Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Динамика, Олимпиадная физика

Олимпиадная динамика – 1

Разбираю задачи, которые летом решали с группой ребят-олимпиадников.

Задача 1. На свободно вращающиеся обода двух колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой m, удерживаемому вблизи верхнего обода.

К задаче про два обода

Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса, и равна M. С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода?

Решение. Нить, будучи шероховатой, не скользит по ободам, а так как она нерастяжима – то скорости точек обода, всех точек нити и груза одинаковы.

Груз после отпускания придет в движение и будет двигаться с некоторым ускорением. Если рассмотреть малый промежуток времени \Delta t, то ускорение можно считать постоянным. А скорость за этот промежуток времени вырастет на \Delta \upsilon=a\Delta t.

Тело пройдет расстояние

    \[\Delta h= \upsilon\Delta t+\frac{a\Delta t^2}{2}\]

Так как \Delta t^2 – величина второго порядка малости, то вторым слагаемым пренебрежем.

    \[\Delta h= \upsilon\Delta t\]

Опустившись на такое расстояние, груз потеряет в потенциальной энергии:

    \[\Delta E_p=mg\Delta h=mg\upsilon \Delta t\]

И эта убыль компенсируется прибылью кинетической энергии. Если скорость тела в некоторый момент равна \upsilon, и от этого момента начинает прирастать скорость (то есть от этого момента отсчитывается время \Delta t), то в начале отсчета времени энергия системы состоит из кинетической энергии ободов и груза.

Разобьем обод на маленькие части массами \Delta m. Тогда каждый кусочек имеет скорость \upsilon, и

    \[\sum \frac{\Delta m \upsilon^2}{2}=\frac{\upsilon^2}{2}\sum\Delta m=\frac{M\upsilon^2}{2}\]

Это кинетическая энергия ободов.

    \[E_{k1}=\frac{m\upsilon^2}{2}+\frac{M\upsilon^2}{2}\cdot 2\]

А к концу отсчета времени энергия

    \[E_{k2}=\frac{m(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}+\frac{M(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}\cdot 2\]

Изменение кинетической энергии

    \[E_{k2}- E_{k1}=\frac{m(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}+\frac{M(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}\cdot 2-\frac{m(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}+\frac{M(\upsilon+\Delta \upsilon)^2}{2}\cdot 2\]

    \[E_{k2}- E_{k1}=\frac{1}{2}\cdot(m+2M)( (\upsilon+\Delta \upsilon)^2-\upsilon^2)= \frac{1}{2}\cdot(m+2M)(\upsilon^2+2\upsilon\Delta \upsilon+\Delta \upsilon^2-\upsilon^2)\]

Слагаемым \Delta \upsilon^2 пренебрежем, так как оно много меньше остальных.

    \[E_{k2}- E_{k1}= \frac{1}{2}\cdot(m+2M)\cdot 2\upsilon\Delta \upsilon=\upsilon\Delta \upsilon \cdot(m+2M)\]

Приравняем убыль потенциальной и прибыль кинетических энергий:

    \[mg\upsilon \Delta t=\upsilon\Delta \upsilon \cdot(m+2M)\]

Ускорение

    \[a=\frac{\Delta \upsilon }{\Delta t }=\frac{mg}{m+2M}\]

Ответ: a=\frac{mg}{m+2M}.

 

Задача 2. Отношение минимальной силы, которую надо приложить к бруску, чтобы он двигался вверх по наклонной плоскости к минимальной силе, которую надо приложить к бруску, чтобы оторвать его от этой наклонной плоскости равно 0,7. Угол наклона плоскости к горизонту 30^{\circ}. Определите коэффициент трения между бруском и плоскостью.

Решение.

Условие отрыва – равенство нулю силы реакции опоры.

    \[N=0\]

Силу надо прикладывать перпендикулярно плоскости, чтобы брусок оторвать. Она будет равна F_2=mg\cos \alpha.

К задаче про брусок

Куда надо прикладывать силу, чтобы сдвинуть брусок и чтобы сила была при этом минимальна? Я предположила, что под некоторым углом \beta.

    \[F_1\cos \beta=mg\sin\alpha +\mu N\]

    \[F_1\sin \beta+N= mg\cos \alpha\]

Подставим N:

    \[F_1\cos \beta=mg\sin\alpha +\mu (mg\cos \alpha- F_1\sin \beta)\]

    \[F_1=\frac{mg(\sin\alpha +\mu\cos \alpha)}{ \cos \beta +\mu \sin \beta}\]

Обратим внимание, что числитель выражения – константа, от угла \beta не зависит. Значит, минимум будет при максимальном знаменателе. Определим его максимум при помощи производной:

    \[(\cos \beta +\mu \sin \beta)'=-\sin \beta+\mu \cos \beta=0\]

    \[\mu=\operatorname{tg}\beta\]

При таком тангенсе определяем синус и косинус из прямоугольного треугольника:

    \[\sin \beta=\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}\]

    \[\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\]

Значит, F_1 равна

    \[F_1=\frac{ mg(\sin\alpha +\mu\cos \alpha)}{ \sqrt{1+\mu^2}}\]

Отношение сил:

    \[\frac{F_1}{F_2}=0,7=\frac{\sin\alpha +\mu\cos \alpha }{\cos \alpha \sqrt{1+\mu^2}}\]

    \[(\sin\alpha +\mu\cos \alpha)^2=0,49cos^2 \alpha(1+\mu^2)\]

    \[\sin^2\alpha+2\mu \sin\alpha\cos \alpha+\mu^2\cos^2 \alpha=0,49\cos^2 \alpha+0,49\mu^2 \cos^2 \alpha\]

    \[1- \cos^2 \alpha+2\mu \sin\alpha\cos \alpha+0,51\mu^2\cos^2 \alpha-0,49\cos^2 \alpha=0\]

    \[1- 1,49\cos^2 \alpha+2\mu \sin\alpha\cos \alpha+0,51\mu^2\cos^2 \alpha=0\]

Обозначим a=\mu \cos \alpha, и решим квадратное уравнение:

    \[0,51a^2+2\sin\alpha \cdot a+1-1,49\cos^2\alpha=0\]

    \[0,51a^2+a+1-1,49\cdot 1,5=0\]

    \[0,51a^2+a-1,235=0\]

    \[D=1+0,51\cdot 1,235\cdot 4=3,52\]

    \[a=\frac{-1\pm\sqrt{3,52}}{1,02}=0,86\]

    \[\mu \cos \alpha=0,86\]

    \[\mu \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=0,86\]

    \[\mu=0,993\]

Ответ: \mu=0,993.

 

Задача 3. Тонкий однородный жесткий стержень S скользит по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол \alpha с горизонтом. В начальный момент времени нижний конец стержня движется вниз вдоль наклонной плоскости (по линии L «падения воды», как указано стрелкой), а верхний конец стержня движется горизонтально, причем модуль скорости верхнего конца в два раза больше, чем нижнего.

К задаче про стержень

По прошествии некоторого промежутка времени оказалось, что середина стержня сместилась на одинаковые расстояния по горизонтали и вдоль линии «падения воды». Во сколько раз изменился модуль скорости середины стержня за этот промежуток времени?

Решение. Рассмотрим плоскость, в которой лежит стержень. Проведем перпендикуляры к обеим скоростям. Пересечение – точка О – мгновенный центр скоростей. Проводим OC – медиану треугольника ABO. Она равна половине гипотенузы.

    \[\omega=\frac{\upsilon}{OB}=\frac{2\upsilon}{AO}\]

    \[\frac{AO}{OB}=\frac{2x}{x}\]

Мгновенный центр вращения и все скорости

Гипотенуза

    \[AB=\sqrt{4x^2+x^2}=x\sqrt{5}\]

Длина отрезка OC

    \[OC=\frac{AB}{2}=\frac{ x\sqrt{5}}{2}\]

Скорость центра масс

    \[\upsilon_c=\omega \cdot OC=\frac{2\upsilon}{2x}\cdot \frac{ x\sqrt{5}}{2}=\frac{\upsilon \sqrt{5}}{2}\]

Угол AOC равен \beta – равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Таким образом,

    \[\cos \beta=\frac{x}{\frac{ x\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\]

Определим составляющие скорости центра \upsilon_{cx} и \upsilon_{cy}:

    \[\upsilon_{cx}=\upsilon_c\cos \beta=\frac{\upsilon \sqrt{5}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=\upsilon\]

    \[\upsilon_{cy}=\upsilon_c\sin \beta=\frac{\upsilon \sqrt{5}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\upsilon}{2}\]

По теореме о движении центра масс он движется с таким ускорением, с каким двигалась бы точка с массой, равной массе тела.

    \[m\vec{a}_{zm}=\sum \vec{F}_{vnesh}\]

Ускорение есть только по оси y:

    \[y: m a_{cy}=mg\sin \alpha\]

    \[x: a_{cx}=0\]

    \[a_{cy}=g\sin \alpha\]

По горизонтальной оси движение равномерное, S_x=\upsilon_{cx}t.

А по оси y движение равноускореннное:

    \[S_y=\upsilon_{cy}t+\frac{ a_{cy}t^2}{2}\]

    \[S_x=S_y\]

    \[\upsilon_{cx}t=\upsilon_{cy}t+\frac{ a_{cy}t^2}{2}\]

    \[\upsilon_{cx}=\upsilon_{cy}+\frac{ a_{cy}t}{2}\]

Подставляем найденное ранее:

    \[\upsilon=\frac{\upsilon}{2}+\frac{ g\sin \alpha t}{2}\]

    \[\frac{\upsilon}{2}=\frac{ g\sin \alpha t}{2}\]

    \[t=\frac{\upsilon }{ g\sin \alpha }\]

Таким образом,

    \[\upsilon_x=\upsilon_{cx}=\upsilon\]

    \[\upsilon_y =\upsilon_{cy}+ g\sin \alpha t =\frac{\upsilon}{2}+ g\sin \alpha \cdot \frac{\upsilon }{ g\sin \alpha }=\frac{3}{2}\upsilon\]

    \[\upsilon_k=\sqrt{\upsilon_x^2+ \upsilon_y^2 }=\sqrt{\upsilon^2+\frac{9}{4}\upsilon^2 }=\sqrt{\frac{13}{2}}\upsilon\]

Отношение скоростей

    \[\frac{\upsilon_k }{\upsilon_c}=\sqrt{\frac{13}{5}}\]

Ответ: \frac{\upsilon_k }{\upsilon_c}=\sqrt{\frac{13}{5}}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *