Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Физика

Олимпиада “Ломоносов” по физике: 2 тур, 9 класс.

Второй тур олимпиады Ломоносов: выкладываю свои решения. Задачи были не очень сложные, но… это все же олимпиада!

Задача 1. В теплоизолированный сосуд поместили 500 г льда при температуре t_1=-50^{\circ}, 1 кг воды при температуре t_2=20^{\circ}, а также 100 г пара при температуре t_3=100^{\circ} C. Считая теплоемкость сосуда малой, определите установившуюся температуру смеси. Удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг C), воды 4200 Дж/(кг C). Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды 2250 кДж/кг. Ответ дайте в градусах Цельсия, округлив до десятых.

Так как в этой задаче неизвестно конечное состояние смеси, то, чтобы его установить, надо сделать прикидочный расчет.

Посчитаем, сколько Дж нужно, чтобы согреть лед до температуры плавления:

    \[Q_1=m_l c_l (0-t_1)=0,5\cdot2100\cdot(0-(-50))=52500\]

Определим, сколько Дж понадобится, чтобы лед растаял:

    \[Q_2= m_l \lambda=0,5\cdot335000=167500\]

Наконец, определим, сколько отдал бы пар, если бы весь сконденсировался:

    \[Q_3= m_p L=0,1\cdot 2250000=225000\]

Так как Q_1+Q_2<Q_3, то теплоты хватит на то, чтобы согреть лед и расплавить его. Поэтому окончательное состояние смеси – вода. Теперь, когда мы это знаем, можем составлять уравнение теплового баланса. Справа будут отдаваемые количества теплоты, слева – принимаемые. Q_1 и Q_2 запишем в левую часть уравнения, Q_3 – в правую. Также в правой части запишем количество теплоты, которое выделится при остывании воды, получившейся из пара (предполагаем, что температура смеси меньше 100 градусов):

    \[Q_4=m_p c_v (t_3-t_{sm})\]

Чтобы продолжить рассуждения, надо задаться предварительной температурой смеси: определиться, будет ли она выше t_2=20^{\circ}, или ниже. Это мы можем только предположить. Давайте попробуем сначала предположить, что температура смеси ниже t_2=20^{\circ}. Тогда вода будет остывать с t_2=20^{\circ} до температуры смеси и это количество теплоты запишем в правую часть:

    \[Q_5=m_v c_v (t_2- t_{sm})\]

Вода же, получившаяся при таянии льда, будет нагреваться, и это количество теплоты запишем в левую часть:

    \[Q_6=m_l c_v (t_{sm}-0^{\circ})\]

Итак, составляем уравнение:

    \[Q_1+ Q_2+ Q_6= Q_3+ Q_4+ Q_5\]

    \[m_l c_l (0-t_1)+ m_l \lambda+ m_l c_v (t_{sm}-0^{\circ})= m_p L+ m_p c_v (t_3-t_{sm})+ m_v c_v (t_2- t_{sm})\]

Подставим числа:

    \[52500+167500+ 0,5\cdot 4200 t_{sm}=225000+0,1\cdot4200(100- t_{sm})+ 1\cdot 4200 (20- t_{sm})\]

    \[2100 t_{sm}=5000+42000-420t_{sm}+ 84000-4200t_{sm}\]

    \[6720 t_{sm}=131000\]

    \[t_{sm}=19,49\]

С учетом округления – t_{sm}=19,5^{\circ}.

То есть мы угадали, что температура смеси меньше 20 градусов. На самом деле, если бы мы не угадали, то это слагаемое перешло бы в левую часть само, «автоматически», и результат был бы тем же.

Ответ: t_{sm}=19,5^{\circ}.

 

Задача 2. Две материальные точки начинают одновременно движение из начала координат в положительном направлении оси x так, что их координаты и скорости связаны следующими соотношениями: \upsilon_1=\alpha_1\sqrt{x_1} и \upsilon_2=\alpha_2\sqrt{x_2} соответственно. Найдите расстояние в метрах между телами через 1 минуту после начала движения, если \alpha_1=2 \sqrt{} м/с и \alpha_2=4 \sqrt{} м/с.

Заметим, что у коэффициентов \alpha_1 и \alpha_2 очень интересная размерность: если возвести в квадрат, получим размерность ускорения!

Если возвести в квадрат данные зависимости, получим:

    \[\upsilon_1^2=\alpha_1^2 x_1\]

    \[\upsilon_2^2=\alpha_2^2 x_2\]

Тогда координаты тел

    \[x_1=\frac{\upsilon_1^2}{\alpha_1^2 }\]

    \[x_2=\frac{\upsilon_2^2}{\alpha_2^2 }\]

Но \upsilon=at при равноускоренном движении без начальной скорости, поэтому

    \[\upsilon_1=a_1t\]

    \[\upsilon_2=a_2t\]

И

    \[x_1=\frac{a_1^2t^2}{\alpha_1^2 }\]

    \[x_2=\frac{a_2^2t^2}{\alpha_2^2 }\]

Также при x_0=0 и нулевой начальной скорости путь равен координате и может быть записан как:

    \[S_1=\frac{a_1^2t^2}{2}\]

    \[S_2=\frac{a_2^2t^2}{2}\]

Приравнивая, делаем вывод, что ускорение первого тела a_1=\frac{ \alpha_1^2}{2}=2 м/с^2, а второго a_2=\frac{ \alpha_2^2}{2}=8 м/с^2. Тогда первое тело пройдет за минуту

    \[S_1=\frac{a_1t^2}{2}=\frac{2\cdot3600}{2}=3600\]

А второе:

    \[S_2=\frac{a_2t^2}{2}=\frac{8\cdot3600}{2}=14400\]

Тогда расстояние между телами

    \[S_2-S_1=14400-3600=10800\]

Ответ: 10800 м.

 

Задача 3. Имеется набор одинаковых резисторов, выполненных в виде цилиндров и имеющих сопротивление R_0=10 Ом. Также имеется второй набор одинаковых резисторов R_1, также выполненных в виде цилиндров, но все геометрические размеры второго набора резисторов в два раза больше. Найдите полное сопротивление в омах участка цепи, собранного из данных наборов резисторов (сопротивление 4R_1 получено соединением последовательно четырех резисторов сопротивлением R_1).

Для начала определим сопротивление R_1. Формула сопротивления:

    \[R_0=\frac{\rho l}{S}=\frac{\rho l}{\pi r^2}\]

У резистора с большими размерами сопротивление будет:

    \[R_1=\frac{\rho 2l}{\pi (2r)^2}=\frac{\rho l}{2\pi r^2}\]

Делаем вывод, что R_1=\frac{R_0}{2}.

Тогда схема будет выглядеть так:

Рисунок 1

Теперь видно, что имеем два треугольника и парочку звезд, подумаем: что легче преобразовать – звезду в треугольник или треугольник в звезду? Давайте преобразуем треугольник (вверху) в звезду. Пересчитываем сопротивления:

Рисунок 2

Получаем схему:

Рисунок 3

Дальше все очевидно: складываем последовательно соединенные сопротивления:

Рисунок 4

И пересчитываем параллельно соединенные в одно:

Рисунок 5

Ответ: R_{ekv}=R_0=10 Ом.

Рисунок 6

Это сложное решение. И надо помнить формулы пересчета звезд в треугольники. Но можно заметить, что мост сбалансирован, и тогда через центральный резистор ток не протекает. Имеем простое параллельное соединение 3R_0 и 1,5R_0, которое равно частному их произведения на сумму, и равно R_0.

 

Задача 4. Тело отпустили с высоты h=3 м от горизонтальной поверхности. При каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное время.

Мячик падает с высоты h, следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

    \[\upsilon_1=\sqrt{2gh}\]

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна \upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}, и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  \upsilon_3=\frac{\upsilon_2}{2}, и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

    \[S=h+2h_2+2h_3+\ldots\]

h_2 – высота, на которую поднимется мячик после первого удара, h_3 – после второго и т.д. Тогда:

    \[h_2=\frac{\upsilon_2^2}{2g}\]

    \[h_3=\frac{\upsilon_3^2}{2g}\]

    \[S=h+\frac{\upsilon_2^2}{2g}+\frac{\upsilon_3^2}{2g}+\ldots\]

Или, если везде перейти к скорости \upsilon_1, то

    \[S=h+\frac{1}{g}\cdot \left(\left(\frac{\upsilon_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\upsilon_1}{4}\right)^2+\ldots \right)\]

Или, вынося за скобку \upsilon_1^2, получим:

    \[S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\ldots \right)\]

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

    \[S_q=\frac{b_1}{1-q}\]

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

    \[S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot S_q=h+2h\cdot \frac{b_1}{1-q}\]

Подставляем данные:

    \[S= 3+6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=3+2=5\]

Ответ: S=5 м.

 

Задача 5. Найдите фокусное расстояние линзы в метрах, если известно, что при расстоянии между экраном и точечным источником света l=1 м на экране получается четкое изображение источника в двух случаях, когда расстояние между положениями линзы равно d=0,6 м.

Итак, экран и источник света неподвижны, а линзу перемещают. Пусть между линзой и источником света сначала расстояние x, а между линзой и экраном – y. По условию x+y=1. Для этого случая расположения линзы можно записать уравнение тонкой линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\]

Во втором случае линзу подвинули, и расстояния от нее до экрана и от источника до линзы изменились: пусть x_1=x+0,6, тогда y_1=y-0,6.

И снова запишем уравнение линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}\]

Так как в обоих уравнениях левая часть одинакова, приравняем правые:

    \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}\]

И подставим вместо y=1-x, вместо x_1=x+0,6, вместо y_1=y-0,6=1-x-0,6=0,4-x. Получим:

    \[\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x+0,6}+\frac{1}{0,4-x}\]

Остается решить:

    \[\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac{0,4-x + x+0,6}{(x+0,6)(0,4-x)}\]

    \[\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{(x+0,6)(0,4-x)}\]

    \[x-x^2=0,4x-x^2-0,6x+0,24\]

    \[1,2x=0,24\]

    \[x=0,2\]

Определим теперь фокусное расстояние линзы:

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}\]

    \[\frac{1}{F}=\frac{1}{0,2}+\frac{1}{0,8}\]

    \[\frac{1}{F}=5+\frac{5}{4}=6,25\]

    \[F=\frac{1}{6,25}=0,16\]

Ответ: F=0,16 м

К задаче 5

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *