Олимпиадная подготовка по МКТ – 1

[latexpage]

Задачи на разные темы, которые решены были летом при подготовке группы ребят к олимпиадам.

Задача 1. Со дна глубокого озера всплывает пузырёк воздуха. На него действует сила сопротивления $F = k \upsilon r$, где $r$ – радиус пузырька, $\upsilon$ – его скорость, $k$ – постоянная. Вблизи дна радиус пузырька $r_0 = 1,0$ мм. На рисунке представлен график зависимости глубины $h$, на которой находится пузырёк, от времени $t$, прошедшего от начала его движения.

1) Какова глубина озера?

2) За какое время $\tau_1$ всплывёт пузырёк, радиус которого у дна водоёма равен $r_1 = 0,5$ мм?

3) За какое время $\tau_2$ пузырёк, радиус которого у дна водоёма равен $r_0 = 1,0$ мм, всплывёт со дна водоёма глубиной $H_2 = 10$ м?

К задаче 1

Решение. Запишем закон Бойля-Мариотта:

$$p_1V_1=p_2V_2$$

Рассматриваем пузырек на глубинах $H$ и $h$:

$$(p_0+\rho g H)\cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3=(p_0+\rho g h) \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

$$r=r_0\sqrt[3]{\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0+\rho g h}}$$

Если $h=0$, то

$$r=r_0\sqrt[3]{\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0}}$$

Сила сопротивления равна силе Архимеда, запишем для обеих глубин:

$$\rho g\cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3=k\upsilon_0 r_0$$

$$\rho g\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=k\upsilon r$$

Разделим эти два уравнения друг на друга:

$$\frac{\upsilon_0}{\upsilon}=\left(\frac{r_0}{r}\right)^2=\left(\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0}\right)^{-\frac{2}{3}}~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Чтобы определить $\upsilon_0$ и $\upsilon$, спрямим график и возьмем угол наклона касательной:

Проводим касательные, чтобы спрямить график

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{0,4H}{2,4}=\frac{H}{6}=0,16H$$

$$\operatorname{tg}\beta=\frac{0,44H}{1,5}=0,29H$$

$$\frac{\upsilon_0}{\upsilon}=\frac{0,16}{0,29}=0,55$$

Вернемся к (1)

$$\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0}=\left(\frac{\upsilon_0}{\upsilon}\right)^{-\frac{3}{2}}=0,55^{-\frac{3}{2}}=2,44$$

Таким образом,

$$\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0}=1+\frac{ \rho g H }{ p_0}=2,44$$

$$\frac{ \rho g H }{ p_0}=1,44$$

$$H=\frac{1,44p_0}{\rho g}=\frac{1,44\cdot 10^5}{10^4}=14,4$$

На первый вопрос ответили, глубина озера 14,4 м.

$$\frac{\upsilon_0}{\upsilon}=\left(\frac{r_0}{r}\right)^2$$

То есть

$$\upsilon\sim r^2$$

$$\tau\sim \frac{1}{r^2}$$

То есть, если радиус уменьшается вдвое, то скорость – вчетверо. Значит, время подъема увеличится вчетверо при той же глубине. Время подъема пузырька радиусом 1 мм равно (из графика) 4,5 с, время подъема пузырька радиусом 0,5 мм – 18 c.

Найдем радиус пузырька, имевшего $r_0 = 1$ мм на глубине 14 м, когда он достигнет глубины 10 м.

$$r_x=r_0\sqrt[3]{\frac{ p_0+\rho g H }{ p_0+\rho g h}}=r_0\sqrt[3]{ \frac{10^5+10^4\cdot 14,4}{ 10^5+10^4\cdot 10 }}=1,069r_0$$

Так как

$$\tau\sim \frac{1}{r^2}$$

То

$$\frac{\tau_2}{\tau_x}=\left(\frac{r_x}{r_0}\right)^2=1,069^2=1,14$$

$$\tau_2=1,14\tau_x$$

Здесь $\tau_x$ из графика находим. Если глубина 10 м, это $0,71h$, и по графику с такого уровня движение пузырька займет 2,9 с.

$$\tau_2=1,14\cdot 2,9=3,3$$

Ответ: $H=14,4$ м, $\tau_1=18$ с, $\tau_2=3,3$ с.

Задача 2. Развивая молекулярно-кинетическую теорию, Й. Лошмидт в 1865 году предложил первый способ оценки размера и массы молекулы. Он использовал известные в его время данные о длине свободного пробега — расстоянии, которое пролетает молекула газа в промежутке между столкновениями (оно выражается через определяемые из опыта коэффициенты вязкости и теплопроводности). Вслед за Лошмидтом получите формулы для оценки по порядку величины размера молекулы $r_0$ и её массы $m_0$ по известным данным — длине свободного пробега $\lambda$ и плотностям вещества $\rho$ и $\rho_g$ в газообразном и жидком состояниях. Получите ответ в общем виде и для числовых значений $\lambda = 10^{-7}$ м, $\rho_g = 10^3$ кг/м$^3$, $\rho = 10$ кг/м$^3$.

Решение. Плотность жидкости

$$\rho_g=\frac{m}{V}=\frac{N m_0}{N\cdot \frac{4}{3}\pi r_0^3}$$

$$\rho_g\sim \frac{m_0}{r_0^3}$$

За время $\Delta t$ полета молекула заметает коридор объемом

$$\Delta V=\upsilon\Delta t\cdot \pi r_0^2$$

Сколько совершится ударов?

$$N_{ud}=n\Delta V=\upsilon\Delta t\cdot \pi r_0^2 n$$

$N_{ud}$ – количество ударов за время $\Delta t$.

Между ударами пройдет время

$$t_0=\frac{\Delta t }{ N_{ud}}=\frac{\Delta t }{\upsilon\Delta t\cdot \pi r_0^2 n }=\frac{1}{\upsilon\cdot \pi r_0^2 n }$$

Длина свободного пробега

$$\lambda=\upsilon t_0=\frac{1}{\pi r_0^2 n }$$

Концентрация

$$n=\frac{N}{V}=\frac{m}{m_0}\cdot \frac{1}{V}=\frac{\rho}{m_0}$$

$$\lambda=\frac{m_0}{\pi r_0^2 \rho }$$

Плотность жидкости

$$\rho_g\sim \frac{m_0}{r_0^3}$$

$$\lambda\sim \frac{m_0}{ r_0^2 \rho}$$

$$r_0=\lambda\frac{\rho}{\rho_g}=10^{-7}\cdot \frac{1}{10^3}=10^{-10}$$

Или 1 ангстрем.

$$m_0=\rho_g \left(\lambda\frac{\rho}{\rho_g}\right)^3=\frac{\rho^3}{\rho_g^2}\lambda^3=\frac{10^{-21}}{10^9}=10^{-30}$$

Ответ: $r_0=1$ А, $m_0=10^{-30}$ кг.

Задача 3. Цилиндрический сосуд с идеальным газом разделён теплонепроницаемыми перегородками на три отсека (на рисунке вид на сечение сосуда сверху). В каждой перегородке есть отверстие, размер которого мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Температуры газа в отсеках сосуда поддерживаются постоянными и равными $T_1, T_2$ и $T_3$. Давление в первом отсеке $p_1$ известно. Найдите давления $p_2$ и $p_3$ во втором и третьем отсеках.

К задаче 3

Решение. Размер отверстия мал – значит, молекула пролетает его, ни с кем не сталкиваясь.

$$N=n\Delta V=n\upsilon \Delta t S$$

$$N_{12}=N_{21}$$

(сколько пролетело туда, столько и обратно).

Молекулы не сталкиваются, поэтому температуры не сравниваются.

$$n_1\upsilon_1=n_2\upsilon_2$$

Далее используем формулы:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$$

$$p=nkT$$

Из них

$$\frac{p_1}{T_1}\sqrt{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\sqrt{T_2}$$

$$\frac{p_1}{\sqrt{T_1}}=\frac{p_2}{\sqrt{T_2}}$$

Тогда по аналогии

$$\frac{p_2}{\sqrt{T_2}}=\frac{p_3}{\sqrt{T_3}}$$

Ответ: $p_2=p_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$; $p_3=p_1\sqrt{\frac{T_3}{T_1}}$.