Олимпиадная динамика – 3

[latexpage]

Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”

Задача 1. Спутник массой $m$, движущийся со скоростью $\upsilon$ почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы $F$. Зная ускорение $g$ свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость $\upsilon _1$ снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.

Решение.

Записываем уравнение по второму закону Ньютона (считаем скорость постоянной, так как спутник снижается медленно)

$$mg=\frac{\upsilon^2}{R}m$$

Откуда

$$R=\frac{\upsilon^2}{g}$$

Так как действует сила сопротивления, то у спутника есть и тангенциальная составляющая ускорения:

$$ma_{\tau}=F$$

Или

$$m\frac{d\upsilon}{dt}=F$$

Скорость снижения спутника

$$\upsilon_1=\frac{dR}{dt}$$

Берем производную

$$\upsilon_1=-\frac{2\upsilon d\upsilon}{g dt}=-\frac{2\upsilon \frac{F}{m}}{g}=\frac{2F\upsilon}{mg}$$

Ответ: $\upsilon_1=\frac{2F\upsilon}{mg}$

Задача 2. Упругая шайба падает плашмя на горизонтальную абсолютно твердую поверхность таким образом, что в момент падения ее скорость равна 4,5 м/с и направлена под углом $30^{\circ}$ к горизонту. Коэффициент трения скольжения между шайбой и поверхностью 0,5. На каком расстоянии от места падения шайба ударится о поверхность в пятый раз? Влиянием силы тяжести за время удара пренебречь.

Решение.  Во время удара возникает сила реакции $N$.  Записываем второй закон Ньютона в импульсной форме:

$$y: N\Delta t=m(\upsilon_{yk}+\upsilon_0\sin\alpha)$$

$$x:  -F_{tr}\Delta t=m(\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha)$$

К задаче 1

Разделим уравнения:

$$\mu=-\frac{\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha }{\upsilon_{yk}+\upsilon_0\sin\alpha }$$

Так как поверхность твердая, то скорость по оси $y$ не меняется.

$$\mu=-\frac{\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha }{2\upsilon_0\sin\alpha }$$

$$\upsilon_{kx}=\upsilon_0\cos\alpha-2\mu \upsilon_0\sin\alpha=\upsilon_0(\cos\alpha-2\mu\sin\alpha)$$

Время между ударами

$$t=\frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}$$

$$\upsilon_{kx}=4,5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\cdot 0,5\cdot 0,5\right)=1,575$$

Выходит, что скорость убывает на 2,4-2,5 м/с. Значит, после второго удара шайба по горизонтальной оси более не перемещается.

$$S=1,57t=1,57\cdot \frac{2\cdot 4,5\cdot 0,5}{10}=0,7$$

Ответ: на расстоянии 0,7 м.