Второй тур олимпиады Ломоносов: выкладываю свои решения. Задачи были не очень сложные, но… это все же олимпиада!
Задача 1. В теплоизолированный сосуд поместили 500 г льда при температуре , 1 кг воды при температуре
, а также 100 г пара при температуре
C. Считая теплоемкость сосуда малой, определите установившуюся температуру смеси. Удельная теплоемкость льда 2100 Дж/(кг C), воды 4200 Дж/(кг C). Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды 2250 кДж/кг. Ответ дайте в градусах Цельсия, округлив до десятых.
Так как в этой задаче неизвестно конечное состояние смеси, то, чтобы его установить, надо сделать прикидочный расчет.
Посчитаем, сколько Дж нужно, чтобы согреть лед до температуры плавления:
Определим, сколько Дж понадобится, чтобы лед растаял:
Наконец, определим, сколько отдал бы пар, если бы весь сконденсировался:
Так как , то теплоты хватит на то, чтобы согреть лед и расплавить его. Поэтому окончательное состояние смеси – вода. Теперь, когда мы это знаем, можем составлять уравнение теплового баланса. Справа будут отдаваемые количества теплоты, слева – принимаемые.
и
запишем в левую часть уравнения,
– в правую. Также в правой части запишем количество теплоты, которое выделится при остывании воды, получившейся из пара (предполагаем, что температура смеси меньше 100 градусов):
Чтобы продолжить рассуждения, надо задаться предварительной температурой смеси: определиться, будет ли она выше , или ниже. Это мы можем только предположить. Давайте попробуем сначала предположить, что температура смеси ниже
. Тогда вода будет остывать с
до температуры смеси и это количество теплоты запишем в правую часть:
Вода же, получившаяся при таянии льда, будет нагреваться, и это количество теплоты запишем в левую часть:
Итак, составляем уравнение:
Подставим числа:
С учетом округления – .
То есть мы угадали, что температура смеси меньше 20 градусов. На самом деле, если бы мы не угадали, то это слагаемое перешло бы в левую часть само, «автоматически», и результат был бы тем же.
Ответ: .
Задача 2. Две материальные точки начинают одновременно движение из начала координат в положительном направлении оси так, что их координаты и скорости связаны следующими соотношениями:
и
соответственно. Найдите расстояние в метрах между телами через 1 минуту после начала движения, если
м/с и
м/с.
Заметим, что у коэффициентов и
очень интересная размерность: если возвести в квадрат, получим размерность ускорения!
Если возвести в квадрат данные зависимости, получим:
Тогда координаты тел
Но при равноускоренном движении без начальной скорости, поэтому
И
Также при и нулевой начальной скорости путь равен координате и может быть записан как:
Приравнивая, делаем вывод, что ускорение первого тела м/с
, а второго
м/с
. Тогда первое тело пройдет за минуту
А второе:
Тогда расстояние между телами
Ответ: 10800 м.
Задача 3. Имеется набор одинаковых резисторов, выполненных в виде цилиндров и имеющих сопротивление Ом. Также имеется второй набор одинаковых резисторов
, также выполненных в виде цилиндров, но все геометрические размеры второго набора резисторов в два раза больше. Найдите полное сопротивление в омах участка цепи, собранного из данных наборов резисторов (сопротивление
получено соединением последовательно четырех резисторов сопротивлением
).
Для начала определим сопротивление . Формула сопротивления:
У резистора с большими размерами сопротивление будет:
Делаем вывод, что .
Тогда схема будет выглядеть так:

Рисунок 1
Теперь видно, что имеем два треугольника и парочку звезд, подумаем: что легче преобразовать – звезду в треугольник или треугольник в звезду? Давайте преобразуем треугольник (вверху) в звезду. Пересчитываем сопротивления:

Рисунок 2
Получаем схему:

Рисунок 3
Дальше все очевидно: складываем последовательно соединенные сопротивления:

Рисунок 4
И пересчитываем параллельно соединенные в одно:

Рисунок 5
Ответ: Ом.

Рисунок 6
Это сложное решение. И надо помнить формулы пересчета звезд в треугольники. Но можно заметить, что мост сбалансирован, и тогда через центральный резистор ток не протекает. Имеем простое параллельное соединение и
, которое равно частному их произведения на сумму, и равно
.
Задача 4. Тело отпустили с высоты м от горизонтальной поверхности. При каждом упругом ударе о поверхность тело отскакивает со скоростью в два раза меньшей, чем до удара. Найдите путь, пройденный телом за длительное время.
Мячик падает с высоты , следовательно, можно найти его скорость при ударе о пол:
Так как скорость уменьшится при ударе вдвое, то начальная скорость при отскоке мяча и его движении вверх равна , и такой же эта скорость будет перед вторым ударом. Когда шарик отскочит в третий раз, его скорость будет уже
, и так далее. Найдем путь, пройденный мячом:
– высота, на которую поднимется мячик после первого удара,
– после второго и т.д. Тогда:
Или, если везде перейти к скорости , то
Или, вынося за скобку , получим:
В скобках имеем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вспомним формулу суммы такой прогрессии:
Теперь путь, пройденный мячом, запишем так:
Подставляем данные:
Ответ: м.
Задача 5. Найдите фокусное расстояние линзы в метрах, если известно, что при расстоянии между экраном и точечным источником света м на экране получается четкое изображение источника в двух случаях, когда расстояние между положениями линзы равно
м.
Итак, экран и источник света неподвижны, а линзу перемещают. Пусть между линзой и источником света сначала расстояние , а между линзой и экраном –
. По условию
. Для этого случая расположения линзы можно записать уравнение тонкой линзы:
Во втором случае линзу подвинули, и расстояния от нее до экрана и от источника до линзы изменились: пусть , тогда
.
И снова запишем уравнение линзы:
Так как в обоих уравнениях левая часть одинакова, приравняем правые:
И подставим вместо , вместо
, вместо
. Получим:
Остается решить:
Определим теперь фокусное расстояние линзы:
Ответ: м

К задаче 5
Анна, спасибо за хороший подбор задач по теме: Горизонтальный бросок, а самое...
Эта потеря есть для обоих лучей. Ведь каждый в итоге отразился от...
Доброго времени суток! Разве во второй задаче не надо учесть потерю половины...
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...