Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика, Олимпиадная физика

Олимпиадная динамика – 4

Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”

Задача 1. Отрезок проволоки изогнут в виде симметричного участка параболы и расположен так, что ось ее симметрии вертикальна.

К задаче 1

На этот отрезок надевают маленькую бусинку массой m, удерживая ее у одного из краев проволоки. Затем бусинку отпускают без начальной скорости, и она начинает скользить по проволоке под действием силы тяжести. Найдите модуль силы, с которой бусина будет давить на проволоку, находясь в самой нижней точке своей траектории. Трение пренебрежимо мало. Размеры L и H, указанные не рисунке, известны.

Движение по бусинке аналогично броску под углом к горизонту

Решение. Для бусинки в самой нижней точке

    \[ma_n=N-mg\]

    \[\frac{m\upsilon^2}{R_{kr}}= N-mg\]

Где R_{kr} – радиус кривизны.

Бусинка движется по параболе, как двигался бы брошенный под углом к горизонту объект. Ускорение в нижней точке равно g, а скорость – \upsilon\cos\alpha:

    \[g=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha}{R_{kr}}\]

    \[R_{kr}=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha }{g}\]

Расстояние L бусинка пройдет со скоростью \upsilon\cos\alpha за время t, до самой нижней точки она доберется за время \frac{t}{2}.

    \[L=\upsilon\cos\alpha \cdot t\]

    \[\upsilon\cos\alpha=\frac{L}{t}\]

    \[H=\frac{g\left(\frac{t}{2}\right)^2}{2}=\frac{gt^2}{8}\]

    \[t=\sqrt{\frac{8H}{g}}\]

    \[\upsilon\cos\alpha=\frac{L\sqrt{g}}{\sqrt{8H}}\]

Подставим в формулу для радиуса кривизны:

    \[R_{kr}=\frac{\upsilon^2\cos^2 \alpha }{g}=\frac{L^2g}{8Hg}=\frac{L^2}{8H}\]

При движении бусинки сверху вниз выполняется:

    \[\frac{m\upsilon^2}{2}=mgH\]

    \[\upsilon^2=2gH\]

Возвращаемся ко второму закону:

    \[N=mg+\frac{m c\dot 2gH\cdot 8H}{L^2}=mg\left(1+\frac{2H\cdot 8H}{L^2}\right)= mg\left(1+\frac{16H^2}{L^2}\right)\]

Бусинка давит на проволоку с силой, которая по модулю (по третьему закону) равна N/

Ответ: F=N= mg\left(1+\frac{16H^2}{L^2}\right).

 

Задача 2. В системе, изображенной на рисунке, цилиндрический груз массой m_1 движется внутри цилиндрического канала чуть большего диаметра, просверленного внутри тела массой m_2. Нить, соединяющая грузы m_1 и m_3, невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Чему равно ускорение груза массой m_1 ? Ускорение свободного падения равно g, участок нити между блоками горизонтален.

К задаче 2

Решение. Пусть груз 3 едет вниз. Его ускорение – a_3. Тогда груз 1 – вверх. Трения нет, поэтому груз 2 тоже не покоится, а поедет вправо. Его ускорение – a_2. Груз 1 поедет вправо вместе с грузом 2 – то есть он будет иметь две составляющих ускорения – горизонтальную и вертикальную. Пусть вертикальная составляющая ускорения этого груза a_1.

Расставим силы:

Расстановка сил в задаче

По второму закону Ньютона:

    \[-m_3a_3=m_3g-T\]

    \[(m_1+m_2)a_2=T\]

    \[m_1a_1=T-m_1g\]

Выразим ускорения:

    \[a_1=\frac{T}{m_1}-g\]

    \[a_2=\frac{T}{m_1+m_2}\]

    \[a_3=\frac{T}{m_3}-g\]

Кусок нити между блоком и грузом m_1 уменьшается, кусок нити между блоками – уменьшается, кусок нити, на котором висит m_3 – увеличивается. Вся нить – неизменной длины. Поэтому сумма длин кусков постоянна. При двойном дифференцировании получим

    \[-a_1-a_2-a_3=0\]

Последний минус – так как ускорение направлено против оси (груз едет вниз).

    \[\frac{T}{m_1}-g+\frac{T}{m_1+m_2}+\frac{T}{m_3}-g=0\]

    \[\frac{T}{m_1}+\frac{T}{m_1+m_2}+\frac{T}{m_3}=2g\]

    \[T\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_1+m_2}+\frac{1}{m_3}\right)=2g\]

    \[T\left(\frac{m_3(m_1+m_2)}{m_1m_3(m_1+m_2)}+\frac{m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}+\frac{m_1(m_1+m_2)}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g\]

    \[T\left(\frac{m_3m_2+m_1^2+m_1m_2+2m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g\]

    \[T\left(\frac{ m_2 (m_1+m_3)+m_1(m_1+m_3)+m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g\]

    \[T\left(\frac{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}{ m_1m_3 (m_1+m_2)}\right)=2g\]

    \[T=\frac{2g m_1m_3 (m_1+m_2)}{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\]

Осталось определить ускорения.

    \[a_1=\frac{T}{m_1}-g=\frac{2g m_3 (m_1+m_2)}{ (m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}-g=\frac{m_2(m_3-m_1)-m_1^2}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g\]

Мы помним, что это лишь вертикальная составляющая ускорения первого груза. Есть еще горизонтальная – она равна a_2.

    \[a_2=\frac{T}{m_1+m_2}=\frac{2m_1m_3}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g\]

Полное ускорение первого груза a

    \[a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\frac{\sqrt{(2m_1m_3)^2+(m_2(m_3-m_1)-m_1^2)^2}}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g\]

Ответ: a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\frac{\sqrt{(2m_1m_3)^2+(m_2(m_3-m_1)-m_1^2)^2}}{(m_2+m_1) (m_1+m_3)+m_1m_3}\cdot g

 

Задача 3. На краю полусферической чаши радиусом R закреплена невесомая нить длиной \frac{R}{2} (в точке A), ко второму концу которой прикреплено маленькое тело. Тело удерживают на краю ямы так, что нить натянута.

К задаче 3

В некоторый момент времени тело отпускают. Найти скорость и ускорение тела в тот момент, когда оно будет проходить нижнюю точку своей траектории.

Решение. Уравнение сферы

    \[x^2+y^2+z^2=R^2\]

И, раз тело находится на сфере, его координаты удовлетворяют данному уравнению.

Движение бусинки по поверхностям двух сфер

Когда тело отпустят, при его движении расстояние от тела до точки А не меняется. То есть координаты тела должны удовлетворять еще и уравнению сферы с радиусом \frac{R}{2}, центр которой – в точке А:

    \[(x+R)^2+y^2+z^2=\frac{R^2}{4}\]

Вычтем уравнения.

    \[x^2 -(x+R)^2=\frac{3R^2}{4}\]

    \[x^2-(x^2+2xR+R^2)=\frac{3R^2}{4}\]

    \[-2xR=\frac{7R^2}{4}\]

    \[-2x=\frac{7R}{4}\]

    \[x=-\frac{7R}{8}\]

То есть мы доказали, что расстояние от центра сферы (по оси Ox), на котором тело находится при своем движении, постоянно. То есть тело движется в плоскости, параллельной плоскости yOz. Значит, тело движется в вертикальной плоскости по окружности.

Определим радиус этой окружности по рисунку справа:

    \[R_x^2=R^2-\frac{49}{64}R^2=\frac{15R^2}{64}\]

    \[R_x=\frac{R\sqrt{15}}{8}\]

Ускорение тела  – нормальное – направлено вертикально вверх, когда тело находится в нижней точке своей траектории.

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{ R_x}\]

По закону сохранения энергии потенциальная переходит в кинетическую:

    \[mg R_x =\frac{m\upsilon^2}{2}\]

    \[g R_x =\frac{\upsilon^2}{2}\]

    \[\upsilon^2=2R_x g\]

Вернемся к ускорению:

    \[a_n=\frac{\upsilon^2}{ R_x}=\frac{2R_x g }{ R_x}=2g\]

Ответ: a_n=2g.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *