Олимпиада “Ломоносов” по физике: 2 тур, 9 класс.

[latexpage]

Второй тур олимпиады Ломоносов: выкладываю свои решения. Задачи были не очень сложные, но… это все же олимпиада!

Задача 1. В теплоизолированный сосуд поместили 500 г льда при температуре $t_1=-50^{\circ}$, 1 кг воды при температуре $t_2=20^{\circ}$, а также 100 г пара при температуре $t_3=100^{\circ}$ C. Считая теплоемкость сосуда малой, определите установившуюся температуру смеси. Удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг C), воды 4200 Дж/(кг C). Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды 2250 кДж/кг. Ответ дайте в градусах Цельсия, округлив до десятых.

Так как в этой задаче неизвестно конечное состояние смеси, то, чтобы его установить, надо сделать прикидочный расчет.

Посчитаем, сколько Дж нужно, чтобы согреть лед до температуры плавления:

$$Q_1=m_l c_l (0-t_1)=0,5\cdot2100\cdot(0-(-50))=52500$$

Определим, сколько Дж понадобится, чтобы лед растаял:

$$Q_2= m_l \lambda=0,5\cdot335000=167500$$

Наконец, определим, сколько отдал бы пар, если бы весь сконденсировался:

$$Q_3= m_p L=0,1\cdot 2250000=225000$$

Так как $Q_1+Q_2<Q_3$, то теплоты хватит на то, чтобы согреть лед и расплавить его. Поэтому окончательное состояние смеси – вода. Теперь, когда мы это знаем, можем составлять уравнение теплового баланса. Справа будут отдаваемые количества теплоты, слева – принимаемые. $Q_1$ и $Q_2$ запишем в левую часть уравнения, $Q_3$ – в правую. Также в правой части запишем количество теплоты, которое выделится при остывании воды, получившейся из пара (предполагаем, что температура смеси меньше 100 градусов):

$$Q_4=m_p c_v (t_3-t_{sm})$$

Чтобы продолжить рассуждения, надо задаться предварительной температурой смеси: определиться, будет ли она выше $t_2=20^{\circ}$, или ниже. Это мы можем только предположить. Давайте попробуем сначала предположить, что температура смеси ниже $t_2=20^{\circ}$. Тогда вода будет остывать с $t_2=20^{\circ}$ до температуры смеси и это количество теплоты запишем в правую часть:

$$Q_5=m_v c_v (t_2- t_{sm})$$

Вода же, получившаяся при таянии льда, будет нагреваться, и это количество теплоты запишем в левую часть:

$$Q_6=m_l c_v (t_{sm}-0^{\circ})$$

Итак, составляем уравнение:

$$ Q_1+ Q_2+ Q_6= Q_3+ Q_4+ Q_5$$

$$ m_l c_l (0-t_1)+ m_l \lambda+ m_l c_v (t_{sm}-0^{\circ})= m_p L+ m_p c_v (t_3-t_{sm})+ m_v c_v (t_2- t_{sm})$$

Подставим числа:

$$52500+167500+ 0,5\cdot 4200 t_{sm}=225000+0,1\cdot4200(100- t_{sm})+ 1\cdot 4200 (20- t_{sm})$$

$$2100 t_{sm}=5000+42000-420t_{sm}+ 84000-4200t_{sm}$$

$$6720 t_{sm}=131000$$

$$ t_{sm}=19,49$$

С учетом округления – $ t_{sm}=19,5^{\circ}$.

То есть мы угадали, что температура смеси меньше 20 градусов. На самом деле, если бы мы не угадали, то это слагаемое перешло бы в левую часть само, «автоматически», и результат был бы тем же.

Ответ: $ t_{sm}=19,5^{\circ}$.

 

Задача 2. Две материальные точки начинают одновременно движение из начала координат в положительном направлении оси $x$ так, что их координаты и скорости связаны следующими соотношениями: $\upsilon_1=\alpha_1\sqrt{x_1}$ и $\upsilon_2=\alpha_2\sqrt{x_2}$ соответственно. Найдите расстояние в метрах между телами через 1 минуту после начала движения, если $\alpha_1=2 \sqrt{}$ м/с и $\alpha_2=4 \sqrt{}$ м/с.

Заметим, что у коэффициентов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ очень интересная размерность: если возвести в квадрат, получим размерность ускорения!

Если возвести в квадрат данные зависимости, получим:

$$\upsilon_1^2=\alpha_1^2 x_1$$

$$\upsilon_2^2=\alpha_2^2 x_2$$

Тогда координаты тел

$$x_1=\frac{\upsilon_1^2}{\alpha_1^2 }$$

$$x_2=\frac{\upsilon_2^2}{\alpha_2^2 }$$

Но $\upsilon=at$ при равноускоренном движении без начальной скорости, поэтому

$$\upsilon_1=a_1t$$

$$\upsilon_2=a_2t$$

И

$$x_1=\frac{a_1^2t^2}{\alpha_1^2 }$$

$$x_2=\frac{a_2^2t^2}{\alpha_2^2 }$$

Также при $x_0=0$ и нулевой начальной скорости путь равен координате и может быть записан как:

$$ S_1=\frac{a_1^2t^2}{2}$$

$$ S_2=\frac{a_2^2t^2}{2}$$

Приравнивая, делаем вывод, что ускорение первого тела $a_1=\frac{ \alpha_1^2}{2}=2$ м/с$^2$, а второго $a_2=\frac{ \alpha_2^2}{2}=8$ м/с$^2$. Тогда первое тело пройдет за минуту

$$S_1=\frac{a_1t^2}{2}=\frac{2\cdot3600}{2}=3600$$

А второе:

$$S_2=\frac{a_2t^2}{2}=\frac{8\cdot3600}{2}=14400$$

Тогда расстояние между телами

$$S_2-S_1=14400-3600=10800$$

Ответ: 10800 м.

 

Задача 3. Имеется набор одинаковых резисторов, выполненных в виде цилиндров и имеющих сопротивление $R_0=10$ Ом. Также имеется второй набор одинаковых резисторов $R_1$, также выполненных в виде цилиндров, но все геометрические размеры второго набора резисторов в два раза больше. Найдите полное сопротивление в омах участка цепи, собранного из данных наборов резисторов (сопротивление $4R_1$ получено соединением последовательно четырех резисторов сопротивлением $R_1$).

Для начала определим сопротивление $R_1$. Формула сопротивления:

$$R_0=\frac{\rho l}{S}=\frac{\rho l}{\pi r^2}$$

У резистора с большими размерами сопротивление будет:

$$R_1=\frac{\rho 2l}{\pi (2r)^2}=\frac{\rho l}{2\pi r^2}$$

Делаем вывод, что $R_1=\frac{R_0}{2}$.

Тогда схема будет выглядеть так:

Теперь видно, что имеем два треугольника и парочку звезд, подумаем: что легче преобразовать – звезду в треугольник или треугольник в звезду? Давайте преобразуем треугольник (вверху) в звезду. Пересчитываем сопротивления:

Получаем схему:

Дальше все очевидно: складываем последовательно соединенные сопротивления:

И пересчитываем параллельно соединенные в одно:

Ответ: $R_{ekv}=R_0=10$ Ом.

Это сложное решение. И надо помнить формулы пересчета звезд в треугольники. Но можно заметить, что мост сбалансирован, и тогда через центральный резистор ток не протекает. Имеем простое параллельное соединение $3R_0$ и $1,5R_0$, которое равно частному их произведения на сумму, и равно $R_0$.

 

Задача 4. Тело отпустили с высоты $h=3$ м от горизонтальной поверхности. При каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное время.

Мячик падает с высоты $h$, следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:

$$\upsilon_1=\sqrt{2gh}$$

Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна $\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{2}$, и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже  $\upsilon_3=\frac{\upsilon_2}{2}$, и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:

$$S=h+2h_2+2h_3+\ldots$$

$h_2$ – высота, на которую поднимется мячик после первого удара, $h_3$ – после второго и т.д. Тогда:

$$h_2=\frac{\upsilon_2^2}{2g}$$

$$h_3=\frac{\upsilon_3^2}{2g}$$

$$S=h+\frac{\upsilon_2^2}{2g}+\frac{\upsilon_3^2}{2g}+\ldots $$

Или, если везде перейти к скорости $\upsilon_1$, то

$$S=h+\frac{1}{g}\cdot \left(\left(\frac{\upsilon_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\upsilon_1}{4}\right)^2+\ldots \right)$$

Или, вынося за скобку $\upsilon_1^2$, получим:

$$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\ldots \right)$$

В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:

$$S_q=\frac{b_1}{1-q}$$

Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:

$$S=h+\frac{\upsilon_1^2}{g}\cdot S_q=h+2h\cdot \frac{b_1}{1-q}$$

Подставляем данные:

$$S= 3+6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=3+2=5$$

Ответ: $S=5$ м.

 

Задача 5. Найдите фокусное расстояние линзы в метрах, если известно, что при расстоянии между экраном и точечным источником света $l=1$ м на экране получается четкое изображение источника в двух случаях, когда расстояние между положениями линзы равно $d=0,6$ м.

Итак, экран и источник света неподвижны, а линзу перемещают. Пусть между линзой и источником света сначала расстояние $x$, а между линзой и экраном – $y$. По условию $x+y=1$. Для этого случая расположения линзы можно записать уравнение тонкой линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$

Во втором случае линзу подвинули, и расстояния от нее до экрана и от источника до линзы изменились: пусть $x_1=x+0,6$, тогда $y_1=y-0,6$.

И снова запишем уравнение линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}$$

Так как в обоих уравнениях левая часть одинакова, приравняем правые:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{y_1}$$

И подставим вместо $y=1-x$, вместо $x_1=x+0,6$, вместо $y_1=y-0,6=1-x-0,6=0,4-x$. Получим:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x+0,6}+\frac{1}{0,4-x}$$

Остается решить:

$$\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac{0,4-x + x+0,6}{(x+0,6)(0,4-x)}$$

$$\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{(x+0,6)(0,4-x)}$$

$$x-x^2=0,4x-x^2-0,6x+0,24$$

$$1,2x=0,24$$

$$x=0,2$$

Определим теперь фокусное расстояние линзы:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$$

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{0,2}+\frac{1}{0,8}$$

$$\frac{1}{F}=5+\frac{5}{4}=6,25$$

$$F=\frac{1}{6,25}=0,16$$

Ответ: $F=0,16$ м