Олимпиадная подготовка по МКТ – 12

[latexpage]

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят летом.

Задача 1. В цилиндре под легким подвижным поршнем находится смесь воздуха и равных по массе количеств воды и водяного пара. При медленном изотермическом уменьшении давления на поршень от $p_0$ до $\frac{2}{3}p_0$ вся вода испаряется. Найти давление пара в условиях опыта. Объемом воды пренебречь.

Решение. Так как объемом воды можно пренебречь, то масса $m$ пара занимает объем $V$ сосуда. Пар насыщен. Для того, чтобы вся вода испарилась (а ее масса тоже $m$) нужно предоставить ей тоже объем $V$. То есть в конце объем под поршнем равен $2V$.

Пусть давление насыщенного пара равно $p_n$. Оно не изменится – так как пар как был насыщенным, так и остался. А вот давление воздуха изменилось. Он занимал объем $V$, а стал занимать объем $2V$ – значит, если его давление было равно $p_v$, то стало равно $\frac{1}{2}p_v$. Тогда вначале:

$$p_0=p_n+p_v$$

В конце:

$$\frac{2}{3}p_0=p_n+\frac{p_v}{2}$$

Вычтем уравнения:

$$\frac{1}{3}p_0=\frac{p_v}{2}$$

$$p_v=\frac{2}{3}p_0$$

Таким образом,

$$p_0=p_n+p_v= p_n+\frac{2}{3}p_0$$

$$p_n =\frac{1}{3}p_0$$

Ответ: $p_n =\frac{1}{3}p_0$.

Задача 2. В вертикальном цилиндре под гладким невесомым поршнем находится воздух влажностью $\varphi = 0,5$. При этом число молей сухого воздуха в $n = 5$ раз превышает количество молей водяного пара. Во сколько раз $m$ надо изотермически изменить внешнее давление, чтобы количество пара в цилиндре за счёт его конденсации уменьшилось в $k= 2$ раза?

Решение. Пусть давление насыщенного пара $p_n$. Тогда вначале давление пара равно $0,5p_n$ – ведь его влажность равна 0,5. Пусть сначала объем сосуда $V$. Тогда, если объем довести до $\frac{V}{2}$, пар станет насыщенным. И вот теперь, из этого состояния, его объем надо уменьшить еще в 2 раза, с тем чтобы его количество сократилось вдвое. То есть конечный объем сосуда равен $\frac{V}{4}$. А это означает, что давление сухого воздуха возросло в 4 раза. Пусть вначале давление сухого воздуха равно $p_v$, тогда в конце – $4p_v$.

$$p_1=p_v+0,5p_n$$

$$p_2=4p_v+p_n$$

Так как количества вещества пара и воздуха вначале относятся как $5:1$, то по закону Менделеева-Клапейрона и давления будут относиться также:

$$p_v=\frac{5}{6}p_1$$

$$0,5p_n=\frac{1}{6}p_1$$

Тогда

$$p_n=\frac{1}{3} p_1$$

В конце по закону Менделеева-Клапейрона и давления будут относиться как $5:0,5=10:1$. То есть

$$p_n=\frac{1}{11}p_2$$

Таким образом, поскольку давление насыщенного пара неизменно, то

$$\frac{1}{3}p_1=\frac{1}{11}p_2$$

Или

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{11}{3}$$

Ответ: $\frac{p_2}{p_1}=\frac{11}{3}$.