[latexpage]
Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”
Задача 1. Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось ее симметрии вертикальна.

К задаче 1
На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой $m$, удерживая ее у одного из краев проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусина будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры $L$ и $H$, указанные не рисунке, известны.

Движение по бусинке аналогично броску под углом к горизонту
Решение. Для бусинки в самой нижней точке
$$ma_n=N-mg$$
$$\frac{m\upsilon^2}{R_{kr}}= N-mg$$
Где $R_{kr}$ – радиус кривизны.
Бусинка движется по параболе, как двигался бы брошенный под углом к горизонту объект. Ускорение в нижней точке равно $g$, а скорость – $\upsilon\cos\alpha$:
$$g=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha}{R_{kr}}$$
$$ R_{kr}=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha }{g}$$
Расстояние $L$ бусинка пройдет со скоростью $\upsilon\cos\alpha$ за время $t$, до самой нижней точки она доберется за время $\frac{t}{2}$.
$$L=\upsilon\cos\alpha \cdot t$$
$$\upsilon\cos\alpha=\frac{L}{t}$$
$$H=\frac{g\left(\frac{t}{2}\right)^2}{2}=\frac{gt^2}{8}$$
$$t=\sqrt{\frac{8H}{g}}$$
$$\upsilon\cos\alpha=\frac{L\sqrt{g}}{\sqrt{8H}}$$
Подставим в формулу для радиуса кривизны:
$$ R_{kr}=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha }{g}=\frac{L^2g}{8Hg}=\frac{L^2}{8H}$$
При движении бусинки сверху вниз выполняется:
$$\frac{m\upsilon^2}{2}=mgH$$
$$\upsilon^2=2gH$$
Возвращаемся ко второму закону:
$$N=mg+\frac{m c\dot 2gH\cdot 8H}{L^2}=mg\left(1+\frac{2H\cdot 8H}{L^2}\right)= mg\left(1+\frac{16H^2}{L^2}\right)$$
Бусинка давит на проволоку с силой, которая по модулю (по третьему закону) равна $N$/
Ответ: $F=N= mg\left(1+\frac{16H^2}{L^2}\right)$.
Задача 2. В системе, изображенной на рисунке, цилиндрический груз массой $m_1$ движется внутри цилиндрического канала чуть большего диаметра, просверленного внутри тела массой $m_2$. Нить, соединяющая грузы $m_1$ и $m_3$, невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Чему равно ускорение груза массой $m_1$ ? Ускорение свободного падения равно $g$, участок нити между блоками горизонтален.

К задаче 2
Решение. Пусть груз 3 едет вниз. Его ускорение – $a_3$. Тогда груз 1 – вверх. Трения нет, поэтому груз 2 тоже не покоится, а поедет вправо. Его ускорение – $a_2$. Груз 1 поедет вправо вместе с грузом 2 – то есть он будет иметь две составляющих ускорения – горизонтальную и вертикальную. Пусть вертикальная составляющая ускорения этого груза $a_1$.
Расставим силы:

Расстановка сил в задаче
По второму закону Ньютона:
$$-m_3a_3=m_3g-T$$
$$(m_1+m_2)a_2=T$$
$$m_1a_1=T-m_1g$$
Выразим ускорения:
$$a_1=\frac{T}{m_1}-g$$
$$a_2=\frac{T}{m_1+m_2}$$
$$a_3=\frac{T}{m_3}-g$$
Кусок нити между блоком и грузом $m_1$ уменьшается, кусок нити между блоками – уменьшается, кусок нити, на котором висит $m_3$ – увеличивается. Вся нить – неизменной длины. Поэтому сумма длин кусков постоянна. При двойном дифференцировании получим
$$-a_1-a_2-a_3=0$$
Последний минус – так как ускорение направлено против оси (груз едет вниз).
$$\frac{T}{m_1}-g+\frac{T}{m_1+m_2}+\frac{T}{m_3}-g=0$$
$$\frac{T}{m_1}+\frac{T}{m_1+m_2}+\frac{T}{m_3}=2g$$
$$T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_1+m_2}+\frac{1}{m_3}\right)=2g$$
$$T\left(\frac{m_3(m_1+m_2)}{m_1m_3(m_1+m_2)}+\frac{m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}+\frac{m_1(m_1+m_2)}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g$$
$$T\left(\frac{m_3m_2+m_1^2+m_1m_2+2m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g$$
$$T\left(\frac{ m_2 (m_1+m_3)+m_1(m_1+m_3)+m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g$$
$$T\left(\frac{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g$$
$$T=\frac{2g m_1m_3 (m_1+m_2)}{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}$$
Осталось определить ускорения.
$$a_1=\frac{T}{m_1}-g=\frac{2g m_3 (m_1+m_2)}{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}-g=\frac{m_2(m_3-m_1)-m_1^2}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g$$
Мы помним, что это лишь вертикальная составляющая ускорения первого груза. Есть еще горизонтальная – она равна $a_2$.
$$a_2=\frac{T}{m_1+m_2}=\frac{2m_1m_3}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g $$
Полное ускорение первого груза $a$
$$a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\frac{\sqrt{(2m_1m_3)^2+(m_2(m_3-m_1)-m_1^2)^2}}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g$$
Ответ: $a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\frac{\sqrt{(2m_1m_3)^2+(m_2(m_3-m_1)-m_1^2)^2}}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g$
Задача 3. На краю полусферической чаши радиусом $R$ закреплена невесомая нить длиной $\frac{R}{2}$ (в точке A), ко второму концу которой прикреплено маленькое тело. Тело удерживают на краю ямы так, что нить натянута.

К задаче 3
В некоторый момент времени тело отпускают. Найти скорость и ускорение тела в тот момент, когда оно будет проходить нижнюю точку своей траектории.
Решение. Уравнение сферы
$$x^2+y^2+z^2=R^2$$
И, раз тело находится на сфере, его координаты удовлетворяют данному уравнению.

Движение бусинки по поверхностям двух сфер
Когда тело отпустят, при его движении расстояние от тела до точки А не меняется. То есть координаты тела должны удовлетворять еще и уравнению сферы с радиусом $\frac{R}{2}$, центр которой – в точке А:
$$(x+R)^2+y^2+z^2=\frac{R^2}{4}$$
Вычтем уравнения.
$$ x^2 -(x+R)^2=\frac{3R^2}{4}$$
$$x^2-(x^2+2xR+R^2)=\frac{3R^2}{4}$$
$$-2xR=\frac{7R^2}{4}$$
$$-2x=\frac{7R}{4}$$
$$x=-\frac{7R}{8}$$
То есть мы доказали, что расстояние от центра сферы (по оси $Ox$), на котором тело находится при своем движении, постоянно. То есть тело движется в плоскости, параллельной плоскости $yOz$. Значит, тело движется в вертикальной плоскости по окружности.
Определим радиус этой окружности по рисунку справа:
$$R_x^2=R^2-\frac{49}{64}R^2=\frac{15R^2}{64}$$
$$R_x=\frac{R\sqrt{15}}{8}$$
Ускорение тела – нормальное – направлено вертикально вверх, когда тело находится в нижней точке своей траектории.
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{ R_x}$$
По закону сохранения энергии потенциальная переходит в кинетическую:
$$mg R_x =\frac{m\upsilon^2}{2}$$
$$g R_x =\frac{\upsilon^2}{2}$$
$$\upsilon^2=2R_x g$$
Вернемся к ускорению:
$$a_n=\frac{\upsilon^2}{ R_x}=\frac{2R_x g }{ R_x}=2g$$
Ответ: $a_n=2g$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...