Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика, Олимпиадная физика

Олимпиадная динамика – 3

Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”

Задача 1. Спутник массой m, движущийся со скоростью \upsilon почти по круговой орбите вблизи поверхности Земли, испытывает действие постоянной тормозящей силы F. Зная ускорение g свободного падения на поверхности Земли, найдите скорость \upsilon _1 снижения спутника, полагая, что изменение радиуса орбиты происходит достаточно медленно.

Решение.

Записываем уравнение по второму закону Ньютона (считаем скорость постоянной, так как спутник снижается медленно)

    \[mg=\frac{\upsilon^2}{R}m\]

Откуда

    \[R=\frac{\upsilon^2}{g}\]

Так как действует сила сопротивления, то у спутника есть и тангенциальная составляющая ускорения:

    \[ma_{\tau}=F\]

Или

    \[m\frac{d\upsilon}{dt}=F\]

Скорость снижения спутника

    \[\upsilon_1=\frac{dR}{dt}\]

Берем производную

    \[\upsilon_1=-\frac{2\upsilon d\upsilon}{g dt}=-\frac{2\upsilon \frac{F}{m}}{g}=\frac{2F\upsilon}{mg}\]

Ответ: \upsilon_1=\frac{2F\upsilon}{mg}

 

Задача 2. Упругая шайба падает плашмя на горизонтальную абсолютно твердую поверхность таким образом, что в момент падения ее скорость равна 4,5 м/с и направлена под углом 30^{\circ} к горизонту. Коэффициент трения скольжения между шайбой и поверхностью 0,5. На каком расстоянии от места падения шайба ударится о поверхность в пятый раз? Влиянием силы тяжести за время удара пренебречь.

Решение.  Во время удара возникает сила реакции N.  Записываем второй закон Ньютона в импульсной форме:

    \[y: N\Delta t=m(\upsilon_{yk}+\upsilon_0\sin\alpha)\]

    \[x:  -F_{tr}\Delta t=m(\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha)\]

К задаче 1

Разделим уравнения:

    \[\mu=-\frac{\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha }{\upsilon_{yk}+\upsilon_0\sin\alpha }\]

Так как поверхность твердая, то скорость по оси y не меняется.

    \[\mu=-\frac{\upsilon_{kx}-\upsilon_0\cos\alpha }{2\upsilon_0\sin\alpha }\]

 

    \[\upsilon_{kx}=\upsilon_0\cos\alpha-2\mu \upsilon_0\sin\alpha=\upsilon_0(\cos\alpha-2\mu\sin\alpha)\]

Время между ударами

    \[t=\frac{2\upsilon_0\sin\alpha }{g}\]

    \[\upsilon_{kx}=4,5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-2\cdot 0,5\cdot 0,5\right)=1,575\]

Выходит, что скорость убывает на 2,4-2,5 м/с. Значит, после второго удара шайба по горизонтальной оси более не перемещается.

    \[S=1,57t=1,57\cdot \frac{2\cdot 4,5\cdot 0,5}{10}=0,7\]

Ответ: на расстоянии 0,7 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *