Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон сохранения импульса, Законы сохранения энергии, Олимпиадная физика, Относительность движения

Олимпиадная подготовка по динамике – 5

[latexpage]

Хорошие, интересные задачи по динамике, решений многих из которых в сети нет.

Задача 1. На столе один на другом лежат три одинаковых длинных бруска. Их поверхности обработаны так, что коэффициенты трения скольжения между ними равны соответственно $\mu, 2\mu$ и $3\mu$. По нижнему бруску ударяют молотком. Направление удара горизонтально. Найдите время, через которое система вернётся в состояние покоя. Известно, что после удара по верхнему бруску, сообщившему ему ту же скорость $\upsilon_0$, что и скорость нижнего бруска в результате удара по нему, система вернулась в состояние покоя через время $t_0=3$ с.

К задаче 1

Решение. Удар по верхнему бруску.

$$-\mu m g=-ma$$

$$a=\mu g$$

Средний брусок будет при этом покоиться – так как сила трения нижней поверхности о нижний брусок больше, чем сила трения между верхним и нижним брусками.

$$t_0=\frac{\upsilon_0}{\mu g}$$

Удар по нижнему бруску. Возникнут силы трения:

Возникли силы трения

$$F_{tr1}=3\mu \cdot 3mg=9\mu m g$$

$$F_{tr2}=2\mu \cdot 2mg=4\mu m g$$

$$F_{tr3}=\mu m g$$

Ускорения брусков:

$$a_1=\frac{ F_{tr1}+ F_{tr2}}{m}=13\mu g$$

$$a_2=\frac{ F_{tr2}- F_{tr3}}{m}=3\mu g$$

$$a_3=\mu g$$

Построим зависимость скорости от времени. Пока скорости брусков разные, силы трения между ними существуют. Когда скорости сравниваются, соответствующая сила трения исчезает.

Зависимость скорости от времени

На первом участке графика скользят все три бруска, затем в точке 1 бруски 1 и 2 склеиваются, и сила трения $ F_{tr2}$ исчезает. В точке 2 склеиваются все три бруска – исчезает сила трения $ F_{tr3}$.

Пусть сравнялись скорости брусков 1 и 2 (слева – скорость нижнего бруска, справа – среднего):

$$\upsilon_0-13\mu g t_1=3\mu g t_1$$

$$\upsilon_0=16\mu g t_1$$

$$t_1=\frac{\upsilon_0}{16\mu g }$$

Два нижних склеились

Определим скорости двух нижних склеившихся брусков и скорость верхнего.

$$\upsilon_{12}=a_2 t_1=\frac{3}{16}\upsilon_0$$

$$\upsilon_3=a_3 t_1=\frac{1}{16}\upsilon_0$$

Теперь на склеившиеся бруски действуют две силы – $F_{tr1}$ и $F_{tr3}$. Ускорение их будет равно

$$a_{12}=\frac{ F_{tr1}+ F_{tr3}}{2m}=\frac{9\mu m g+\mu mg}{2m}=5\mu g$$

Теперь сравниваются скорости двух нижних склеившихся брусков и третьего, верхнего (слева – скорость нижних брусков, справа – верхнего):

$$\frac{3}{16}\upsilon_0-5\mu g \Delta t=\frac{1}{16}\upsilon_0+\mu g \Delta t$$

$$\frac{1}{8}\upsilon_0=6\mu g \Delta t$$

$$\Delta t=\frac{\upsilon_0}{48\mu g }$$

По прошествии этого времени бруски имеют скорость

$$\upsilon_{123}=\Delta t(a_{12}+a_3)= \frac{\upsilon_0}{48\mu g }\cdot 6\mu g=\frac{\upsilon_0}{12}$$

По прошествии этого времени все три бруска склеились и тормозят все вместе. Определим их ускорение

$$a_{123}=\frac{9\mu m g}{3m}=3\mu g$$

Определим время, за которое скорости склеившихся брусков станут равными нулю:

$$0=\upsilon_{123}-a_{123}\Delta t_1$$

$$\Delta t_1=\frac{\upsilon_0}{36\mu g}$$

$$t=t_1+\Delta t+\Delta t_1=\frac{\upsilon_0}{16\mu g }+\frac{\upsilon_0}{48\mu g }+\frac{\upsilon_0}{36\mu g }=\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{48}\right)t_0$$

Ответ: $t=\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{48}\right)t_0$.

Задача 2. Горка массой $4m$ с шайбой массой $m$ покоятся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). От незначительного толчка шайба начинает скользить по горке без трения, не отрываясь от неё, и покидает горку. Горка, не отрывавшаяся от стола, приобретает скорость $u$. С какой скоростью шайба упадёт на стол? Нижняя часть поверхности горки составляет угол $30^{\circ}$ с вертикалью и находится на расстоянии $H$ от поверхности стола. Направления всех движений параллельны плоскости рисунка.

К задаче 2

Решение. Запишем закон сохранения импульса:

$$0=-4mu+m\upsilon_x$$

$$\upsilon_x=4u$$

Запишем закон сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon^2}{2}+mgH=\frac{m\upsilon_k^2}{2}~~~~~~~(1)$$

Составим треугольник скоростей:

Треугольник скоростей

$$\vec{\upsilon_3}=\vec{\upsilon_{tg}}+\vec{\upsilon_g}$$

$\vec{\upsilon_3}$ – скорость относительно земли, $\upsilon_{tg}$ – скорость тела относительно горки, $\upsilon_g$ – скорость горки.

Из треугольника скоростей

$$\upsilon_{3x}=4u=\upsilon_{tg}\sin \gamma-u$$

$$\upsilon_{tg}=\frac{5u}{\sin \gamma }$$

$$\upsilon_{3y}=\upsilon_{tg_y}=\upsilon_{tg}\cos \gamma=5u\operatorname{ctg}\gamma$$

$$\upsilon_3=\sqrt{\upsilon_{3x}^2+\upsilon_{3y}^2}=\sqrt{6u^2+25u^2\operatorname{ctg}^2\gamma }$$

$$\upsilon_3=u\sqrt{16+25\operatorname{ctg}^2\gamma}=u\sqrt{91}$$

Вернемся к (1):

$$\upsilon_k=\sqrt{2gH+\upsilon^2}=\sqrt{2gH+91u^2}$$

Ответ: $\upsilon_k=\sqrt{2gH+91u^2}$.

Задача 3. На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска, прижатая однородным стержнем (рисунок). Стержень наклонен под углом $\alpha$, а верхний его конец шарнирно закреплен. Для того, чтобы вытащить доску из под стержня, к ней надо приложить горизонтальную силу $F_1$, направленную влево, или $F_2$, направленную вправо. Найти коэффициент трения между доской и стержнем. При каком значении коэффициента трения доску будет невозможно вытащить вправо?

К задаче 3

Решение. Рассмотрим доску. Она лежит на гладкой поверхности, поэтому, если ее тянуть влево, то на нее действует сила $F_1$ и равная ей по модулю сила $F_{tr1}$ со стороны стержня.

$$F_1= F_{tr1}$$

Рассмотрим стержень. С ним сложнее: кроме силы тяжести, силы реакции опоры, силы трения на него еще действует сила в шарнире, и куда она направлена, неизвестно.

Силы на стержень

Составим уравнение моментов относительно шарнира, как раз чтобы избавиться от неизвестной $T$.

$$N_1 l \cos \alpha+F_{tr1} l \sin \alpha-mg\cdot \frac{l}{2}\cos \alpha=0$$

$$\mu N_1 \operatorname{tg}\alpha+N_1=\frac{mg}{2}$$

$$\mu N_1=F_1$$

Тогда

$$F_1\operatorname{tg}\alpha +\frac{F_1}{\mu}=\frac{mg}{2}$$

Это наше первое уравнение. Теперь будем тянуть доску вправо. Сила трения на  стержень развернется и уравнение получится точно таким же, только один знак изменится:

$$N_2 l \cos \alpha-F_{tr2} l \sin \alpha-mg\cdot \frac{l}{2}\cos \alpha=0$$

$$\mu N_2 \operatorname{tg}\alpha-N_2=\frac{mg}{2}$$

$$\mu N_2=F_2$$

Тогда

$$F_2\operatorname{tg}\alpha -\frac{F_2}{\mu}=\frac{mg}{2}$$

Это наше второе уравнение. Из этих двух уравнений

$$ F_1\operatorname{tg}\alpha +\frac{F_1}{\mu}= F_2\operatorname{tg}\alpha -\frac{F_2}{\mu}$$

$$\frac{F_2-F_1}{\mu}=(F_1+F_2) \operatorname{tg}\alpha$$

$$\mu=\frac{ F_2-F_1}{ (F_1+F_2)\operatorname{tg}\alpha}$$

Теперь самый сложный вопрос – последний, про силу, когда доску невозможно будет вытащить.

Выразим $F_2$:

$$F_2=\frac{\frac{mg}{2}}{\frac{1}{\mu}-\operatorname{tg}\alpha }$$

При «неудачном» $\mu$ знаменатель может быть нулевым или отрицательным. Тогда

$$\frac{1}{\mu}-\operatorname{tg}\alpha>0$$

$$\mu \operatorname{tg}\alpha <1$$

$$\mu<\operatorname{ctg}\alpha$$

Второй способ оценить $\mu$ – ввести силу $R$, которая является суммой силы трения и силы реакции. Если $R$ направлена вдоль стержня или вниз – она некомпенсирована. Значит, она должна быть направлена выше стержня, чтобы ее момент и момент силы тяжести компенсировались.

Сила R является суммой реакции опоры и силы трения

То есть

$$\operatorname{tg}\varphi>\operatorname{tg}\alpha$$

$$\operatorname{tg}\varphi=\frac{N}{\mu N}=\frac{1}{\mu}$$

Выходит,

$$\frac{1}{\mu}>\operatorname{tg}\alpha$$

$$\mu<\operatorname{ctg}\alpha$$

Ответ: $\mu=\frac{ F_2-F_1}{ (F_1+F_2)\operatorname{tg}\alpha}$, $\mu<\operatorname{ctg}\alpha$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *