Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика, Олимпиадная физика

Олимпиадная динамика – 2

[latexpage]

Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”

Задача 1. Круглый вертикальный цилиндр радиусом $R$ прикреплен к горизонтальной плоскости.

Круглый цилиндр

Внизу с боковой поверхностью цилиндра соединена нерастяжимая нить длиной $L$, направленная по касательной к поверхности цилиндра. На другом конце нити закреплена маленькая шайба. Шайбе сообщают горизонтальную скорость $\upsilon_0$, направленную перпендикулярно нити, и шайба начинает скользить по плоскости. 1) Сколько времени будет продолжаться движение шайбы (наматывание нити на цилиндр) в отсутствие трения? 2) Сколько времени будет продолжаться движение шайбы при наличии трения между шайбой и плоскостью? Коэффициент трения равен $\mu$.

Решение. Сначала рассмотрим ситуацию без трения. Сила натяжения нити все время перпендикулярна скорости, поэтому ее работа равна нулю. Если точка, в которой нить отделяется от цилиндра, сместится вследствие наматывания нити на угол $\Delta \varphi$, то и радиус, проведенный в эти точки, повернется на тот же угол. Пусть прошел малый промежуток времени, тело прошло $\Delta S$, нить укоротилась на $\Delta l$.

К задаче с цилиндром

$$dS=\upsilon_0 dt$$

$$dS=l d\varphi$$

$$ d\varphi=\frac{dl}{R}$$

Тогда

$$dS=l\frac{dl}{R}$$

$$\upsilon_0 dt= l\frac{dl}{R}$$

Интегрируем (суммируем) правую и левую части.

$$\upsilon_0 \tau=\frac{l^2}{2R}$$

$$\tau=\frac{l^2}{2\upsilon_0R}$$

Теперь рассмотрим случай с трением. Тут могут быть две ситуации: шайба остановилась до полного наматывания нити и шайба остановилась, потому что вся нить намоталась. Скорость будет меняться. Тангенциальное ускорение постоянно.

$$\upsilon=\upsilon_0-\mu g t$$

$$dS=(\upsilon_0-\mu g t)dt$$

$$dS=l\frac{dl}{R}$$

Интегрируем справа и слева:

$$\upsilon_0 \tau -\frac{\mu g \tau^2}{2}=\frac{l^2}{2R}$$

$$\frac{\mu g \tau^2}{2}-\upsilon_0 \tau+\frac{l^2}{2R}=0$$

Получилось квадратное уравнение. Решим его.

$$D=\upsilon_0^2-\frac{\mu g l^2}{R}$$

Дискриминант не должен быть отрицательным:

$$\upsilon_0^2\geqslant \frac{\mu g l^2}{R}$$

$$\tau=\frac{\upsilon_0\pm \sqrt{\upsilon_0^2-\frac{\mu g l^2}{R}}}{\mu g}$$

Оба корня имеют смысл. Выбираем меньший.

При $\upsilon_0<l\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$, то $\tau=\frac{\upsilon_0}{\mu g}$.

Ответ: при отсутствии трения $\tau=\frac{l^2}{2\upsilon_0R}$, при наличии трения $\tau=\frac{\upsilon_0\pm \sqrt{\upsilon_0^2-\frac{\mu g l^2}{R}}}{\mu g}$, если $\upsilon_0\geqslant l\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$; $\tau=\frac{\upsilon_0}{\mu g}$ при $\upsilon_0<l\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$.

 

Задача 2. Однородный цилиндр массы $m$ и радиуса $R$ касается двух параллельных длинных вертикальных пластин, движущихся с постоянными скоростями $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ вверх.

Рисунок ко второй задаче

Между пластинами и поверхностью цилиндра существует вязкое трение, сила его пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей ($\vec{F}_tr = – \gamma\vec{]upsilon}_otn$). Коэффициенты вязкого трения для первой и второй пластин равны $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно. 1)Найдите установившуюся угловую скорость цилиндра , а также скорость его центра. 2) При каком условии цилиндр будет двигаться вверх?

Решение. Вязкое трение – функция скорости:

$$F_{tr}=\mu N=f(\upsilon)$$

Переходим в систему отсчета цилиндра. В этой системе скорость его левой точки контакта с пластиной и скорость правой точки контакта равны по модулю:

$$\upsilon_{lev}=\upsilon_{prav}=\omega R$$

А скорости пластин будут равны $\upsilon_1-\upsilon_{cil}$ и $\upsilon_2-\upsilon_{cil}$. (смотри рисунок)

Силы в задаче 2

При установившемся движении сумма сил, приложенных к цилиндру, равна нулю, а также равен нулю суммарный момент сил трения относительно оси цилиндра, поэтому силы трения обязательно обе направлены вверх и они равны.

$$F_{tr1}R= F_{tr2}R$$

$$mg= F_{tr1}+F_{tr2}= 2F_{tr1}$$

Распишем силы трения:

$$ F_{tr1}=-\gamma_1(\omega R-(\upsilon_1-\upsilon_{cil}))=\gamma_1((\upsilon_1-\upsilon_{cil})-\omega R)= \gamma_1(\upsilon_1-\upsilon_{cil}-\omega R)$$

$$ F_{tr2}=-\gamma_2(-\omega R-(\upsilon_2-\upsilon_{cil}))=\gamma_2(\omega R+\upsilon_2-\upsilon_{cil})$$

Приравниваем силы трения:

$$\gamma_1(\upsilon_1-\upsilon_{cil}-\omega R)= \gamma_2(\omega R+\upsilon_2-\upsilon_{cil})~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Вернемся к уравнениям равновесия:

$$mg= 2F_{tr1}=2\gamma_1(\upsilon_1-\upsilon_{cil}-\omega R)$$

$$mg= 2\gamma_1\upsilon_1-2\gamma_1\upsilon_{cil}-2\gamma_1\omega R$$

$$2\gamma_1\omega R=-mg+2\gamma_1\upsilon_1-2\gamma_1\upsilon_{cil}$$

$$\omega R=-\frac{mg}{2\gamma_1}+\upsilon_1-\upsilon_{cil}$$

Теперь подставим этот результат в (1):

$$\gamma_1\upsilon_1-\gamma_1\upsilon_{cil}-\gamma_1\omega R=\gamma_2\omega R+\gamma_2\upsilon_2-\gamma_2\upsilon_{cil}$$

$$\gamma_1\upsilon_1-\gamma_1\upsilon_{cil}-\gamma_1{(-\frac{mg}{2\gamma_1}+\upsilon_1-\upsilon_{cil})=\gamma_2(-\frac{mg}{2\gamma_1}+\upsilon_1-\upsilon_{cil})+\gamma_2\upsilon_2-\gamma_2\upsilon_{cil}$$

$$\gamma_1\upsilon_1-\gamma_1\upsilon_1+\gamma_1\upsilon_{cil}-\gamma_1\upsilon_{cil}+\frac{mg}{2}=\gamma_2\upsilon_2-\gamma_2\upsilon_{cil}+\gamma_2\upsilon_1-\gamma_2\upsilon_{cil}-\frac{mg\gamma_2}{2\gamma_1}$$

$$2\gamma_2\upsilon_{cil}=-\frac{mg}{2}\left(1+\frac{\gamma_2}{\gamma_1}\right)+\gamma_2(\upsilon_1+\upsilon_2)$$

$$\upsilon_{cil}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}-\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1}+\frac{1}{\gamma_2}\right)$$

Определяем $\omega$:

$$\omega R=-\frac{mg}{2\gamma_1}+\upsilon_1-\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}+\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1}+\frac{1}{\gamma_2}\right)$$

$$\omega R=\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1}+\frac{1}{\gamma_2}-\frac{2}{\gamma_1}\right)+\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}$$

$$\omega R=\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_2}-\frac{1}{\gamma_1}\right)+\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}$$

$$\omega=\frac{1}{R}\left(\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_2}-\frac{1}{\gamma_1}\right)+\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}\right)$$

Ответ: $\omega=\frac{1}{R}\left(\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_2}-\frac{1}{\gamma_1}\right)+\frac{\upsilon_1-\upsilon_2}{2}\right)$;

$\upsilon_{cil}=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}-\frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1}+\frac{1}{\gamma_2}\right)$.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *