Олимпиада “Ломоносов” по физике: 2 тур, 9 класс.

Второй тур олимпиады Ломоносов: выкладываю свои решения. Задачи были не очень сложные, но… это все же олимпиада!

Задача 1. В теплоизолированный сосуд поместили 500 г льда при температуре , 1 кг воды при температуре , а также 100 г пара при температуре C. Считая теплоемкость сосуда малой, определите установившуюся температуру смеси. Удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг C), воды 4200 Дж/(кг C). Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды 2250 кДж/кг. Ответ дайте в градусах Цельсия, округлив до десятых.

Так как в этой задаче неизвестно конечное состояние смеси, то, чтобы его установить, надо сделать прикидочный расчет.

Посчитаем, сколько Дж нужно, чтобы согреть лед до температуры плавления:

   

Определим, сколько Дж понадобится, чтобы лед растаял:

   

Наконец, определим, сколько отдал бы пар, если бы весь сконденсировался:

   

Так как , то теплоты хватит на то, чтобы согреть лед и расплавить его. Поэтому окончательное состояние смеси – вода. Теперь, когда мы это знаем, можем составлять уравнение теплового баланса. Справа будут отдаваемые количества теплоты, слева – принимаемые. и запишем в левую часть уравнения, – в правую. Также в правой части запишем количество теплоты, которое выделится при остывании воды, получившейся из пара (предполагаем, что температура смеси меньше 100 градусов):

   

Чтобы продолжить рассуждения, надо задаться предварительной температурой смеси: определиться, будет ли она выше , или ниже. Это мы можем только предположить. Давайте попробуем сначала предположить, что температура смеси ниже . Тогда вода будет остывать с до температуры смеси и это количество теплоты запишем в правую часть:

   

Вода же, получившаяся при таянии льда, будет нагреваться, и это количество теплоты запишем в левую часть:

   

Итак, составляем уравнение:

   

   

Подставим числа:

   

   

   

   

С учетом округления – .

То есть мы угадали, что температура смеси меньше 20 градусов. На самом деле, если бы мы не угадали, то это слагаемое перешло бы в левую часть само, «автоматически», и результат был бы тем же.

Ответ: .

 

Задача 2. Две материальные точки начинают одновременно движение из начала координат в положительном направлении оси так, что их координаты и скорости связаны следующими соотношениями: и соответственно. Найдите расстояние в метрах между телами через 1 минуту после начала движения, если м/с и м/с.

Заметим, что у коэффициентов и очень интересная размерность: если возвести в квадрат, получим размерность ускорения!

Если возвести в квадрат данные зависимости, получим:

   

   

Тогда координаты тел

   

   

Но при равноускоренном движении без начальной скорости, поэтому

   

   

И

   

   

Также при и нулевой начальной скорости путь равен координате и может быть записан как:

   

   

Приравнивая, делаем вывод, что ускорение первого тела м/с, а второго м/с. Тогда первое тело пройдет за минуту

   

А второе:

   

Тогда расстояние между телами

   

Ответ: 10800 м.

 

Задача 3. Имеется набор одинаковых резисторов, выполненных в виде цилиндров и имеющих сопротивление Ом. Также имеется второй набор одинаковых резисторов , также выполненных в виде цилиндров, но все геометрические размеры второго набора резисторов в два раза больше. Найдите полное сопротивление в омах участка цепи, собранного из данных наборов резисторов (сопротивление получено соединением последовательно четырех резисторов сопротивлением ).

Для начала определим сопротивление . Формула сопротивления:

   

У резистора с большими размерами сопротивление будет:

   

Делаем вывод, что .

Тогда схема будет выглядеть так:

Теперь видно, что имеем два треугольника и парочку звезд, подумаем: что легче преобразовать – звезду в треугольник или треугольник в звезду? Давайте преобразуем треугольник (вверху) в звезду. Пересчитываем сопротивления:

Получаем схему:

Дальше все очевидно: складываем последовательно соединенные сопротивления:

И пересчитываем параллельно соединенные в одно:

Ответ: Ом.

Это сложное решение. И надо помнить формулы пересчета звезд в треугольники. Но можно заметить, что мост сбалансирован, и тогда через центральный резистор ток не протекает. Имеем простое параллельное соединение и , которое равно частному их произведения на сумму, и равно .

 

Задача 4. Тело отпустили с высоты м от горизонтальной поверхности. При каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное время.

Мячик падает с высоты , следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

   

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна , и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  , и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

   

– высота, на которую поднимется мячик после первого удара, – после второго и т.д. Тогда:

   

   

   

Или, если везде перейти к скорости , то

   

Или, вынося за скобку , получим:

   

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

   

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

   

Подставляем данные:

   

Ответ: м.

 

Задача 5. Найдите фокусное расстояние линзы в метрах, если известно, что при расстоянии между экраном и точечным источником света м на экране получается четкое изображение источника в двух случаях, когда расстояние между положениями линзы равно м.

Итак, экран и источник света неподвижны, а линзу перемещают. Пусть между линзой и источником света сначала расстояние , а между линзой и экраном – . По условию . Для этого случая расположения линзы можно записать уравнение тонкой линзы:

   

Во втором случае линзу подвинули, и расстояния от нее до экрана и от источника до линзы изменились: пусть , тогда .

И снова запишем уравнение линзы:

   

Так как в обоих уравнениях левая часть одинакова, приравняем правые:

   

И подставим вместо , вместо , вместо . Получим:

   

Остается решить:

   

   

   

   

   

Определим теперь фокусное расстояние линзы:

   

   

   

   

Ответ: м