохорный. Значит, на оси абсцисс либо объем, либо плотность.

Остается процесс с теплоемкостью $2R$. Запишем для него теплоемкость:

$$C=\frac{dQ}{dT}=\frac{dU+dA}{dT}=\frac{\frac{3}{2}\left(pdV+Vdp\right)+pdV}{\frac{1}{R}\left(pdV+Vdp\right)}=2R$$

$$\frac{\frac{3}{2}\left(pdV+Vdp\right)+pdV}{\left(pdV+Vdp\right)}=2$$

$$\frac{3}{2}(pdV+Vdp)+pdV=2 pdV+2Vdp$$

$$0,5pdV=0,5Vdp$$

$$ pdV=Vdp$$

$$\frac{dp}{dV}=\frac{p}{V}$$

Давление в этом процессе прямо зависит от объема.

Теперь можем попробовать изобразить данный процесс, если по оси абсцисс отложен объем. Тогда объем увеличивается при постоянном давлении, затем идет линейный процесс с теплоемкостью $2R$, причем объем уменьшается, а затем изохорно газ нагревается:

По оси абсцисс отложен объем

Определяем КПД:

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot 2V}{\frac{3}{2}(3p\cdot 3V -pV)+3p_0\cdot 2V_0}=\frac{2pV}{18pV}=\frac{1}{9}$$

А если по оси абсцисс отложена плотность, и плотность растет – значит, объем уменьшается и график будет выглядеть иначе:

По оси абсцисс – плотность

Считаем КПД в этом случае:

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 2p\cdot 2V}{\frac{3}{2}(3p\cdot 3V -pV)+\frac{p_0+3p_0}{2}\cdot 2V_0}=\frac{2pV}{16pV}=\frac{1}{8}$$

Максимальный КПД – $\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *